Rozdział i Charakterystyki fluktuacji finansowych

Rozdział i Charakterystyki fluktuacji finansowych

Rozdział i
Charakterystyki fluktuacji finansowych
Dr Rafał Rak
Instytut Fizyki, Uniwersytet Rzeszowski
Prof. dr hab. Stanisław Drożdż
Instytut Fizyki, Uniwersytet Rzeszowski / IFJ PAN Kraków
Dr. Paweł Oświęcimka
IFJ PAN Kraków
Streszczenie
W pracy zostaną przeanalizowane rozkłady prawdopodobieostwa stóp zwrotu dla
danych indeksu WIG20 oraz jego portfela za okres od 17.11.2000 do 30.06.2005. Są to
dane najwyższej częstości (1min) oraz tzw. dane tick by tick (notowania w czasach
transakcji). Oprócz danych z polskiej giełdy przeanalizowane zostaną dane z tzw. rynków dojrzałych tj. notowania dla 1000 największych spółek indeksu NYSE i NASDAQ. Zostanie także zaproponowana analityczna postad rozkładów (tzw. q-Gaussiany), które na
dzio dzisiejszy stanowią jedną z najlepszych reprezentacji opisujących rozkłady rzeczywiste.
Wstęp
Fizyka, ekonomia i matematyka to dziedziny nauki, które w wyniku połączenia
zaowocowały powstaniem interdyscyplinarnej w ostatnich latach prężnie rozwijającej się dyscypliny naukowej zwanej ekonofizyką. Jest to dziedzina, która wykorzystuje wielkie doświadczenie i narzędzia fizyki dla potrzeb wyjaśniania i
modelowania szeroko rozumianych zjawisk ekonomicznych. Rynki finansowe
oferują niezwykle bogatą bazę danych i generują wiele interesujących zjawisk,
które obecnie stanowią wielkie wyzwanie także dla fizyków. Świat finansów,
będący jednym z najbardziej złożonych, samoorganizujących się systemów stawia wiele interesujących pytao, na które fizyka w ostatnich latach stara się odpowiedzied. Należy jednak pamiętad, że związek między fizyką a ekonomią za-
1
2
Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
czął się o wiele wcześniej. Pierwsze prace naukowe pojawiły się już na przełomie XIX i XX wieku, kiedy to L.Bachelier (Bachelier L. 1900) w 1900 roku zaproponował pierwszy model dynamiki cen akcji, który jak się później okazało był
analogiczny do modelu opisującego stochastyczny ruch cząstki Brownowskiej,
czyli tzw. klasyczny ruch Browna lub ruch Wienera-Browna. I chod dziś wiemy,
że model ten nie opisuje w pełni dynamiki rynku giełdowego to jednak stanowił
on duży wkład do powstania i rozwoju matematyki finansowej i ekonofizyki.
Niedoskonałością modelu opartego na błądzeniu przypadkowym okazało się założenie, że rozkłady prawdopodobieostwa fluktuacji cen akcji podlegają rozkładowi Gaussa. Dziś wiemy, że empiryczne rozkłady mają często znacznie grubsze
ogony, które dla relatywnie dużych zdarzeo spełniają prawa potęgowe (Drożdż
S., 2003; Mantegna R., 1995; Gopikrishnan P., 1999, Plerou V., 1999; , Gopikrishnan P., 1998).
Koncepcję rozkładów potęgowych zapoczątkował włoski ekonomista i socjolog V.Pareto, który zaproponował je do statystycznego opisu zjawisk socjologicznych (Pareto V., 1897). Kolejne lata pokazały jednak ich zastosowanie w
ekonomi – potęgowe rozkłady Levy’ego (Levy P. 1925) oraz ich aplikowanie do
rzeczywistych fluktuacji finansowych przez B.Mandelbrota (Mandelbrot B. B.,
1963). Wiadomo jednak, że rozkłady Levy’ego również nie do kooca odzwierciedlają naturę rynków finansowych, dla których współczynnik skalujący ogony
ich rozkładów leży poza stabilnym obszarem Levy’ego. Skoro ani rozkład Gaussa
ani rozkłady Levy’ego nie pasują do rzeczywistych rozkładów stóp zwrotu pojawia się pytanie czy istnieją rozkłady, które zadowalająco opisywałyby fluktuacje
finansowe? Użytecznym okazuje się tu teoria nieekstensywnej mechaniki statystycznej, która w sposób naturalny prowadzi do nowej klasy rozkładów zwanych
q-Gaussianami (Tsallis C., 1988; 1998, 2003, Osorio R., 2004).
i.1. Od ruchów Browna do fluktuacji finansowych
W 1827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu. Niemal 80 lat później A. Einstein (Einstein A.,
1905) i M. Smoluchowski (Smoluchowski M., 1906) dokonali niezależnie matematycznego opisu tego typu zjawiska.
Jednak wcześniej, bo 1900 roku, Louis Bachelier w swojej pracy doktorskiej z
matematyki pt. „Teoria spekulacji”, zaproponował pewien teoretyczny model
procesu stochastycznego mający opisywad zachowanie fluktuacji akcji na gieł-
imię i nazwisko
3
dzie paryskiej (Bachelier L., 1900). Po sześddziesięciu latach odkryto na nowo
jego pracę i okazało się, że równania, które przedstawił opisywały ruchy Browna.
W kolejnych latach zaproponowano bardziej ogólną postad tego ruchu,
tzw. ułamkowy ruch Browna (ang. FBM) lub inaczej ułamkowy szum gaussowski
(Muzy J.F., 1994). Procesy tego typu – oznaczmy je BH  t  – są procesami gaussowskimi o zadanym parametrze H   0 ,1 , wartości średniej równej zero oraz
kowariancji
Cov  BH  t1  ;BH  t2   

2 2 H
2H
t1  t1  t2  t22 H
2

(1)
Parametr H nazywany wykładnikiem Hursta (Hurst H.E., 1951) wprowadza duże uogólnienie do procesu Browna. Można wyróżnid tu następujące charakterystyczne przedziały H :
• gdy H   0.5,1 to szereg czasowy odznacza się dodatnią persystencją
(korelacją)
• gdy H   0 ,0.5  to szereg czasowy odznacza się ujemną persystencją
(antypersystencją - antykorelacją)
• szczególnym przypadkiem tego uogólnionego ruchu jest ruch bez jakichkolwiek korelacji, tzw. klasyczny ruch Browna (nazywany również ruchem
Browna –Wienera) i występuje on gdy H  0.5 .
Na rysunku 1 zestawiono ruch Browna z rzeczywistymi danymi finansowymi.
Rysunek i.1. Zestawienie ruchu Browna (panel górny) z danymi indeksu Down
Jones (panel dolny).
Ruch Browna
4
Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
Indeks Dow Jones
Dane finansowe
Patrząc na powyższe rysunki widzimy, że wykresy jakościowo są do siebie
bardzo podobne. Ale gdy popatrzymy na wartości skoków ruchów Browna (różnice pomiędzy dwoma kolejnymi ruchami) i zestawimy je z fluktuacjami stóp
zwrotu danych rzeczywistych zauważymy znaczące różnice. Widzimy, że w serii
danych finansowych stosunkowo często pojawiają się wartości większe od 5 a
czasem i znacznie większe. W ruchu Browna tak duże skoki są praktycznie niemożliwe.
Z perspektywy dynamiki finansów proces stochastyczny opisany powyżej (wzór 1) ma między innymi jedno zasadnicze uproszczenie – zakłada Gaussowskie rozkłady prawdopodobieostwa co generalnie nie jest zgodne z rzeczywistymi obserwacjami. Dlatego w kolejnych latach podejmowano próby zastąpienia ruchu Browna – prowadzącego do rozkładu normalnego – alternatywnymi procesami stabilnymi, które dla różnych instrumentów finansowych lepiej
odzwierciedlały rozkłady logarytmicznych stóp zwrotu.
imię i nazwisko
5
Rysunek i.2. Wartości „skoków" dla ruchów Browna (panel górny) i danych rzeczy
wistych (panel dolny).
Wartości „skoków" dla ruchów Browna
Wartości „skoków" (Stopy zwrotu) dla DJIA
W 1963 roku Mandelbrot, po wnikliwej analizie cen akcji bawełny zauważył,
że empiryczne rozkłady dają dużo grubsze ogony niż rozkład Gaussa (Mandelbrot B. B., 1963). Oznaczało to, że bardzo rzadkie zdarzenia z punktu widzenia
rozkładu normalnego, występują z dużo większym prawdopodobieostwem w
rzeczywistych obserwacjach. Dlatego zaproponował on zastosowanie tzw.  stabilnych rozkładów Levy’ego.
Proces stochastyczny L  t  nazywamy  - stabilnym ruchem Levy’ego
(lotem Levy’ego) jeżeli przyrosty L  t   L  t   L    dla 0    t są niezależne a ich rozkład gęstości prawdopodobieostwa jest  -stabilnym rozkładem
Levy’ego:
6
Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych

1
L  x;  t     
2


 t  k
e   cos  kx  dk

gdzie,    0 ,2  jest parametrem stabilności i decyduje o grubości ogonów
rozkładu. Stosując następujące rozwinięcie asymptotyczne:

 1
n 1
t   
n
  n 
 1  n  sin 

 n! x
 2 
n 1
dostrzegamy, że pierwszy i wiodący człon tego rozwinięcia dla x  1 ma
L  x; t     

1 n
postad:
L x
 1
x  .
Rozkład Levy’ego jest na tyle ogólnym rozkładem, że może przyjmowad postad rozkładu Gaussa (dla   2 ), rozkładu Cauchy’ego (dla   1 ) oraz inne,
pośrednie zależnie od parametru  .
Z powyższych własności rozkładu Levy’ego wnioskujemy, że rozkład ten nie
może odzwierciedlad rozkładów fluktuacji finansowych. Dla rzeczywistych danych (zostanie to pokazane w kolejnym rozdziale) skalowanie ogonów z   3
jest już w obszarze zabronionym dla rozkładu Levy’ego.
i.2. Rozkłady prawdopodobieostw stóp zwrotu
Własności statystyczne fluktuacji finansowych na różnych skalach czasowych
odgrywają jedną z najważniejszych ról w modelowaniu rynków finansowych a
ich skwantyfikowane własności są jednym z najciekawszych zagadnieo fizyki i
ekonomii.
Rozpatrzmy szereg czasowy W  t  reprezentujący wartośd indeksu lub spółki w czasie t . R zdefiniowane przez następującą formułę:
R  R  t,t   lnW  t  t   lnW  t  ,
nazywane jest logarytmiczną stopą zwrotu (ang. return). W kolejnym kroku
normalizujemy stopy zwrotu:
r  r  t , t  
R R
v
T
,
imię i nazwisko
7
gdzie v  v  t  jest odchyleniem standardowym stóp zwrotu w czasie T ,
v2  R2
T
 R
2
T
i ... T jest średnią po T .
Na rysunku 3 pokazano znormalizowane stopy zwrotu r dla t  1min .
Rysunek i.3. Fluktuacje znormalizowanych, jednominutowych stóp zwrotu indeksu
WIG20 w okresie od 04.01.1999 do 31.10.2005.
Jak zmienia się charakter rozkładów stóp zwrotu indeksu WIG20 podczas gdy
zwiększamy parametr t pokazane jest na rysunku 4. Przedstawiono na nim
rozkłady modułów, bowiem analizowane tu fluktuacje są z dobrym przybliżeniem symetryczne. Wykresy przedstawione są w skali log-log, ponieważ wtedy
możemy bardzo wyraźnie widzied zachowanie się ogonów rozkładów a w szczególności identyfikowad rzadkie zdarzenia, które mają istotny wpływ na dynamikę fluktuacji stóp zwrotu.
W szczególności obserwujemy potęgowe skalowanie się tzw. ogonów rozkładów,

Pr  x x
zgodne z odwrotnym prawem kubicznym, dla którego   3 .
8
Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
Rysunek i.4. Skumulowane rozkłady modułów znormalizowanych stóp zwrotu indeksu WIG20 notowanego w okresie od 04.01.1999 do 31.10.2005 dla różnych skal czasowych t  1, 2 , 4 ,8,16,32,60 . Na wykresie skale czasowe oznaczono symbolami
Rozkład skumulowany
graficznymi. Linia przerywana odpowiada skumulowanemu rozkładowi Gaussa.
Rozkłady, które spełniają to prawo mają skooczony drugi moment (w tym przypadku próbka ma skooczoną długośd), są więc rozkładami niestabilnymi w sensie Levy’ego. Chod charakter rozkładów zmienia się wraz ze wzrostem skali czasowej to nawet dla 60 minut rozkład ciągle odległy jest od rozkładu Gaussa.
Kolejnym, naturalnym pytaniem, które się rodzi to pytanie o charakter
rozkładu prawdopodobieostwa spółek tworzących dany indeks.
Łączny (średni) rozkład dla 29 spółek przedstawiono na rysunku 5. Pokazano
na nim także rozkłady dla trzech skal czasowych 10, 120 i 1020 minut. Widad, że
dla skali 10 minutowej (podobnie jak było to dla całego indeksu WIG20) spełnione jest w przybliżeniu odwrotne prawo kubiczne tzn. ogony rozkładów podlegają skalowaniu z parametrem   3 .
imię i nazwisko
9
Rysunek i.5. Łączne (średnie) skumulowane rozkłady modułów znormalizowanych logarytmicznych stóp zwrotu 29 największych firm notowanych od 17.11.2000 do
30.06.2005 dla trzech skal czasowych (10min, 120min i 1020min). Linia przerywana
reprezentuje rozkład Gaussa.
1
10min
10
120 min
1
Rozkł ad skumulowany
1020 min
10
2
3
10
3
10
4
10
5
Gaussian
1
2
5
10
20
50
100
r
Powszechnie polski rynek uważany jest za rynek wschodzący chod definicja
takiego rynku nie jest do kooca sprecyzowana. Często za rynki wschodzące
uważa się młode giełdy. Innym kryterium jest kapitalizacja. To jednak budzi
pewne zastrzeżenia bowiem np. giełda Indyjska, chod młoda i z tego punktu widzenia uznawana za rynek wschodzący, to jej kapitalizacja jest obecnie jedną z
największych na świecie.
Okazuje się jednak, że nasz rodzimy rynek posiada cechy obydwu tych
rynków oraz inne nietypowe dla żadnego z nich (Rak R. 2008). Jedną z cech typowych także dla giełd ustanowionych są właśnie rozkłady prawdopodobieostwa stóp zwrotu. Na rysunku 6 przedstawiono rozkłady prawdopodobieostw
dla 1000 największych spółek indeksu NASDAQ i NYSE. Wyniki te pokazują, że
podobnie jak dla polskiego rynku ogony rozkładów dla najkrótszych skal czasowych spełniają odwrotne prawo kubiczne.
10 Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
Rozkład skumulowany
Rysunek i.6. Skumulowane rozkłady modułów znormalizowanych stóp zwrotu dla
1000 spółek indeksów NYSE i NASDAQ notowanych w latach 1998-1999. Pokazano
rozkłady dla różnych skal czasowych t  1, 4,16,60,120,240 min, 1,2,4,8dni .
1dzieo
2 dni
4 dni
8 dni
1000
spółek
|r|
i.3. Nieekstensywnośd fluktuacji finansowych
W poprzednim punkcie pokazano, że rozkład prawdopodobieostwa
znormalizowanych stóp zwrotu nie jest ani rozkładem Levy’ego ani rozkładem
Gaussa. Poglądowe zestawienie tych rozkładów pokazano na rysunku 7.
Rysunek i.7. Trzy typy skumulowanych rozkładów modułów znormalizowanych
fluktuacji analogicznych do stóp zwrotu. Są one wynikiem symulacji numerycznych i
reprezentują odpowiednio: rozkład Levy’ego z   1.5
rozkład spełniający odwrotne prawo kubiczne
  ; rozkład normalny    ;
  . Obszary skalowania ogonów roz-

kładów oznaczono kolorami: niebieskim (Levy) i czerwonym P  r  x 

x 3 .
imię i nazwisko
11
Roz k ł ad s k um ul owany
1
10
1
10
2
10
3
0.1
1
10
Stopa zwrotu
Grube ogony rozkładów rzeczywistych fluktuacji finansowych oraz ich złożony charakter leżący u podstaw szeroko rozumianych korelacji (Oświęcimka P.,
2005; Kwapieo J.,2005; Drożdż S., 2003; Bartolozzi M., 2005) sugerują, że konwencjonalne pojęcie ergodyczności może byd nieodpowiednim do opisu i modelowania tego typu zjawisk.
W takim wypadku, formalizm uogólnionej, nieekstensywnej mechaniki
statystycznej może zaoferowad bardziej odpowiednią strukturę. Obecnie najbardziej konsystentnym ujęciem zagadnienia nieekstensywności jest formalizm
oparty na zapostulowanej w 1988 roku przez C. Tsallisa uogólnionej entropii
 
(Tsallis C., 1988; 1998, 2003, Osorio R., 2004), która dla zbioru N zdarzeo xi
 
charakteryzowanych przez prawdopodobieostwa pi wyraża się wzorem:
N
Sq 
 p ln
q
i
q
pi ,
i 1
gdzie, parametr q jest parametrem nieekstensywności, a lnq nazywany jest
uogólnionym logarytmem lub q-logarytmem:
lnq x 
x1 q  1
.
1 q
Entropia ta jest na tyle ogólna, że jeżeli przyjąd q  1 to redukuje się ona do
klasycznej entropii Boltzmanna-Gibbsa.
12 Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
Przy odpowiednich założeniach (Tsallis C., 1988; 1998), ekstremalizacja uogólnionej entropii Sq w wersji uciąglonej prowadzi do nowej i bardzo ciekawej
klasy rozkładów gęstości prawdopodobieostwa zwanych q-Gaussianami:

1

2 1q
pq  x   N q 1  Bq  q  1 x  q  ,


 q  3 ,
Funkcję
1
eqx  1  1  q  x  1 q , e1x  e x ,
nazywamy q-eksponentą. Funkcja ta jest odwrotną do wprowadzonego powyżej
q-logarytmu. Biorąc pod uwagę, że eqx  0 dla 1  1  q  x  0 możemy gę-


stośd prawdopodobieostwa dla q-Gaussianów zapisad jako:

 Bq x   q
pq  x   N q eq

2
Innym, ważnym argumentem, który w świetle tych rozważao podnosi rangę
rozkładu pq  x  , jest jego asymptotyczne zachowanie przyjmujące dla x  1
postad prawa potęgowego:
pq  x 
x
2
1 q
.
W szczególności, w odniesieniu do scałkowanych rozkładów, pq  x  dla
q  3 / 2 asymptotycznie przyjmuje postad odwrotnego prawa kubicznego.
Można wskazad również inne przedziały q , które jeszcze dobitniej podkreślają
uogólnioną postad pq  x  :
• dla q  1 , pq  x  przyjmuje własności rozkładu Gaussa,
• dla q 
 3
, asymptotyka ogonów pq  x  pokrywa się z ogonami   1
stabilnych rozkładów Levy’ego.
Pierwsze próby przydatności tej formy rozkładów do opisywania rozkładów prawdopodobieostwa finansowych szeregów czasowych okazały się całkiem obiecujące (Queiros S. M., 2005). Dlatego poniżej, zostanie przedstawiona
próba opisania rozkładów stóp zwrotu indeksów DAX, S&P500 i WIG20 (i jego
portfela) przez rodzinę rozkładów pq  x  .
Jednak dla uzyskania lepszej stabilności wyniku, zamiast gęstości prawdopodobieostwa pq  x  zostanie wprowadzona skumulowana postad tego rozkładu:
imię i nazwisko
Pq   x  
13
x
 p  x dx
q

gdzie, „  ” i „  ” oznaczają odpowiednio prawe i lewe skrzydło rozkładu.
Po scałkowaniu otrzymujemy (Rak R., 2007):


1
     3  q   

2
  x
 ,
Pq   x   N q 
F

,

;

;





q
2 1


Bq
 2   






(2)
gdzie
1
2
 , 
2
3
1
,   ,   Bq  q  1  q  x  a 2 F1  ,  ;  ;  jest
2
q 1
hipergeometryczną funkcją Gaussa, zdefiniowaną przez następujący szereg:
  k 
   1     1 2
 k   k


  ...  
2 F1  ,  ;  ;    1 
1! 
2 !     1
k !   k
k 0
Rozkład skumulowany
Rysunek i.8. Skumulowane rozkłady znormalizowanych stóp zwrotu indeksu WIG20
notowanego w okresie od 04.01.1999 do 31.10.2005 dla różnych skal czasowych (od 1
do 60 minut) Linie ciągłe reprezentują najlepsze dopasowanie q-Gaussianów do danych empirycznych. Linia przerywana odpowiada rozkładowi Gaussa o wartości średniej 0 i wariancji 1. Pokazane rozkłady zostały przeskalowane, po to by lepiej móc je
porównywad.
14 Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
Rysunek 8 przedstawia prawą i lewą częśd skumulowanych rozkładów stóp
zwrotu indeksu WIG20. Do danych empirycznych dopasowano teoretyczne rozkłady (wzór 2) w zależności od q .
Rezultat wydaje się bardzo interesującym ze względu na duże pokrywanie się
zachowao rzeczywistych z teorią. Co więcej, dla małych t otrzymany teoretyczny wynik jest bliski q  3 / 2 , co jest konsystentne z odwrotnym prawem
kubicznym.
Wraz z wydłużaniem się t teoretyczne (najlepiej dopasowane) wartości q
systematycznie zmniejszają się, a odpowiadające im q-Gaussiany, stanowią w
pełni satysfakcjonującą reprezentację dla całej klasy skal czasowych rozkładów
prawdopodobieostwa stóp zwrotu.
Dlatego też, zasadnym jest pytanie o ich użytecznośd na poziomie spółek. Na
rysunku 9 przedstawiono uzyskane wyniki.
Rysunek i.9. Łączne (średnie) skumulowane rozkłady znormalizowanych logarytmicznych stóp zwrotu 29 największych firm notowanych od 17.11.2000 do 30.06.2005 dla
trzech skal czasowych (10min, 120min i 1020min). Linie ciągłe reprezentują najlepsze
dopasowanie q-Gaussianów do empirycznych danych. Pokazane rozkłady zostały
przeskalowane, po to by lepiej móc je porównywad.
1
Rozkł ad skumulowany
10min
120 min
1020 min
10
2
10
4
10
6
q 1.405
q 1.395
q 1.28
q 1.33
q 1.19
q 1.195
Gaussian
60
40
20
0
20
40
60
r
Dla najkrótszej skali czasowej (10min) parametr q  1.4 . Oznacza to, że ogon
tego rozkładu skaluje się jak pq  r 
r
2
1
1 q
r 4 . Wartośd wykładnika przy r
imię i nazwisko
15
wskazuje na odchylenie od odwrotnego prawa kubicznego, które w przybliżeniu
było spełnione dla indeksu WIG20. Należy jednak pamiętad, że tu skala czasowa
jest większa niż dla WIG20 (tam wynosiła 1min) a analizowane dane nie są idealnym odzwierciedleniem całego indeksu. Na poziomie coraz wyższych skal czasowych dostrzegamy również, że rozkłady empirycznych fluktuacji systematycznie zmieniają się (parametr q maleje) i odchylają się w kierunku rozkładu normalnego.
i.4. Zakooczenie
W pracy poddano analizie rozkłady fluktuacji stóp zwrotu indeksu WIG20,
jego portfela a także spółek indeksów NYSE i NASDAQ. Chociaż na świecie Polska Giełda Papierów Wartościowych często uznawana jest za rynek wschodzący, to jednak pokazane tu rozkłady prawdopodobieostw zachowują się bardzo
podobnie jak dla ustanowionych rynków giełdowych. Bardzo ważnym wnioskiem jest, że zaprezentowany tu formalizm nieekstensywnej mechaniki statystycznej oparty na uogólnionej entropii Tsallisa i wynikająca z niej rodzina rozkładów tzw. q-Gaussianów, stanowią na dzieo dzisiejszy najbardziej zwartą, teoretyczną strukturę opisującą rozkłady prawdopodobieostwa tego typu fluktuacji
finansowych na różnych skalach czasowych. Powyższy wniosek może okazad się
również pomocnym w lepszym zrozumieniu procesów zachodzących w tak
skomplikowanym systemie jakim jest rynek finansowy a także przyczynid się do
stworzenia bardziej realistycznego modelu kontroli ryzyka niż np. model BlackaScholesa-Mertona.
BIBLIOGRAFIA
1. Bachelier L. (1900), Theorie de la speculation, Ph.D. thesis in mathematics,
“Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure”, III-17, 21-86.
2. Bartolozzi M., S. Drożdż, D.B. Leinweber, J. Speth, A.W. Thomas, (2005),
Self-Similar Log-Periodic Structures in Western Stock Markets from 2000,
“Int. J. Mod. Phys. C” 16, 1347.
3. Drożdż S., J. Kwapieo, F. Grümmer, F. Ruf, J. Speth, (2003)
Are the contemporary financial fluctuations sooner converging to normal?,
“Acta Phys. Pol. B” 34 4293.
4. Drożdż S., F. Grümmer, F. Ruf, J. Speth, (2003), Log-periodic self-similarity: an emerging financial law?, ”Physica A” 324, 174.
5. Einstein A. (1905), „Ann. Phys“. (Leipzig) 17, 549, Investigations on the Theory of
Brownian Movement, Dover, New York
6. Gopikrishnan P., M. Meyer, L. A. N. Amaral, V. Plerou, and H. E. Stanley, (1999)
Scaling and Volatility Correlations in the Stock Market, “Phys. Rev. E” 60, 5305.
16 Rozdział i. Charakterystyki fluktuacji finansowych
7. Gopikrishnan P., M. Meyer, L.A.N. Amaral, and H. E. Stanley, (1998),
Inverse Cubic Law for the Probability Distribution of Stock Price Variations,
“Eur. Phys.” J. B: Rapid Communications 3, 139.
8. Hurst H.E., (1951), Long Term Storage Capacity of Reservoirs,
“Transactions of American Society of Civil Engineers”, 116, 770.
9. Kwapieo J., P. Oświęcimka, S. Drożdż, (2005), Components of multifractality in highfrequency stock returns, “Physica A” 350, 466.
10. Levy P. (1925), Calcul des probabilites,” Gauthier-Villars”, Paris .
11. Mandelbrot B. B., (1963), The Variation of Certain Speculative Prices, “J. Business”
36, 394.
12. Mantegna R. N., H. E. Stanley (1995), Scaling Behavior in the Dynamics of an Economic Index, “Nature” 376, 46.
13. Muzy J.F., E. Bacry and Arneodo, (1994),The Multifractal Formalism revisited with
wavelets, “National Journal of Bifurcation and Chaos”, Vol. 2. No. 2, 245.
14. Osorio R., L. Borland, and C. Tsallis, (2004), Distributions of high-frequency stockmarket observables in Nonextensive Entropy- Interdisciplinary Applications,
“Oxford University Press”, New York, 321.
15. Oświęcimka P., J. Kwapieo, S. Drożdż, (2005), Multifractality in the stock market:
price increments versus waiting times, “Physica A” 347, 626.
16. Pareto V., (1897), Cours d'Economie Politique, “Lausanne and Paris” .
17. Plerou V., P. Gopikrishnan, L. A. N. Amaral, M. Meyer, and H. E. Stanley, (1999),
Scaling of the Distribution of Price Fluctuations of Individual Companies,
“Phys. Rev. E” 60, 6519.
18. Queiros S. M., C. Anteneodo, C. Tsallis, (2005), Power-law distributions in economics: a nonextensive statistical approach, “Proceedings of SPIE” - Volume 5848, Noise
and Fluctuations in Econophysics and Finance, May, 151.
19. Rak R., S. Drożdż, J. Kwapieo, (2007), Nonextensive statistical features of the Polish
stock market fluctuations, “Physica A”, 37
20. Rak R. (2008), Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji,
„rozprawa doktorska”, Uniwersytet Rzeszowski, Inst. Fizyki.
21.Smoluchowski M. (1906), Zur kinetischen Theorie der Brownschen
Molekularbwegung und der Suspensionen, „Ann. Phys.” (Leipzig) 21, 756.
22. Tsallis C., (1988), Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics,
“J. Stat. Phys”. 52, 479.
23. Tsallis C., R. S. Mendes and A. R. Plastino, (1998), The role of constraints within generalized nonextensive statistics, “Physica A”, 261, 534.
24. Tsallis C., C. Anteneodo, L. Borland, R. Osorio, (2003),
Nonextensive statistical mechanics and economics, “Physica A”, 324, 89.
925), Calcul des probabilites,” Gauthier-Villars”, Paris .