mn - ćw4 - handouts
Transkrypt
mn - ćw4 - handouts
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne dr Artur Woike Ćwiczenia nr 4 Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej. dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x0 , . . . , xn i wartości y0 , . . . , yn , takie że ∀i=0,...,n yi = f (xi )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej że: ∀i=0,n F (xi ) = yi . Poza węzłami funkcja F powinna przybliżać wartości funkcji f . W naszym przypadku szukamy funkcji F w postaci wielomianu Wn stopnia mniejszego lub równego n. Zatem ogólnie mamy, że: ∀x∈R F (x) = Wn (x) ∧ ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi . dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Interpretacja geometryczna Z warunku ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi wynika, że wykres wielomianu Wn na płaszczyźnie R2 musi przechodzić przez wszystkie z punktów (x0 , y0 ) , . . . , (xn , yn ) lub (przy stosowaniu równoważnych oznaczeń) (x0 , f (x0 )) , . . . , (xn , f (xn )). dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Interpretacja geometryczna dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Twierdzenie interpolacyjne Twierdzenie. (o istnieniu wielomianu interpolacyjnego) Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny Wn stopnia co najwyżej n (n 0), który w punktach x0 , . . . , xn przyjmuje wartości y0 , . . . , yn . Uwaga. Wielomian Wn może być stopnia mniejszego od n. dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Przykłady interpolacji Interpolacja wielomianem niższego stopnia: dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Przykłady interpolacji Przybliżanie funkcji sinus wielomianem interpolacyjnym stopnia co najwyżej trzeciego: dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Przykłady interpolacji Zachowanie wielomianu interpolacyjnego dla funkcji sinus poza przedziałem interpolacji: dr Artur Woike Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego Możemy założyć, że Wn (x) = nj=0 cj x j . Po wstawieniu tego wyrażenia do warunku ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi otrzymujemy następujący układ n + 1 równań liniowych z n + 1 niewiadomymi: P Pn j j=0 cj x0 = y0 ··············· Pn c xnj = y j=0 j n Po podstawieniu konkretnych danych układ ten należy rozwiązać ze względu na współczynniki c0 , . . . , cn , które jednoznacznie określają postać wielomianu Wn . dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego Uwaga. 1 Sprawdzenie poprawności otrzymanego wielomianu interpolacyjnego bazuje na sprawdzeniu, czy jest zachodzą warunki: ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi . 2 Jeśli wśród danych wartości w węzłach jest wartość f (0), to powinna ona być równa wyrazowi wolnemu otrzymanego wielomianu interpolacyjnego: f (0) = c0 . dr Artur Woike Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Przykład układu interpolacyjnego (n = 3) Notacja standardowa: c0 + c1 x0 + c2 x02 + c3 x03 c0 + c1 x1 + c2 x 2 + c3 x 3 1 1 c0 + c1 x2 + c2 x22 + c3 x23 c + c x + c x2 + c x3 0 1 3 2 3 3 3 = y0 = y1 = y2 = y3 Notacja macierzowa: 1 x 0 1 x1 1 x2 x02 x03 x12 x13 x22 x23 1 x3 x32 x33 dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej · c0 c1 c2 c3 y 0 y1 = y2 y3 Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Stosowanie interpolacji wielomianowej. Zadanie 1. Niech f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 1. Niech będą dane węzły interpolacji xi = −2 + i oraz wartości w węzłach yi = f (xi ) (i = 0, . . . , n). Wyznaczyć wielomiany interpolacyjne W1 , W2 , W3 i W4 . dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Wielomiany czynnikowe i wzór Lagrange’a Niech będą dane węzły x0 , . . . , xn (xi 6= xj dla i 6= j) oraz odpowiadające im wartości y0 , . . . , yn . Dla każdego j = 0, . . . , n kładziemy: φj (x) = (x − x0 ) . . . (x − xj−1 )(x − xj+1 ) . . . (x − xn ) . (xj − x0 ) . . . (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) . . . (xj − xn ) Wtedy wielomian interpolacyjny Wn jest określony następująco: Wn (x) = y0 · φ0 (x) + . . . + yn · φn (x) = n X yi φi (x). i=0 Uwaga. Wielomiany φj są nazywane wielomianami czynnikowymi. dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Stosowanie wzoru Lagrange’a. Zadanie 2. Niech będą dane węzły interpolacji xi = −2 + i (i = 0, . . . , 4). Wyznaczyć za pomocą wzoru interpolacyjnego Lagrange’a wielomiany interpolacyjne W1 , W2 , W3 i W4 dla następujących wartości w węzłach: 1 y0 = −17, y1 = −5, y2 = −1, y3 = 1, y4 = 7; 2 y0 = 25, y1 = 8, y2 = 5, y3 = 4, y4 = 17; 3 y0 = 12, y1 = 6, y2 = 2, y3 = 0, y4 = 0. dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a Oznaczenia: f jest przybliżaną funkcją (musi posiadać pochodne do rzędu n + 1 włącznie na rozpatrywanym przedziale); x jest punktem, w którym badamy dokładność; ha, bi jest rozpatrywanym przedziałem przybliżania interpolacyjnego, takim że x ∈ ha, xi ∈ ha, bi; bi ∧ ∀i=0,...,n (n+1) Mn+1 = sup f (t); t∈ha,bi ωn (x) = (x − x0 ) (x − x1 ) . . . (x − xn ). dr Artur Woike Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Metody numeryczne Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a Mamy następujące oszacowanie (z góry) dla błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a: |f (x̄) − Wn (x̄)| ¬ Mn+1 |ωn (x̄)|. (n + 1)! Uwaga. Ponieważ przy ustalonych danych wielomian interpolacyjny jest dokładnie jeden, więc oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a jest prawdziwe również dla innych wzorów interpolacyjnych. dr Artur Woike Metody numeryczne Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej Interpolacja wielomianowa Wzór interpolacyjny Lagrange’a Oszacowanie błędu interpolacji Stosowanie oszacowania błędu interpolacji Zadanie 3. Wyznaczyć z jaką dokładnością można obliczyć za pomocą wielomianu interpolacyjnego W1 , W2 , W3 i W4 : 1 2 3 π wartość sin 36 , jeżeli znane są wartości y0 = sin 0, y1 = sin π6 , y2 = sin π4 , y3 = sin π3 . wartość ln 100.5, jeżeli znane są wartości y0 y1 = ln 101, y2 = ln 102, y3 = ln 103. = ln 100, wartość e 10.311 , jeżeli znane są wartości y0 = e 5 , y1 = e 9 , y2 = e 10 , y3 = e 11 , y4 = e 13 . Uwaga. Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828. dr Artur Woike Metody numeryczne