Egzamin z Mechaniki Teoretycznej (FM, FŚ, MF) Rozważmy dwie

Egzamin z Mechaniki Teoretycznej (FM, FŚ, MF)
Rozważmy dwie cząstki 1 i 2 połączone ze sobą za pomocą nierozciągliwej
linki. Linka może ślizgać się bez tarcia po krążku o stałym promieniu R, tak
jak to pokazano na rysunku poniżej:
R
i
.1
x1
F = k1i
x2
x
1
.2
F2 =k2i
Następnie, załóżmy, że ruch układu jest jednowymiarowy, a zatem położenia
cząstek 1 i 2 są określone odpowiednio przez ich współrzędne x1 i x2 na
osi x (patrz rysunek). Na pierwszą cząstkę działa siła F1 = k1 i, k1 > 0
jest pewną dodatnią stałą. Analogicznie, na cząstkę 2 działa siła F2 = k2 i,
k2 > 0 jest również dodatnią stałą. Obie siły są skierowane wzdłuż osi x,
co wynika z proporcjonalności tych sił do wektora jednostkowego i, który
wskazuje kierunek osi x.
1. Fakt, że linka jest nierozciągliwa powoduje, że współrzedne x1 i x2 nie
są niezależne. Proszę podać warunek wiążący ze sobą x1 i x2 zakładając,
że całkowita długość linki wynosi L.
2. Wyznaczyć funkcję Lagrange’a układu wykorzystując jako współrzędną
uogólnioną położenie x1 cząstki 1.
3. Wyprowadzić równanie ruchu Lagrange’a.
4. Załóżmy, że w czasie t = 0 cząstka znajdowała się w punkcie x1 = a > 0
i miała prędkość v0 = v0 i, gdzie v0 > 0. Proszę podać rozwiązanie równania ruchu Lagrange’a odpowiadające tym warunkom początkowym.
Czy przy tych założeniami cząstka 1 w czasie t > 0 oddala się od punktu
x = 0 czy zbliża się do tego punktu?