pobierz

GRZEGORZ PAWEŁ KORBAŚ
Katedra Automatyzacji i Diagnostyki Układów Elektromechanicznych
ZASTOSOWANIE HYBRYDOWEJ METODY MINIMALIZACJI DO
WYZNACZANIA PARAMETRÓW MODELI MATEMATYCZNYCH
UKŁADÓW ELEKTROMECHANICZNYCH
streszczenie: W artykule przedstawiono badania dotyczące estymacji parametrów modelu matematycznych silnika indukcyjnego głębokożłobkowego oraz
modelu szeregowego obwodu RLC przy użyciu hybrydowej metody minimalizacji wielu zmiennych. Użyta metoda hybrydowa jest połączeniem algorytmów
genetycznych z metodą Hooka-Jeevesa. Dokonano analizy celowości takiego
połączenia oraz w sposób statystyczny zbadano wzrost efektywności w odniesieniu do klasycznego algorytmu genetycznego.
1. WSTĘP
W przypadku diagnostyki, projektowania, symulacji bądź sterowania układów
elektromechanicznych niejednokrotnie istnieje potrzeba wyznaczania wartości
parametrów modeli matematycznych. Proces estymacji parametrów jest w zasadzie tożsamy z poszukiwaniem takiego punktu
x min  ( x1 min , x 2 min ,..., x N min )
(1)
w N-wymiarowej przestrzeni parametrów, dla którego pewna funkcja wielu
zmiennych o wartościach rzeczywistych (funkcja celu)
f (x) , gdzie x  ( x1 , x 2 ,..., x N )
(2)
posiada wartość minimalną. Postać funkcji celu może być różna – niejednokrotnie wyznaczanie jej wartości jest kosztowne obliczeniowo. W takich przypadkach celowe jest korzystanie z metod, które pozwalają otrzymać zestawy parametrów bliskie optymalnym przy jak najmniejszej liczbie wywołań funkcji celu.
Minimalizacja funkcji wielu zmiennych może być dokonywana przy użyciu
wielu metod, których efektywność i możliwości są bardzo zróżnicowane. Klasyczne metody gradientowe (i bezgradientowe) są zazwyczaj relatywnie szybkie, ale ich efektywność jest silnie uzależniona od rodzaju funkcji celu, punktu
startowego oraz wymiaru przeszukiwanej przestrzeni parametrów. Jest również
ich sporą wadą zdążanie do minimum lokalnego i w ogólnym przypadku brak
możliwości jego opuszczenia. Pewnym wyjątkiem jest tu zmodyfikowana me-
1
toda Hooka-Jeevesa. Problem ten nie dotyczy metod genetycznych, które są
metodami optymalizacji globalnej. Niestety zbieżność tych metod jest znacznie
mniejsza i bardzo związana z przypadkiem (opiera się na prawdopodobieństwie). Niejednokrotnie w skład populacji algorytmu genetycznego wchodzi punkt, z którego metoda gradientowa lub bezgradientowa w kilku krokach
osiągnęłaby minimum, tymczasem algorytm genetyczny nie jest do tego zdolny
w krótkim czasie. Korzystne wydaje się zatem połączenie obydwu rodzajów
metod i stworzenie metody hybrydowej, która potrafiłaby szukać minimum globalnego, lecz robiłaby to szybciej niż klasyczne metody genetyczne. Rozwiązania takie były już stosowane w różnych formach. Na przykład w [13] zastosowano dwuetapową procedurę identyfikacji modelu matematycznego silnika indukcyjnego przy zastosowaniu algorytmu genetycznego i algorytmu Neldera-Meada. Zaproponowana w tym artykule metoda może być alternatywą dla
innych, gdyż okazała się bardzo efektywna w rozważanych przypadkach. Dokonano samodzielnej implementacji metody hybrydowej w środowisku obiektowym Delphi i zbadano w sposób statystyczny efektywność tej metody w odniesieniu do badanych wcześniej klasycznych algorytmów genetycznych. Badania przeprowadzono wstępnie na szeregu funkcji testowych oraz wielu
modelach matematycznych układów elektromechanicznych. W ramach artykułu
przedstawiono reprezentatywne przykłady: estymację statyczną (równoległą)
parametrów modelu silnika indukcyjnego na podstawie danych pomiarowych
oraz estymację dynamiczną (równoległą) parametrów modelu układu RLC.
2. ZASTOSOWANE ALGORYTMY
2.1.
Algorytmy genetyczne (GA)
Podstawowe informacje dotyczące algorytmów genetycznych można znaleźć w
[1,5,12]. Sposób działania algorytmów genetycznych opiera się na procesach
rządzących ewolucją. Jeśli dostępna jest pewna populacja osobników (zbiór
możliwych rozwiązań), to w kolejnej iteracji z istniejącej populacji losowo
tworzy się nową w ten sposób, że osobniki najlepsze mają większą szansę
pojawienia się w niej (tzw. proces selekcji). W przypadku minimalizacji funkcji, osobnikami najlepszymi są te, dla których wartość funkcji celu jest najmniejsza. Nowa populacja może różnić się rozmiarem od starej i może zawierać
kilka kopii tego samego osobnika. W tak utworzonej nowej populacji można
użyć operatorów genetycznych. Klasycznie używa się mutacji równomiernej i
krzyżowania prostego. Ogólnie schemat algorytmu genetycznego można przedstawić w postaci następującego pseudokodu (na bazie [12]):
1. t0
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ustal populację P(t)
oceń P(t)
jeśli warunek końca jest spełniony to zakończ
tt+1
wybierz P(t) z P(t-1)
zmień P(t) za pomocą operatorów
oceń P(t) i skok do punktu 4.
Parametr t oznacza numer kolejnej iteracji. Warunek końca może mieć różną
formę. Często koniec następuje, gdy w trakcie pewnej (wcześniej ustalonej)
liczby iteracji nie zostanie znaleziony osobnik lepszy niż już znany. W ramach
oceny populacji liczona jest wartość funkcji celu dla każdego osobnika i na
podstawie uzyskanych wyników wyznaczane jest prawdopodobieństwo wejścia
osobnika do kolejnej populacji. Tworzenie nowej populacji (selekcja) może
mieć różną formę. Klasycznie szansa wejścia osobnika do nowej populacji jest
wprost proporcjonalna do jego przystosowania i nie zakłada zachowywania najlepszego osobnika. Oznacza to, że choć średnio biorąc następuje poprawa to w
kolejnej populacji najlepszy osobnik może okazać się gorszy niż w populacji
wcześniejszej. Często jednak odchodzi się od formy klasycznej zachowując w
różny sposób osobnika najlepszego. Użycie na powstałej populacji operatorów
genetycznych uzależnione jest od prawdopodobieństwa użycia tych operatorów, które może być stałe lub też zmieniać się w kolejnych iteracjach.
W poniższym opisie używane jest nazewnictwo przyjęte dla algorytmów genetycznych. Osobnik oznacza w tym przypadku wektor liczb rzeczywistych, natomiast gen oznacza liczbę rzeczywistą – jedną ze składowych tego wektora.
Populację stanowi zatem zbiór wektorów – potencjalnych rozwiązań zagadnienia minimalizacji (estymacji). Przykładowo populację P o liczności POP
składającą się z osobników O1, O2, ... OPOP, z których każdy ma K genów G1,
G2, ..., GK można zapisać w postaci P=[O1, O2, ..., OPOP], gdzie Oi=[Gi1, Gi2, ...,
GiK]. Standardowo używanymi operatorami są różne odmiany mutacji i krzyżowania. Mutacja jest nieodzowna, by wprowadzić do populacji osobniki o zupełnie nowych cechach. To właśnie dzięki mutacji algorytm genetyczny ma zdolność poszukiwania minimum globalnego. Operator krzyżowania jest odpowiedzialny za wymianę informacji pomiędzy osobnikami.
Istnieje wiele odmian operatorów genetycznych. Jednym z dwu klasycznych
operatorów genetycznych jest mutacja równomierna. Jeśli osobnik jest wybrany
do mutacji, to spośród jego genów wybiera się jeden, który mutuje. Mutacja
oznacza tu losowanie nowej wartości z dziedziny tego właśnie genu. Zbliżonym
operatorem jest mutacja niejednorodna. Różni się ona tym, że nowa losowana
wartość genu wraz z kolejnymi iteracjami ma coraz większe szanse być zbliżona do wartości genu przed zmutowaniem. Takie podejście umożliwia dokład-
3
niejsze dostrojenie lokalne w końcowej fazie minimalizacji. Odmienną
propozycją mutacji jest mutacja brzegowa, w wyniku której gen może uzyskać
jedynie graniczne wartości swej dziedziny. Operator ten może być użyteczny w
sytuacjach, gdy poszukiwane minimum znajduje się na granicy obszaru dozwolonego, jednak jego użycie może spowodować szybką degenerację populacji do
osobników o tych samych wartościach genów. Drugim klasycznym operatorem
jest krzyżowanie proste. Dla dwóch wybranych osobników (rodziców) losowany jest indeks L genu, który stanowi tzw. linię rozcięcia. Tworzonych jest
dwóch potomków w ten sposób, że pierwszy potomek ma L pierwszych genów
od pierwszego rodzica, a resztę od drugiego, natomiast drugi potomek ma L
pierwszych genów od drugiego rodzica, a resztę od pierwszego. Krzyżowanie
takie nazywane jest jednopunktowym, gdyż istnieje tylko jedna linia rozcięcia.
Stosuje się również krzyżowanie o większej liczbie linii rozcięcia. Kolejnym
operatorem jest krzyżowanie arytmetyczne, które z rodziców O1 i O2 tworzy potomków O1’ i O2’ zgodnie z zależnościami O1’=aO2+(1-a)O1 i O2’=aO1+(1-a)O2,
gdzie a jest liczbą losową (lub z góry ustaloną) z przedziału od 0 do 1. Następny operator, krzyżowanie heurystyczne, jest przykładem operatora tworzącego
osobnika „w obiecującym kierunku”. Dla dwu rodziców O1 i O2 gdzie O2 jest
nie gorszy niż O1 tworzony jest tylko jeden potomek O’ zgodnie z zależnością
O’=r(O2-O1)+O2, gdzie r jest liczbą losową z przedziału od 0 do 1. Operator ten
może utworzyć osobnika z niedozwolonymi wartościami genów, wówczas
można losować inną wartość liczby r lub uznać, że potomek nie został utworzony. Jest to przykład operatora, który próbuje ukierunkować poszukiwanie
minimum, nie do końca zdając się na przypadek.
Efektywność wymienionych operatorów oraz analiza prawdopodobieństw ich
użycia była rozważana w [7]. W ramach tej pracy stosowano operator mutacji
równomiernej, krzyżowania prostego i arytmetycznego, natomiast sam algorytm genetyczny został zmodyfikowany w sposób opisany w [7] (zachowanie
najlepszego osobnika, tablica liczonych wcześniej wartości). Używano zasadniczo populacji niezbyt licznych (rzędu 20 osobników).
2.2.
Zmodyfikowany algorytm Hooka-Jeevesa (HJmod)
Istnieje wiele gradientowych i bezgradientowych metod minimalizacji. Sposób
ich działania jest w zasadzie jednakowy. Minimalizacja rozpoczyna się z punktu startowego, który jest podawany lub losowany. W kolejnych iteracjach obliczana jest wartość funkcji celu dla jednego lub więcej punktów w przeszukiwanej przestrzeni. Uzyskane wartości pozwalają na określenie punktu startowego kolejnej iteracji a także na stwierdzenie, czy zostało już odnalezione
minimum. Różnica pomiędzy metodami gradientowymi i bezgradientowymi polega na tym, iż metody gradientowe korzystają z informacji o gradiencie funkcji
4
w analizowanym punkcie. W przypadku, gdy taka informacja nie jest podawana
wprost, uzyskuje się ją w sposób przybliżony na bazie obliczeń wartości funkcji
celu dla niezbyt odległych punktów. Z jednej strony posiadanie informacji o
gradiencie funkcji celu umożliwia na lepsze oszacowanie położenia minimum,
z drugiej strony uzyskanie tej informacji wymaga zwykle o wiele większego nakładu obliczeniowego. Wiele podstawowych metod minimalizacji można odszukać w [2,4].
Jedną z bardziej znanych metod bezgradientowych jest metoda Hooka-Jeevesa.
Dla jednej osi kartezjańskiego układu współrzędnych w kierunku dodatnim dokonywany jest krok o długości t od aktualnego punktu x. Jeśli w nowym punkcie wartość funkcji celu jest mniejsza, to analizuje się kolejną oś startując z nowego punktu, jeśli natomiast nie, to dokonywany jest krok o długości t w przeciwnym kierunku od pierwotnego punktu x. Jeśli i w tym punkcie nie
znaleziono wartości niższej, to kolejna oś jest analizowana z tego samego punktu startowego. Na jedną iterację składa się wykonanie kolejnej analizy dla
wszystkich osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Jeśli w ramach iteracji
nie znaleziono lepszego punktu, to długość kroku mnożona jest o pewien czynnik zmniejszający. Warunki zakończenia działania metody mogą być różne – na
przykład, gdy krok t osiągnie odpowiednio małą wartość. Zasadniczo dla większości metod koniec następuje, gdy w jednej lub kilku kolejnych iteracjach
przemieszczenie w przeszukiwanej przestrzeni jest mniejsze od pewnej założonej dokładności.
Metoda Hooka-Jeevesa jest wbrew swej prostocie dosyć efektywna, jednak w
celu przyspieszenia zbieżności wprowadza się różne jej modyfikacje. Różne
modyfikacje metody Hooka-Jeevesa były już niejednokrotnie z powodzeniem
wykorzystywane do estymacji parametrów, np. [3,9].
W ramach tej pracy posługiwano się zmodyfikowaną metodą Hooka-Jeevesa
zaproponowaną w [9], w której wprowadzono niezależne kroki dla każdej osi
układu współrzędnych. Ponadto poza współczynnikiem zmniejszającym
wprowadzono współczynnik zwiększający używany, gdy dla danej osi
znaleziono lepszy punkt. Dla każdej osi zapamiętywany był także kierunek (dodatni lub ujemny), dla którego ostatnio uzyskano poprawę i pierwszy krok wykonywany był w tym kierunku. Badania przeprowadzone w ramach [8] wskazują, że niektóre metody gradientowe lub bezgradientowe są statystycznie szybsze
niż zmodyfikowana metoda Hooka-Jeevesa. Przykładem mogą być metody Zangwilla, Powella lub Gaussa-Seidela. Metoda HJmod ma jednak pewną liczbę
szczególnie korzystnych cech: pozostaje relatywnie efektywna przy rosnącej
ilości zmiennych, potrafi niekiedy opuszczać minima lokalne, działa na funkcjach celu o różnorodnych formach (metody gradientowe preferują formy zbliżone do kwadratowej). Wstępne próby tworzenia algorytmu hybrydowego po-
5
twierdziły, że HJmod jest najlepiej nadającą się do tego metodą spośród analizowanych gradientowych i bezgradientowych.
2.3.
Algorytm hybrydowy (GA-HJmod)
W ramach [14] dokonano porównania efektywności klasycznego algorytmu
genetycznego i metody Hooka-Jeevesa oraz zaproponowano ich połączenie.
Takie próby były już podejmowane w różnych formach. W ramach tej pracy zaproponowano podejście przemiennego wywoływania GA i HJmod, które w
podstawowej formie można zapisać w postaci pseudokodu.
1. popHJ1, popGA1, ustal populację GA
2. Wywołaj GA nGA razy.
3. Jeśli w ramach punktu 2 uzyskano poprawę to popGA1, w przeciwnym wypadku popGA0
4. Jeśli jest to pierwsza iteracja lub popGA=1 to niech najlepszy osobnik
GA będzie punktem startowym dla HJmod
5. Jeśli popGA=0 i popHJ=0 to skok do 8
6. Wywołaj nHJ iteracji HJmod (lub zgodnie z innym warunkiem)
7. Jeśli w ramach punktu 6 uzyskano poprawę to popHJ1 oraz wprowadź punkt końcowy z HJmod do populacji GA, w przeciwnym wypadku
popHJ0
8. Jeśli nie jest spełniony warunek zakończenia to skok do 2
Warunek zakończenia z punktu 8 może być różny: np. przekroczona z góry zadana ilość iteracji lub wywołań funkcji celu. Różną formę może też mieć punkt
6. Można wywoływać HJmod aż do uzyskania zadanej dokładności lub określoną ilość razy. W ramach tej pracy próbowano różnych podejść. Przedstawione
rezultaty dotyczą następującego sposobu: wywołuje się HJmod 10 razy jednak,
gdy w kolejnych trzech iteracjach nie następuje poprawa, to opuszcza się punkt
6. W odniesieniu do punktu 2 – zdecydowano się wywoływać GA jedno- lub
dwukrotnie.
Można zauważyć, że w przedstawionym algorytmie GA jest wywoływany w
każdej iteracji, natomiast wywołanie HJmod jest blokowane, gdy wydaje się
być niecelowe. Innymi słowy po osiągnięciu minimum lokalnego HJmod
oczekuje na kolejny, lepszy punkt od GA i stara się szybko osiągnąć nowe
minimum.
Efektywność algorytmu można dodatkowo podnieść poprzez szczegółową
redukcję niepotrzebnych wywołań funkcji celu. W szczególności celowe jest
tablicowanie wartości funkcji celu dla wcześniej rozważanych punktów. W
przypadku przeszukiwania obszarów ograniczonych warto zadbać o to, by poza
6
obszarem dozwolonym wartość funkcji celu nie była liczona. Przykładowo jeśli
HJmod usiłuje opuścić obszar dozwolony w pewnym kierunku, można to wykryć i wymusić powrót na granicę obszaru dozwolonego. Wstępne badania
wskazują, że jest to rozwiązanie bardziej efektywne od nakładania kary na
funkcję celu.
Opisany algorytm hybrydowy został zaimplementowany w postaci klasy w
obiektowym środowisku Delphi firmy Borland. Wykorzystano tu wskazówki
zawarte w [6,10]. Podejście obiektowe umożliwiło zwiększenie elastyczności i
przejrzystości programu.
3. BADANIA NA FUNKCJACH TESTOWYCH
Wstępne badania porównawcze efektywności metody hybrydowej w odniesieniu do klasycznych algorytmów genetycznych dokonywane były dla
różnych funkcji testowych. Funkcje te charakteryzowały się przede wszystkim
wieloma minimami lokalnymi i jednym (znanym) minimum globalnym oraz
możliwością zmiany ilości zmiennych w dowolnym zakresie. Przykładowe
wyniki prezentowane są dla funkcji celu postaci
y    x i  2 cos( xi )  2
N
(3)
i 1
Najciekawsze wydaje się porównanie efektywności metody hybrydowej i klasycznego GA dla różnej ilości zmiennych. Badano ilość wywołań funkcji celu
koniecznych do odszukania minimum globalnego z zadaną dokładnością. Dokonano kilku tysięcy prób na podstawie których obliczono wartość średnią i odchylenie standardowe. Otrzymane wyniki zestawiono na wykresie 1. Jak łatwo
zauważyć metoda hybrydowa była średnio 10 razy szybsza, a odchylenie standardowe jest na przyzwoitym poziomie. Metoda GA-HJmod podobnie jak klasyczny GA, opiera się znacząco na prawdopodobieństwie, więc jest możliwość,
że poszukiwanie optimum globalnego będzie trwało długo. Analizowano jednak
maksymalną liczbę wywołań funkcji celu we wszystkich próbach i dla metody
hybrydowej okazywała się ona zawsze co najmniej dwukrotnie mniejsza niż dla
metody klasycznej GA.
Na tym etapie badano również inne (poza HJmod) algorytmy gradientowe i
bezgradientowe. Okazało się, że utworzone na ich bazie hybrydy wraz ze
wzrostem liczby zmiennych mają coraz gorsze właściwości. W zasadzie powyżej 10 zmiennych klasyczny GA był efektywniejszy niż algorytm hybrydowy
inny od GA-HJmod.
7
Pozostałe wnioski otrzymane dzięki funkcjom testowym pokrywają się z danymi przedstawianymi w dalszej części artykułu – dla estymacji parametrów
modeli układów elektromechanicznych.
Wykres 1. Porównanie efektywności GA oraz GA-HJmod dla różnej ilości zmiennych.
Liniami ciągłymi oznaczono średnią ilość wywołań funkcji celu potrzebną do odszukania minimum globalnego z zadaną dokładnością, liniami przerywanymi – odchylenie
standardowe.
4. ESTYMACJA PARAMETRÓW SILNIKA INDUKCYJNEGO
4.1.
Uproszczony model i dane pomiarowe
Tabela 1. Statyczne charakterystyki silnika SZJre-134t
1
s
M/MN 1.3
I/IN 5.43
0.9
1.31
5.32
0.8
1.34
5.27
0.7
1.35
5.22
0.6
1.37
5.1
0.5
1.39
4.98
0.4
1.4
4.8
0.3
1.43
4.64
0.2
1.45
4.4
0.15
1.48
4.25
0.1
s
M/MN 1.73
I/IN 3.95
0.09
1.8
3.85
0.08
1.97
3.75
0.07
2.09
3.63
0.06
2.2
3.48
0.05
2.34
3.25
0.04
2.37
2.95
0.03
2.26
2.55
0.02
1.96
2.05
0.01
1.34
1.35
W ramach pracy wykorzystany został model silnika indukcyjnego o dwóch klatkach zastępczych zaczerpnięty z [11], skąd pobrano również przykładowe charakterystyki pomiarowe. Są to charakterystyki statyczne I=f(s) oraz M=f(s),
8
gdzie I – natężenie prądu stojana, M – moment elektromagnetyczny, s –
poślizg. Dane pomiarowe zostały przedstawione w tabeli 1 (IN i MN oznaczają
tu wartości znamionowe). Charakterystyki te dotyczą silnika SZJre-134t o
mocy znamionowej 1000kW, napięciu znamionowym 6000V (uzwojenia
stojana połączone w gwiazdę) i prędkości obrotowej 1490 obr/min.
W pełnej postaci model prezentowany jest przez układ równań różniczkowych.
W przypadku stanu ustalonego, przy pewnych założeniach, model ten redukuje
się do zwyczajnego układu równań, z którego łatwo wyprowadzić wzory na natężenie prądu stojana i moment elektromagnetyczny.
M ( s)  3U s2
I (s )  U s
pRr
 0 s( A 2  B 2 )
(4)
C2  D2
A2  B2
(5)
przy czym
R1 R2 ( R1  R2 )  ( R1 X 22  R2 X 12 ) s 2
Rr 
( R1  R2 ) 2  ( X 1  X 2 ) 2 s 2
X 1 X 2 ( X 1  X 2 ) 2 s 2  R12 X 2  R22 X 1
Xr 
( R1  R2 ) 2  ( X 1  X 2 ) 2 s 2
X
C  1 r
Xm
R
D r
sX m
X
E  1 s
Xm
R
A  Rs C  r E
s
B  X s  X r E  Rs D
gdzie: Us – wartość skuteczna fazowego napięcia zasilania, p – liczba par
biegunów, 0 – pulsacja napięcia zasilania, R1, R2, Rs – rezystancje klatek wirnika i uzwojenia stojana, X1, X2 – reaktancje synchroniczne klatek wirnika, Xm
– reaktancja magnesowania, Xs – reaktancja stojana.
9
W rozważanym przypadku nieznanymi parametrami były wielkości R1, R2, X1,
X2 oraz Xs, natomiast pozostałe wartości były znane dzięki dostępnej informacji
albo pomiarom.
4.2.
Wyniki estymacji
Dokonano estymacji szeregowej parametrów R1, R2, X1, X2 oraz Xs modelu
matematycznego silnika opisanego równaniami (4) i (5). Minimalizowana funkcja celu miała postać sumy kwadratów odchyleń wartości pomiarowych od wartości obliczanych z równań (4), (5) dla danego punktu z przeszukiwanej przestrzeni parametrów.
f (x)   I p ( s )  I ( s, x)    M p ( s)  M ( s, x) 
2
s
2
s
(6)
gdzie x – wektor parametrów; s – poślizg; Ip, Mp – unormowane pomiarowe
wartości natężenia prądu stojana i momentu elektromagnetycznego; I, M –
unormowane wartości natężenia prądu stojana i momentu elektromagnetycznego otrzymane z użytego modelu silnika.
Wykres 2. Porównanie efektywności GA oraz GA-HJmod w estymacji parametrów
modelu silnika.
10
Wykres 3. Zgodność charakterystyki pomiarowej z charakterystykami z wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań f. celu – natężenie prądu stojana.
Wykres 4. Zgodność charakterystyki pomiarowej z charakterystykami z wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań f. celu – moment elektromagnetyczny.
11
Estymacja parametrów była dokonywana kilka tysięcy razy w celu uzyskania
danych o charakterze statystycznym. Na wykresie 2 przedstawiono porównanie
efektywności GA oraz GA-HJmod. Widać wyraźnie, że algorytm hybrydowy
cechuje się statystycznie znacznie większą szybkością zbieżności. Dzięki użyciu GA-HJmod można było w przypadku tego modelu silnika uzyskać
kilkukrotny wzrost szybkości estymacji parametrów. Na wykresach 3 i 4 przedstawiono reprezentacyjne zgodności charakterystyk pomiarowych z uzyskanymi
na bazie wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań funkcji celu.
5. ESTYMACJA PARAMETRÓW OBWODU RLC
5.1.
Model matematyczny
Rozważano szeregowy obwód RLC przedstawiony schematycznie na rysunku 1
(zapożyczone z [6]).
Rysunek 1. Szeregowy obwód RLC.
Model matematyczny obwodu może być zapisany w postaci równania
 R
i
(
t
)
d  L   L


dt uC (t )   1
 C
1
1 
L   i L ( t )     e(t )

L
u (t )
0   C   0 


(7)
e(t )  sin(t   )
gdzie: iL – natężenie prądu w obwodzie, uC – napięcie na kondensatorze, R –
oporność, L – indukcyjność, C – pojemność, rad/s – pulsacja napięcia,
 – faza źródła w chwili t=0. W ramach pracy ustalono wartości wszystkich
parametrów generując charakterystyki symulacyjne iL(t) i uC(t).
5.2.
Wyniki estymacji
12
Bazując na charakterystykach symulacyjnych dokonywano estymacji szeregowej dynamicznej dla trzech (R, L, C) oraz czterech (R, L, C, ) niewiadomych. Funkcja celu miała postać analogiczną do (6) - dokonywana była estymacja szeregowa na podstawie zależności prądu w czasie oraz napięcia na
kondensatorze w czasie. W przypadku estymacji dynamicznej wyznaczanie
wartości funkcji celu wiąże się z rozwiązywaniem układu równań różniczkowych i jest czasochłonne. Czas pojedynczego procesu estymacyjnego dla
trzech parametrów na komputerze z procesorem 2GHz sięgał przy klasycznym
GA od kilkudziesięciu minut do ponad godziny. Przy użyciu algorytmu hybrydowego wynosił około minuty. Jest to więc przykład, w którym warto zwracać
uwagę na jak najmniejszą liczbę wywołań funkcji celu. Do rozwiązywania
układu równań różniczkowych stosowano w ramach tej pracy metodę RungegoKutty rzędu czwartego.
Dane symulacyjne (i związane z nimi procesy estymacji) były uzyskiwane dla
różnych ustalonych wartości parametrów R, L, C i  Poniższe wykresy dotyczą
danych symulacyjnych dla parametrów o wartościach R=1, L=0,1mH,
C=50mF, =rad. Estymacja parametrów była dokonywana kilkaset razy w
celu uzyskania danych o charakterze statystycznym. Na wykresach 5 i 6 przedstawiono porównanie efektywności GA oraz GA-HJmod dla przypadku estymacji 3 lub 4 parametrów.
Wykres 5. Porównanie efektywności GA oraz GA-HJmod w estymacji parametrów
modelu obwodu RLC – przypadek 3 parametrów.
13
Wykres 6. Porównanie efektywności GA oraz GA-HJmod w estymacji parametrów
modelu obwodu RLC – przypadek 4 parametrów.
Wykres 7. Zgodność charakterystyki pomiarowej z charakterystykami z wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań f. celu – natężenie prądu. Dane symulacyjne dla
parametrów o wartościach R=1, L=0,1mH, C=50mF oraz wymuszenia e(t)=10sin
(100 t+) V.
14
Wykres 8. Zgodność charakterystyki pomiarowej z charakterystykami z wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań f. celu – napięcie na kondensatorze. Dane symulacyjne dla parametrów o wartościach R=1, L=0,1mH, C=50mF oraz wymuszenia e(t)
=10sin(100 t+) V.
W przypadku tego modelu przewaga algorytmu hybrydowego jest bardzo duża.
Oszczędność liczby wywołań funkcji celu (a więc jednocześnie zysk czasu) dochodzi do kilkudziesięciu razy. Na wykresach 7 i 8 przedstawiono reprezentacyjne zgodności charakterystyk pomiarowych z uzyskanymi na bazie
wyestymowanych parametrów po 1000 wywołań funkcji celu (przypadek 4
parametrów). Zgodność charakterystyk otrzymanych na bazie GA-HJmod jest
wyraźnie lepsza.
6. PODSUMOWANIE
W artykule zaprezentowano statystyczne badania porównawcze efektywności
klasycznego algorytmu genetycznego oraz hybrydowej metody GA-HJmod. Zaprezentowano też przykłady zastosowań tego algorytmu do estymacji parametrów modeli matematycznych układów elektromechanicznych.
Algorytm hybrydowy okazał się wyraźnie lepszy od klasycznego GA dla
wszystkich rozważanych funkcji testowych i modeli matematycznych. Wzrost
efektywności jest rzędu od kilku do kilkudziesięciu razy. Ważną zaletą GA-
15
HJmod jest zachowywanie efektywności przy zwiększającym się wymiarze
przeszukiwanej przestrzeni parametrów.
Przeprowadzone badania sugerują, że stosowanie algorytmu hybrydowego GAHJ jest celowe wszędzie tam, gdzie warto zastosować klasyczny GA. Dotyczy
to w szczególności funkcji celu charakteryzujących się wieloma minimami lokalnymi, albo takich, których forma jest słabo znana.
W przypadku estymacji parametrów modelu matematycznego silnika indukcyjnego oraz modelu matematycznego szeregowego obwodu RLC zastosowany algorytm GA-HJmod okazał się bardzo przydatnym narzędziem dając w relatywnie krótkim czasie dobre zestawy parametrów.
Wydaje się celowe prowadzenie dalszych badań nad udoskonaleniem algorytmu GA-HJmod szczególnie w zakresie doboru parametrów dla obydwu metod
składowych rozważanej hybrydy. Dodatkowe badania wskazują na przykład, że
po ustaleniu nowego punktu startowego HJmod nie warto narzucać małego
kroku startowego. Szczegółowa analiza możliwych udoskonaleń może z pewnością doprowadzić do kolejnego wzrostu jego efektywności, jednak w formie zaproponowanej w ramach tego artykułu przewaga GA-HJmod nad klasycznym
GA jest bardzo duża.
7. LITERATURA
[1] ARABAS J.: Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT, Warszawa 2001
[2] BAZARAA M.S., SHETTY C.M.: Nonlinear programming - theory and algorithms, John Willey and Sons, New York, 1979
[3] BENIAK R.: The estimation of the brushless DC motor parameters by use
of modified Jeeves & Hook method, 15th Interational Conference on Electrical
Machines, ICEM 2002
[4] FINDEISEN W., SZYMANOWSKI J., WIERZBICKI A.: Teoria i metody
obliczeniowe optymalizacji, PWN, Warszawa 1980
[5] GOLDBERG D.E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, wyd. 3,
WNT, Warszawa 2003
[6] KAMIŃSKI M.: Programowanie obiektowe w badaniach własności
dynamicznych wybranej klasy układów elektromechanicznych – rozprawa doktorska, Politechnika Opolska, Opole 2002
[7] KORBAŚ G.P.: Zastosowanie algorytmów genetycznych do estymacji parametrów modelu matematycznego silnika indukcyjnego, Ogólnopolskie Warsztaty Doktoranckie, Istebna 2003
[8] KORBAŚ G.P.: Badanie efektywności wyznaczania parametrów modeli
matematycznych za pomocą gradientowych i bezgradientowych metod
minimalizacji, Ogólnopolskie Warsztaty Doktoranckie, Istebna 2003
16
[9] KORBAŚ G.P., MACEK-KAMIŃSKA K.: Badanie przydatności wybranych gradientowych i bezgradientowych metod minimalizacji do wyznaczania
parametrów modelu matematycznego silnika indukcyjnego, XXXIX
Seminarium Maszyn Elektrycznych, Gdańsk-Jurata 2003
[10] MACEK-KAMIŃSKA K., WACH P., KAMIŃSKI M.: Object oriented
programming in estimation of the parameters of the non-linear dynamic system,
15th Interational Conference on Electrical Machines, ICEM 2002
[11] MACEK-KAMIŃSKA K.: Estymacja parametrów modeli matematycznych silników indukcyjnych dwuklatkowych i głębokożłobkowych, WSI, Opole
1992
[12] MICHALEWICZ Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych =
programy ewolucyjne, WNT, Warszawa 1996
[13] RUTCZYŃSKA-WDOWIAK K., STEFAŃSKI T.: Identyfikacja modelu
matematycznego silnika indukcyjnego z zastosowaniem dwuetapowej procedury minimalizacji wskaźnika jakości, SENE 2001, tom II, str. 519-524
[14] WETTER M., WRIGHT J.: Comparison of a generalized pattern search
and a genetic algorithm optimization method, Eighth International IBPSA Conference, Eindhoven, Netherlands 2003
Estimation of parameters of the induction motor model and RLC circuit
model using hybrid minimization method.
summary: The paper presents the analysis of usefulness of the hybrid algorithm
in the estimation of parameters of the induction motor model and RLC circuit
model. The genetic algorithm and Hooke-Jeeves algorithm were used in the
hybrid method. Statistical comparison of the effectiveness of the genetic
algorithm and the hybrid method is presented.
17