Ćwiczenia 10 – teoria.

I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 10 – TEORIA (Metody całkowania: przez podstawienie, przez części. )
I. CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Wiemy, że dla funkcji f(x)=2x funkcją pierwotną jest F(x)=x 2 ponieważ F’(x)=f(x)=2x.
Dla innej funkcji f(x)=6(3x+2) funkcją pierwotną jest F(x)=(3x+2) 2, ponieważ F’(x)=f(x)=[(3x+2)2]’= 6(3x+2)
lub inaczej obliczając całkę potwierdzamy ten wynik :
F ( x)   6(3x  2)dx  6[  3xdx   2dx]  18 xdx  12 dx  9 x 2  12x  c 
 9 x 2  12x  4  4  c  (3x  2) 2  4  c  (3x  2) 2  C



W wielu przypadkach wyznaczenie funkcji pierwotnej sprowadza się do całek elementarnych przez
wprowadzenie nowej zmiennej.

5
Aby obliczyć np. następującą całkę : F ( x)  (2 x  1) dx
Trzeba wprowadzić nową zmienną t = 2x + 1
Weźmy F(x) będącą funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli :
F ( x)   f ( x)dx
a więc F’(x) = f(x).

Jeżeli wprowadzimy nową zmienną t przez podstawienie x  (t ), to funkcja F(x)=F((t)) jest funkcją
zmiennej t, pochodna tej funkcji :
dF dF dx
dx

 f ( x)  f ((t ))  (t )
dt dx dt
dt
A stąd :
 f ( x)dx   f ((t ))  (t )dt
Twierdzenie (całkowanie przez podstawienie) :
Jeżeli funkcja f(x) jest określona i ciągłą w przedziale otwartym (a, b) to wprowadzenie nowej zmiennej
niezależnej t pod znak całki zamiast x poprzez odpowiednią funkcję x=(t) i zamiast dx poprzez odpowiednią
różniczkę dx= ’(t)dt umożliwi wyliczenie całki.

 f ( x)dx   f ((t ))  (t )dt

Przykład (przez podstawienie) :
1
3x  2  t , x  (t  2)
1 t5
1
4 1
3
(
3
x

2
)
dx


t

dt

 C  (3x  2) 5  C


1
3
35
15
dx  dt
3
4

Przykład (przez podstawienie) :


2 x  7dx 
3
1 2

t3
2 x  72
(t  7)
2
2
  t tdt   t dt  C   C 
C
2
3
3
dx  tdt
2x  7  t 2 , x 
Uwaga (całkowanie przez podstawienie) :
-1-
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1
2014/2015
ĆWICZENIA 10 – TEORIA (Metody całkowania: przez podstawienie, przez części. )
Często wygodnie jest stosować wzór :


Przykład (całkowanie przez podstawienie) :
x

f ( x)
dx  ln | f ( x) | c
f ( x)
2
2x  2
dx  ln | x 2  2 x  123 | c
 2 x  123
Uwaga (całkowanie przez podstawienie) :
Często wygodnie jest stosować wzór :


f a ( x) f ( x)dx 
f a 1 ( x)
c
a 1
Przykład (całkowanie przez podstawienie) :
5
 ( x  71) dx 
( x  71)5
c
6
II. CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

Twierdzenie (całkowanie przez części):
Jeżeli
u  u( x), v  v( x)
 uv ' dx  uv   u ' vdx
to

Sprawdźmy, że :
 uv ' dx   u ' vdx  uv
Obliczmy pochodną :
( uv ' dx   u ' vdx)'  uv'  u 'v  (uv)'

Przykład (całkowanie przez części):
I   ln 2 xdx 
1
1
u  ln x u  
2
2

x
ln
x

2
ln
xdx

x
ln
x

2
x
x 


vx
v 1
vx
u  ln 2 x u   2 ln x
v  1
 x ln 2 x  2( x ln x   dx)  x ln 2 x  2 x ln x  2 x  c
-2-