• M−i = ∏ Mj • supp σi: nosnik strategii mieszanej • σi(s

• M−i =
∏
Mj
j̸=i
• supp σi : nośnik strategii mieszanej
• σi (s): prawdopodobieństwo odpowiadaja,ce strategii czystej s, w strategii mieszanej σi ∈ Mi
• wk (σ̄−i ; σi ): wyplata gracza k, gdy gracz i stosuje strategie, σi , a σ̄−i ∈ M−i jest ukladem strategii przeciwników
gracza i
• Mndom
: zbiór wszystkich strategii niezdominowanych (mieszanych) gracza i
i
best
• Mi : zbiór wszystkich najlepszych odpowiedzi gracza i
• gra dwumacierzowa: dwuosobowa gra w postaci strategicznej
• gra macierzowa: dwuosobowa gra o sumie zerowej, w postaci strategicznej
• Bi : poziom bezpieczeństwa gracza i; val (G): wartość gry
• L(A): zbiór loterii nad zbiorem A wszystkich wyników gry
• prl (σ̄) lub prl (b̄): rozklad prawdopodobieństwa generowany na zbiorze liści przez uklad strategii mieszanych lub
behawioralnych
• rn(W, Q): rozwia,zanie arbitrażowe Nasha dla zbioru W i punktu niezgody Q
• rdz(v): rdzeń gry o funkcji charakterystycznej v
• ϕ(v): wartość Shapleya dla gry o funkcji charakterystycznej v
Monotoniczność preferencji: Dla dowolnych L1 , L2 , L3 ∈ L(A) i p ∈ (0, 1] zachodzi równoważność:
L1 ≼ L2 ⇔ pL1 + (1 − p)L3 ≼ pL2 + (1 − p)L3
Cia,glość preferencji: Dla dowolnych L1 , L2 , L3 ∈ L(A) zachodzi implikacja:
L1 ≺ L2 ≺ L3 ⇒
∃
p∈(0,1)
L2 ≈ pL1 + (1 − p)L3
Aksjomaty schematu arbitrażowego Nasha:
(A1) Osia,galność
(A2) Optimum Pareto
(A3) O symetryczności
(A4) Zgodność ze zmiana, skali użyteczności
(A5) Niezależność od możliwości nieistotnych
Aksjomaty Shapleya:
(S1) O efektywności
(S2) O symetryczności ról
(S3) O graczu nieistotnym
(S4) O addytywności
Wlasność 1 (Podstawowa wl. wyplaty). (...)
Wlasność 2 (Wlasności strategii zdominowanych). (...)
Twierdzenie 3.
(O1) Jeśli wektor osia,galny (a1 , . . . , an ) nie jest optimum Pareto, to istnieje taki rozkad prawdopodobieństwa (p1 , . . . , pt )
na zb. ukladów strategii czystych {s̄1 , . . . , s̄t }, że dla wszystkich graczy i ai 6 p1 wi (s̄1 ) + . . . + pt wi (s̄t ) oraz ostra
nierówność zachodzi w przynajmniej jednym przypadku.
(O2) Jeżeli (a1 , . . . , an ) nie jest optimum Pareto i jest osigalny przez ukad strategii czystych s̄, to powyższy rozklad
prawdopodobieństwa istnieje również na zbiorze ukladów strategii czystych, niezawieraja,cym s̄.
Wlasność 4.
sup wi (σ̄−j ; σj ) = max wi (σ̄−j ; sj ),
σj ∈Mj
sj ∈Sj
inf
σj ∈Mj
wi (σ̄−j ; σj ) = min wi (σ̄−j ; sj ).
sj ∈Sj
Twierdzenie 5 (o minimaksie; von Neumann). (...)
Twierdzenie 6 (o minimaksie’; von Neumann). (...)
Twierdzenie 7 (o dualności). (...)
Wlasność 8 (Wlasności poziomów bezpieczeństwa i strategii optymalnych). (...)
Wlasność 9 (Wlasności najlepszych odpowiedzi). (...)
Twierdzenie 10 (O użyteczności). Jeżeli realcja preferencji jest ≺ jest quasi-porza,dkiem liniowym na L(A) oraz jest
monotoniczna i cia,gla, to istnieje funkcja użyteczności u : A → R o naste,puja,cej wlasności:
Dla dowolnych loterii p1 [a1 ] + . . . + pk [ak ] i p′1 [a1 ] + . . . + p′k [ak ]
p1 [a1 ] + . . . + pk [ak ] ≼ p′1 [a1 ] + . . . + p′k [ak ] ⇔ p1 u(a1 ) + . . . + pk u(ak ) 6 p′1 u(a1 ) + . . . + p′k u(ak ).
Ponadto funkcja taka jest wyznaczona jednoznacznie z dokladnościa, do dodatniego przeksztalcenia afinicznego.
Wlasność 11 (Wlasności strategii behawioralnych i strategii równoważnych). (...)
Twierdzenie 12 (Kuhn 1953). (...)
Twierdzenie 13 (O rozwia,zaniu arbitrażowym Nasha). (...)
Twierdzenie 14 (Shapley 1953). (...)
1