uzębienia czołowe o łukowo – kołowej linii zębów kształtowane

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
40, s. 71-78, Gliwice 2010
ISSN 1896-771X
UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO – KOŁOWEJ LINII
ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM
PIOTR FRĄCKOWIAK
Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Poznańska
e-mai:l [email protected]
Streszczenie. W artykule przedstawiono modele geometryczne uzębień czołowych
o łukowo-kołowej linii zębów. W przedstawionych modelach założono, że linia zęba
będzie kształtowana narzędziem jednoostrzowym na obrabiarce sterowanej
numerycznie. Na podstawie modelu geometrycznego wyprowadzono równanie
kołowej linii zębów w układzie współrzędnych związanym z obrabianym wieńcem
o środku osi okręgu linii zęba znajdującym się w dowolnym punkcie układu
związanego z kształtowanym uzębieniem.
W przedstawionym modelu położenie śladu ostrza narzędzia opisanego przez
krawędzie skrawające jest tak usytuowane w stosunku do kształtowanej powierzchni,
aby zapewnić wspólną normalną z kształtowaną linią zęba. Wyprowadzone równanie
linii zęba może posłużyć do określenia przylegania powierzchni bocznych zębów
w połączenia sprzęgłowego. W pracy przedstawiono model technologiczny
kształtowania uzębienia o łukowo-kołowej linii zębów oraz opisano wyniki badań
doświadczalnych procesu nacinania ich na frezarce CNC narzędziem
jednoostrzowym.
1. WSTĘP
Na uniwersalnych frezarkach sterowanych numerycznie można kształtować uzębienia
czołowe o różnych liniach zębów. Znane metody kształtowania uzębień czołowych oparte są
na kinematyce obrabiarek konwencjonalnych. W trakcie nacinania linii zębów zespoły
robocze obrabiarki wykonują ruchy ze stałą prędkością, po torach prostoliniowych lub
obrotowych (stoły obrotowe NC, wrzeciona narzędziowe). Jeden ze sposobów nacinania
uzębień czołowych wykorzystuje narzędzie jednoostrzowe o ostrzy w postaci płytki
z węglików spiekanych. Metodą tą można kształtować uzębienia o prostej i ewolwentowej
linii zębów [1-4]. Wymogi poprawnej współpracy uzębień czołowych o linii prostej,
w połączeniach sprzęgłowych, wymagają wprowadzenia modyfikacji linii zębów.
Modyfikację tę uzyskuje się poprzez kształtowanie parabolicznego dna wrębu zębów, dzięki
temu uzyskuje się beczkowaty kształt linii zębów o teoretycznym styku w środku uzębień
współpracujących połówek sprzęgła. Jednym z czynników decydującym o jakości połączenia
sprzęgłowego jest wartość maksymalnych obciążeń, jakie może przenieść.. Model
technologiczny nacinania uzębień czołowych o modyfikowanej prostej linii zębów
przedstawionym na rys. 1 [4].
72
P. FRĄCKOWIAK
Rys. 1. Schemat kształtowania uzębień czołowych
o linii prostej na frezarce sterowanej numerycznie
Rys. 2. Widok poglądowy linii zębów
uzębienia czołowego o modyfikowanej
prostej linii zębów a) uzębienie bazowe,
b) uzębienie współpracujące
W ten sposób nacięte uzębienia (rys.1) mają wypukłe oba boki zębów (rys.2) [4], a ich styk
w połączeniu sprzęgłowym ma mniej korzystny rozkład naprężeń niż w przypadku zazębienia
dwóch zębów o liniach wklęsło-wypukłych.
Znanym sposobem kształtowania uzębień czołowych wykorzystywanych w połączeniach
sprzęgłowych jest metoda Gleason-Curvic (rys. 3).
Rys. 3. Schemat kształtowania uzębienia
czołowego o prostej linii środkowej wrębów
metodą Gleason-Curvic, szlifowanie boków:
a) wklęsłych, b) wypukłych
W sposobie tym linia zębów kształtowana jest na szlifierkach metodą podziału
dyskretnego. Metoda ta umożliwia uzyskanie łukowej linii zębów. W uzębieniu jeden bok
kształtowany jest jako wklęsły (rys. 3a), a drugi jako wypukły (rys. 3b), co pozwala na
uzyskanie w połączeniu sprzęgłowym skojarzenia wklęsło-wypukłego i tym samym
korzystnego rozkładu naprężeń. Do istotnych wad tej metody należy zaliczyć konieczność
posiadania dużej liczby ściernic o różnych średnicach, które są dobierane w zależności od
wymiarów wieńców i liczby zębów uzębień. Szlifowanie wgłębne wrębów uzębienia
realizowane jest na niewielkiej głębokości, co ogranicza czynną powierzchnie współpracy
zębów w połączeniu i tym samym obniża jego parametry wytrzymałościowe.
UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO – KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE...
73
2. MODELOWANIE UZĘBIEŃ CZOŁOWYCH O ŁUKOWEJ LINII ZĘBÓW
Obecnie produkowane systemy sterowań obrabiarek CNC umożliwiają obliczanie toru
narzędzia na podstawie równań matematycznych, ta możliwość otwiera nowy kierunek badań
nad sposobami kształtowania linii zębów kół zębatych. Tor narzędzia nie musi być sztywno
związany z prowadnicami obrabiarki w trakcie cyklu obróbkowego. Narzędzie na
obrabiarkach sterowanych numerycznie może się przemieszczać po torze opisanym
równaniem matematycznym.
Założenie nowej metody kształtowania linii zębów uzębień czołowych bazuje na warunku
poprawnego kształtowania uzębień, tzn. posiadaniu wspólnej normalnej linii zęba uzębienie
i śladu narzędzia opisywanego przez krawędzie ostrza skrawającego.
W przedstawionych poniżej modelach geometrycznych kształtowania linii kołowej
przyjęto założenia:
· linia zęba będzie kształtowana narzędziem jednoostrzowym,
· nacinana linia zęba jest sztywno związana z obrabianym wieńcem uzębienia,
· początek układu współrzędnych znajduje się w osi symetrii kształtowanego uzębienia,
· położenie okręgu linii zęba ustawia się w stosunku do teoretycznego okręgu tocznego,
· ślad ostrza narzędzia jest usytuowany w stosunku do kształtowanej powierzchni tak, aby
mieć wspólną normalną z kształtowaną linią zęba.
W najprostszym modelu uzębienia o kołowej linii zębów oś symetrii okręgu, którego część
jest linią zęba, leży na przecięciu teoretycznego okręgu tocznego o promieniu Rb i osi układu
współrzędnych związanego z kształtowanym uzębieniem (Z), co przedstawiono na rys. 5.
Rys. 5. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii będącej częścią
okręgu, którego oś symetrii okręgu linii zęba leży na przecięciu osi symetrii uzębienia
czołowego (Z)
Z rys. 5 można wyznaczyć współrzędne punktów początkowego i końcowego styku śladu
narzędzia i linii zęba uzębienia, które mają wspólne normalne:
ì x1 = r × cos(Dy )
,
í
î z1 = R + r × sin (Dy )
(1)
oraz
74
P. FRĄCKOWIAK
ì x 2 = Rv × sin (y 0 + Dy )
,
í
î z 2 = x2 × ctg (y 0 + Dy )
(2)
gdzie:
r – promień okręgu będącego linią zęba,
Rb – teoretyczny okrąg toczny.
Z modelu przedstawionego na rys. 5 można również wyznaczyć współrzędne punktów
w układzie biegunowym:
ì
æ x1 ö
ïy 0 = arcsinçç ÷÷ .
í
è Rv ø
ï R = x2 + z2
1
1
î v
(3)
Podstawiając do równań 2 zależności opisane równaniami 3 otrzymujemy:
ì
é
ù
ö
æ
x1
÷ + Dy ú
ï x2 = x12 + z12 × sin êarcsinç
ç x2 + z2 ÷
ïï
ê
ú
1 ø
è 1
ë
û,
í
æ
ö
ö
æ
ï
x1
ç arcsinç
÷ + Dy ÷
z
x
ctg
=
×
2
2
ï
ç
÷
ç x2 + z2 ÷
ïî
1 ø
è 1
è
ø
(4)
a po podstawieniu wzorów 1 do równań 4:
2
2
ì
x 2 = [r × cos(Dy )] + [Rb + r × sin (Dy )] ´
ï
é
ù
æ
ö
ï
r cos[Dy ]
÷ + Dy ú
ï ´ sin êarcsin ç
ç (r × cos(Dy ))2 + (R + r × sin (Dy ))2 ÷
ê
ú
ï
b
è
ø
ë
û
.
í
é
ù
æ
ö
ï
r × cos(Dy )
÷ + Dy ú
ï z 2 = x 2 × ctg êarcsin ç
2
2
ç
÷
ê
ú
ï
è (r × cos(Dy )) + (Rb + r × sin (Dy )) ø
ë
û
ï
î
(5)
Równania 5 opisują tor przemieszczania narzędzia w procesie kształtowana uzębienia,
w układzie związanym z obrabianym wieńcem. Linią zęba jest część okręgu o promieniu r.
Inne rozwiązanie modelowania uzębienia, którego linia zębów stanowi część okręgu,
polega na przesunięciu okręgu linii zęba, aby środek okręgu nie leżał na osi uzębienia
czołowego (Z). W przypadku okręgu linii zęba o środku osi symetrii przesuniętej w kierunku
dodatnich wartości osi X układu związanego z kształtowanym wieńcem, w uzębieniu
uzyskuje się mniejszy promień krzywizny linie zęba. Model geometryczny takiego
rozwiązania przedstawiono na rys. 6.
UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO – KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE...
75
Rys. 6. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii zęba będącej częścią
okręgu i środku symetrii okręgu linii zęba mającego dodatnie wartości w osi X
Z rys. 6 można wyznaczyć współrzędne punktu początkowego styku śladu narzędzia i linii
zęba uzębienia o wspólnej normalnej:
ì x1 = r × cos(Dy ) + xc1
í
î z1 = R + r × sin (Dy )
(6)
Wyznaczając na podstawie rysunku 6 współrzędne punktów tak jak w przypadku modelu
przedstawionego na rysunku 5 i postępując analogicznie uzyskuje się zależności opisujące
linię zęba w układzie związanym z kształtowanym wieńcem:
2
2
ì
x 2 = [r × cos(Dy ) + x c1 ] + [Rb + r × sin (Dy )] ´
ï
é
ù
ö
æ
ï
r × cos(Dy ) - x c1
÷
ç
ê
+ Dy ú
ïï ´ sin arcsin
ç (r × cos(Dy ) + x )2 + (R + r × sin (Dy ))2 ÷
ê
ú
.
í
c1
b
ø
è
ë
û
ï
é
ù
æ
ö
r × cos(Dy ) + x c1
ï
ç
÷
ê
+ Dy ú
ï z2 = x2 × ctg êarcsin ç
2
2 ÷
ú
è (r × cos(Dy ) + x c1 ) + (Rb + r × sin (Dy )) ø
û
ë
îï
(7)
Położenie środka okręgu linii zębów uzębienia może się znajdować w zakres ujemnych
wartości osi X. Takie przesunięcie okręgu linii zęba będzie umożliwiać uzyskanie większego
promienia krzywizny linii zęba. Model geometryczny takiego rozwiązania przedstawiono na
rys. 7.
76
P. FRĄCKOWIAK
Rys. 7. Model geometryczny kształtowania uzębienia czołowego o linii zęba będącej częścią
okręgu i środku symetrii okręgu linii zęba mającego dodatnie wartości w osi X
Dla modelu przedstawionego na rys. 7 zależności opisujące linię zęba w układzie związanym
z kształtowanym wieńcem przyjmują postać:
2
2
ì
x 2 = [r × cos(Dy ) - xc1 ] + [Rb + r × sin(Dy )] ´
ï
é
ù
æ
ö
ï
r × cos(Dy ) - xc1
ç
÷
ê
+ Dy ú
ïï ´ sin arcsin
ç (r × cos(Dy ) - x )2 + (R + r × sin(Dy ))2 ÷
ê
ú
í
c1
b
è
ø
ë
û
ï
é
ù
æ
ö
r × cos(Dy ) - x c1
ï
ç
÷
ê
+ Dy ú
ï z 2 = x2 × ctg êarcsinç
2
2 ÷
ú
ïî
è (r × cos(Dy ) - xc1 ) + (Rb + r × sin(Dy )) ø
û
ë
(8)
Na podstawie modeli przedstawionych na rys. 5, 6 i 7 opisanych równaniami 5,7 i 8
uogólniony układ równań linii zęba w układzie związanym z kształtowanym wieńcem
przyjmuje postać:
ì
x 2 = [r × cos(Dy ) ± x c1 ]2 + [Rb + r × sin (Dy )]2 ´
ï
é
ù
æ
ö
ï
r × cos(Dy ) ± xc1
÷ + Dy ú
ïï ´ sin êarcsin ç
ç (r × cos(Dy ) ± x )2 + (R + r × sin (Dy ))2 ÷
ê
ú
í
c1
b
è
ø
ë
û
ï
é
ù
æ
ö
r × cos(Dy ) ± x c1
ï
ç
÷ + Dy ú
ê
z
x
ctg
=
×
arcsin
2
ï 2
ç (r × cos(Dy ) ± x )2 + (R + r × sin (Dy ))2 ÷
ê
ú
ïî
c1
b
è
ø
ë
û
(9)
Wartość xc1 decyduje o położeniu środka okręgu linii zębów i tym samym o wielkości
promienia krzywizny linii zębów. W przypadku xc1 = 0 środek okręgu linii zęba leży na osi
uzębienia (Z). Dodanie wartości xc1 umożliwia zmniejszenie, a odjęcie zwiększenie promienia
krzywizny okręgu.
UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO – KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE...
77
3. ALGORYTM STEROWANIA I BADANIA DOŚWIADCZALNE KSZTAŁTOWANIA
LINII ZĘBÓW
W celu przeprowadzenia prób kształtowania kołowej linii zębów w uzębieniu, opracowano
algorytm sterowania obrabiarką (rys.8). Algorytm ten posłużył do opracowania
sparametryzowanego programy sterującego obrabiarką podczas nacinania zębów w uzębieniu.
START
Dane początkowe
Ri, Re, Dy, H0, Rb, r, z, xc1
Obliczenia parametrów technologicznych
kształtowanej linii uzębienia
xs= r ± xc1, zs = Rb, xe = Re,
p=
360
, yA = Dy - p
z
Przemieszczenia narzędzia do punktu początkowego
X H0; Z zs;
Y xs
Obliczenia kolejnych położeń narzędzia
2
2
ì
x 2 = [r × cos(Dy ) ± x c1 ] + [Rb + r × sin (Dy )] ´
ï
ù
é
æ
ö
ï
r × cos(Dy ) ± xc 1
ç
÷ + Dy ú
ê
ïï ´ sin êarcsin ç
2
2 ÷
ú
(
(
)
)
(
(
)
)
x
R
cos
sin
r
y
r
y
×
D
±
+
+
×
D
í
c1
b
è
ø
û
ë
ï
ù
é
æ
ö
x
cos
r
(
y
)
×
D
±
ï
c1
ç
÷ + Dy ú
ê
ï z 2 = x 2 × ctg êarcsin ç
2
2 ÷
ú
è (r × cos(Dy ) ± xc1 ) + (Rb + r × sin (Dy )) ø
û
ë
îï
Nacinanie linii zębów
C(jc); A(yA); Y x2; Z z2
x2 < xe
Nie
Tak
Koniec nacinania i odsunięcie narzędzia
X(lw)
Rys. 8. Algorytm sterowania pracą obrabiarki podczas kształtowania linii zęba
Próby kształtowania uzębień czołowych przeprowadzono na frezarce typu FYN – 50Nd,
wyposażonej w stół obrotowy sterowany numerycznie. Frezarka posiada układ sterowania
typu TNC 407 firmy Heidenhain. Sterownik Heidenhain 407 umożliwia jednoczesną
interpolacje w trzech osiach (liniową lub kołową w przestrzeni trójwymiarowej). Nacięte linie
zębów przedstawiono na rys. 9.
78
P. FRĄCKOWIAK
a)
b)
c)
Rys. 9. Widok naciętych linii zębów: a, b) metodą dyskretną, c) metodą podziału ciągłego
4. WNIOSKI
Przeprowadzone badania kształtowania linii kołowej w uzębieniu czołowym według
zależności opisanej wzorem 9 potwierdziły możliwość jej kształtowania na frezarce CNC.
Układ sterowania mimo dużego obciążenia procesora nie powodował chwilowych zatrzymań
sterowanych zespołów obrabiarki. Wyniki badań będą wykorzystane w pracach nad
zastosowaniem kołowej linii zębów w połączeniach sprzęgłowych i przekładniach
spiroidalnych. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2009 – 2012 jako
projekt badawczy nr N N502 339836.
LITERATURA
1. Frąckowiak P.: Kształtowanie uzębienia stożkowej przekładni spiroidalnej narzędziem
jednoostrzowym. ZN Pol. Rzesz. „Mechanika” z.69. Rzeszów: Oficyna Wyd.Pol. Rzesz.
2006, s. 35-43.
2. Frąckowiak P., Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne kształtowane
na obrabiarkach CNC, „Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji” 2006, vol. 26 nr
2, s. 139-147.
3. Grajdek R.: Uzębienia czołowe : podstawy teoretyczne kształtowania i nowe zastosowania.
Poznań: Wyd. Pol. Poznańskiej, 2000.
FACE-GEAR WITH CIRCULAR TEETH LINE SHAPING
WITH SINGLE BLADE TOOL
Summary. Different types of geometric models of face-gear with circle line of
teeth have been shown in the paper. In the following geometric models of shaping
circle line, assumptions are that tooth line of face-gear is shaped with single blade
tool on CNC milling machine. On the basic presented of the developed geometrical
model describing the equation of tooth line. The beginning of the system of
coordinates is located at the intersection of the axis of symmetry shaped toothing. In
presented model a trace location of the tool is described by the blade cutting edge is
so located in relation to the shaped surface to have a common normal with the shaped
line of the tooth. The describing equation of tooth line can be use for bearing contact
on the face-gear in coupling. Technology model for forming the face-gear have been
shown in the paper, too. The exemplification of experimental result of cutting facegear with teeth curved on CNC milling machine has been discussed in the paper.