Zestaw9
Transkrypt
Zestaw9
Rachunek Prawdopodobieńtwa 1. Zestaw 9. Zmienne losowe i ich rozkłady. 1. Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Punkt x ∈ R nazwiemy puktem skokowym dystrybuanty F gdy P (X < x) < FX (x). Pokaż, że: a) x jest punktem skokowym dystrybuanty F wtedy i tylko wtedy P (X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy F nie jest ciągła w punkcie x, b) dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów skokowych. 2. Dla jakich liczb rzeczywistych a oraz b zachodzi: jeśli F1 oraz F2 to dystrybuanty, wtedy aF1 + bF2 jest dystrybuantą. 3. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F i niech 0 < b. Znaleźć i naszkicować dystrybuantę zmiennej losowej Z danej wzorem ( X Z= 0 gdy |X| ¬ b, gdy |X| > b. 4. Rozstrzygnij: Czy jeśli rozkłady wektorów (X1 , X2 , . . . , Xn ) oraz (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) są równe, czy ich rozkłady brzegowe PXi oraz PYi muszą być sobie równe? 5. Znaleźć zmienne losowe X oraz Y takie, że ich rozkłady są asbolutnie ciągłe względem miary Lebesgue’a na R (równoważnie: ich rozkłady mają gęstości) ale rozkład łączny wektora (X, Y ) nie jest absolutnie ciągły (tzn. nie istnieje (dwuwymiarowa) gęstość rozkładu łącznego). 6. W urnie znajduja sie jedna zolta kula, dwie czerwone oraz trzy niebieskie kule. Losujemy dwie kule. Niech X oznacza liczbe wylosowanych kul czerwonych oraz Y niech oznacze liczbe wylosowanych kul niebieskich. Znalezc rozklad laczny oraz rozklady brzegowe wektora (X, Y ) 7. Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] oraz niech F będzie ściśle rosnącą dystrybuatną pewnego rozkładu. Jaki rozkład (jaką dystrybuantę) ma zmienna losowa Y = F −1 (X). 8. Uogólnić poprzednie zadanie na przypadek gdy F jest dowolną dystrybuantą. 9. Mówimy że zmienna losowa X ma rozkład wykladniczy z parametrem λ > 0 gdy posiada ona gęstość fX zadaną wzorem: ( fX (x) = λ · e−λ·x 0 gdy x 0, gdy x < 0. a) Wyznacz dystrybuantę rozkładu wykładniczego b)Wyznacz rozkłady zmiennych losowych Y = 3X − 5, Z = −2X + 1. 10. Zmienna losowa X ma dystrybuantę FX . a) Pokaż, że jeśli rozkład X posiada gestosc fX ktora jest funkcją parzystą to dystrybuanta FX spelnia FX (t) + FX (−t) = 1, t ∈ R b) Pokaż, że jeśli rozkład PX jest symetryczny względem zera (tzn. P (X ∈ A) = P (X ∈ −A)) oraz nie ma punktów skokowych, to dystrybuanta FX spelnia FX (t) + FX (−t) = 1, t ∈ R. c)Uogólnij poprzedni podpunkt na przypadek gdy rozkład PX jest symetryczny względem m ∈ R oraz nie ma punktów skokowych. 11. Powiemy że zmienna losowa X ma rozkład Poissona o parametrze λ > 0 gdy zachodzi λk −λ · e , k = 0, 1, 2, . . . k! Czy suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona z parametrami λ1 oraz λ2 ma rozkład Poissona? Z jakim parametrem? P (X = k) =