Zapisz jako PDF
Transkrypt
Zapisz jako PDF
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale punktu z tego przedziału zachodzi nazywamy funkcję taką, że dla każdego . Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale Dla wyrażenia danej funkcji jest funkcją stałą. rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol . Zadanie 1 Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji . Wskazówka Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie. Dziedzina naturalna funkcji nie jest przedziałem. Rozważ dwa przedziały i . Rozwiązanie Funkcją pierwotną w przedziale gdzie i jest zaś w przedziale są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Uwagi Zwyczajowo stosowany zapis Całkowanie przez części Uwagi wstępne może prowadzić do nieporozumień. to Wzór na całkowanie przez części: są ciągłe na przedziale . o ile funkcje Zadanie 1 Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji . Wskazówka Przyjmij i . Rozwiązanie . Uwagi Podobnie obliczamy całki , . Zadanie 2 Znajdź związek rekurencyjny między całkami gdzie Wskazówka Wykonaj całkowanie przez części przyjmując i Rozwiązanie czyli . . . i Uwagi Oblicz . Metodę tę można zastosować do obliczania całek wyrażając całki Zadanie 3 Oblicz całkę . Wskazówka Połóż i . Rozwiązanie Uwagi Obliczyć . Zadanie 4 Oblicz całkę . Wskazówka Wykonaj dwa razy całkowanie przez części i przez całki , i . Rozwiązanie Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi . Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy . Uwagi Zadanie 5 Oblicz całkę . Wskazówka Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej Rozwiązanie Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy Uwagi Metoda działa dla dla dowolnego naturalnego. Zadanie 6 Oblicz całkę . Wskazówka Scałkuj przez części. Rozwiązanie . Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy . Uwagi Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest podstawienie patrz Uwagi końcowe na tej stronie. Całkowanie przez podstawienie Uwagi wstępne Wzór na całkowanie przez podstawienie gdzie zakładamy ciągłość funkcji i na przedziale . Zadanie 1 Oblicz całki nieoznaczone , , . Wskazówka Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej). Rozwiązanie , , . Uwagi W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form. Zadanie 2 Oblicz całki nieoznaczone , . Wskazówka Rozwiązanie , . Uwagi Zadanie 3 Oblicz całkę nieoznaczoną , . Wskazówka Na przedziale podstaw , natomiast na przedziale podstaw Rozwiązanie Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale czyli , i wyjściowa całka to podstawiamy , . Na przedziale otrzymując kładziemy Ostatecznie , czyli , . Uwagi Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe. Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach ( , , podstawienia Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu całkowanie przez części. Rozkład na ułamki proste Uwagi wstępne Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego. Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Zadanie 1 Rozłóż funkcję wymierną właściwego. na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka Wskazówka Podziel wielomian przez wielomian . Rozwiązanie Uwagi Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste. Zadanie 2 W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej Wskazówka Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia możliwie najniższego. Rozwiązanie Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie najniższego, w naszym przypadku wystarczy położyć czyli Postać rozkładu to gdzie to poszukiwane współczynniki rozkładu. Uwagi Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste występują wszystkie ułamki proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest podzielny przez mianownik ułamka prostego. Ponadto przypominamy techniki znajdowania pierwiastków szczególnych klas wielomianów. Zadanie 3 Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną Wskazówka Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?) Rozwiązanie Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy więc od razu do rozkładu na ułamki proste. Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie ) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego . Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste wygląda więc następująco Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (równanie (1) ma być spełnione dla dowolnej wartości ), otrzymujemy więc następujący układ równań którego rozwiązaniem jest Ostatecznie otrzymujemy Uwagi Zadanie 4 Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie Wskazówka Rozkładu szukaj w postaci Rozwiązanie Mnożąc równość przez otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości) Wstawiając do powyższej równości kolejno odpowiednio , , , , , , otrzymujemy i ostatecznie Uwagi Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3 Zadanie 5 Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie Wskazówka Rozkładu szukaj w postaci Rozwiązanie Mnożąc równość przez otrzymujemy Wstawiając do powyższej równości kolejno , , z kolei wstawiając otrzymane wartości i czyli otrzymujemy odpowiednio do równości (2) otrzymujemy . Ostatecznie mamy . , Uwagi Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem równości (2). Całkowanie funkcji wymiernych Uwagi wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych. Zadanie 1 Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju . Wskazówka Zrób zadanie 1 z ustępu całkowanie przez podstawienie. Rozwiązanie Podstawienie sprowadza nasz problem do całkowania . Odpowiedź : , . Uwagi Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości. Zadanie 2 Znajdź związek rekurencyjny między całkami . Wskazówka Wykonaj całkowanie przez części kładąc i . Rozwiązanie Całkując przez części otrzymujemy , Co daje , i ostatecznie . Uwagi Wypisać całki dla . Zadanie 3 Oblicz całkę nieoznaczoną . Wskazówka Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste. Rozwiązanie Funkcję podcałkową można zapisać jako a stąd Uwagi Zadanie 4 Oblicz całkę nieoznaczoną . Wskazówka Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1, dzięki temu . Ale czy nie można prościej? Tym razem można Rozwiązanie Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części rozkład na ułamki proste) przystępujemy do całkowania . . Uwagi Zadanie 5 Oblicz całkę nieoznaczoną . Wskazówka Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to . Rozwiązanie . Uwagi Zadanie 6 Oblicz całkę nieoznaczoną Wskazówka . Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Użyj wyniku zadania 2. Rozwiązanie Zgodnie ze wskazówką Używając wyniku zadania 2 mamy dalej Uwagi Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych W tym rozdziale oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów. Zadanie 1 Oblicz całkę nieoznaczoną . Wskazówka Stosujemy uniwersalne podstawienie . Rozwiązanie Stosując podstawienie otrzymujemy , wtedy , oraz Uwagi W szczególnych przypadkach gdy 1) , 2) , 3) , wygodniejsze są następujące podstawienia, odpowiednio 1) , 2) , 3) . Zadanie 2 Oblicz całkę nieoznaczoną . Wskazówka Patrz uwagi do porzedniego zadania. Rozwiązanie Podstawiając otrzymujemy [Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 784x50] Uwagi Uwagi końcowe Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych podstawienie dla przypadku i podstawienie a dla przypadku i podstawienie sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku Natomiast przypadek i sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji na przykład przez podstawienie podstawienie . .