Przestrzeń probabilistyczna - Ireneusz Krech

Przestrzeń probabilistyczna
c Copyright by Ireneusz Krech
[email protected]
Instytut Matematyki
Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Ziarnista przestrzeń probabilistyczna
Definicja. Niech Ω bedzie
˛
dowolnym zbiorem co najmniej
dwuelementowym i co najwyżej przeliczalnym. Każda˛
˛ że
funkcje˛ p ze zbioru Ω w zbiór R, nieujemna˛ i taka,
X
p(ω) = 1,
ω∈Ω
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω.
˛ albo dyskretna˛
Pare˛ (Ω, p) nazywamy ziarnista,
przestrzenia˛ probabilistyczna.
˛
Klasyczna przestrzeń probabilistyczna
1
Definicja. Niech p(ω) = dla każdego ω ∈ Ω, gdzie
s
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωs }. Funkcje˛ p nazywamy klasycznym
rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a pare˛ (Ω, p)
˛
— klasyczna˛ przestrzenia˛ probabilistyczna.
Klasyczna przestrzeń probabilistyczna
1
Definicja. Niech p(ω) = dla każdego ω ∈ Ω, gdzie
s
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωs }. Funkcje˛ p nazywamy klasycznym
rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, a pare˛ (Ω, p)
˛
— klasyczna˛ przestrzenia˛ probabilistyczna.
Szczególnymi klasycznymi przestrzeniami
probabilistycznymi sa˛ w rachunku prawdopodobieństwa
pary:
(ΩM , pM ), gdzie ΩM = {o, r} oraz pM (o) = pM (r) = 12 ,
(ΩK , pK ), gdzie ΩK = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz pK (j) =
j ∈ ΩK .
1
6
dla
Przykład
Niech Ω = {?, n
o, •}
i
p(?) = 13 , p(n
o) = 12 , p(•) = 16 .
Para (Ω, p) jest przestrzenia˛ probabilistyczna.
˛
Przykład
Niech Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } i p(ω1 ) = 13 , p(ω2 ) = 12 , p(ω3 ) = 16 .
Para (Ω, p) jest przestrzenia˛ probabilistyczna.
˛
Przykład
Przestrzenia˛ probabilistyczna˛ jest para (Ω, p), gdzie
2
1
Ω = {a, b, c} oraz p(a) = , p(b) = 0 i p(c) = .
3
3
Przykład
Rozkładem prawdopodobieństwa na przeliczalnym zbiorze
Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , . . .} jest funkcja p, gdzie
n
1
p(ωn ) =
2
dla ωn ∈ Ω.
Para (Ω, p) jest przeliczalna˛ przestrzenia˛ probabilistyczna.
˛
Geometryczna prezentacja przestrzeni prob.
T3
T4
K
T1
T5
R
T2
Niech Ω = {T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , K, R}
oraz
p(T1 ) = 14 , p(T2 ) = 14 , p(T3 ) =
p(K) = 18 , p(R) = 18 .
1
16 ,
p(T4 ) = 18 , p(T5 ) =
1
16 ,
Rozkład zero-jedynkowy
Funkcja
pu0−1 (j) = uj (1 − u)1−j dla j = 0, 1,
gdzie u jest ustalona˛ liczba˛ rzeczywista˛ z przedziału (0, 1),
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze
˛ para (Ω0−1 , pu0−1 ) jest przestrzenia˛
Ω0−1 = {0, 1}, a wiec
probabilistyczna.
˛ Funkcje˛ pu0−1 nazywamy rozkładem
zero-jedynkowym, pare˛ (Ω0−1 , pu0−1 ) zaś zero-jedynkowa˛
przestrzenia˛ probabilistyczna.
˛
Rozkład dwumianowy
Niech u ∈ (0, 1), n ∈ N2 . Każda˛ funkcje˛ p : N0 −→ R, gdzie
!
n k
p(k) =
u (1 − u)n−k dla k = 0, 1, 2, . . . , n,
k
nazywamy rozkładem dwumianowym i oznaczamy b(n, u).
Rozkład geometryczny
Niech u ∈ (0, 1) oraz v = 1 − u. Funkcje˛ p : N1 −→ R, gdzie
p(n) = u · v n−1 dla n = 1, 2, 3, ...,
nazywamy rozkładem geometrycznym.
Rozkład geometryczny jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze N1 .
Rozkład geometryczny
Niech u ∈ (0, 1) oraz v = 1 − u. Funkcje˛ p : N1 −→ R, gdzie
p(n) = u · v n−1 dla n = 1, 2, 3, ...,
nazywamy rozkładem geometrycznym.
Rozkład geometryczny jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze N1 .
Niech an =
n
1
2
geometrycznym.
dla n ∈ N1 . Ciag
˛ (an ) jest rozkładem
Rozkład Pascala
Niech k bedzie
˛
ustalona˛ liczba˛ naturalna˛ i k ­ 1 oraz
u ∈ (0, 1). Funkcje˛ p : Nk −→ R określona˛ wzorem
!
n−1 k
p(n) =
u (1 − u)n−k dla n = k, k + 1, k + 2, ...,
k−1
nazywamy rozkładem Pascala.
Rozkład Pascala jest rozkładem prawdopodobieństwa na
zbiorze Nk . W przypadku k = 1 rozkład Pascala jest
rozkładem geometrycznym.
Rozkład Poissona
Niech λ ∈ R i λ > 0. Funkcje˛ p : N0 −→ R określona˛ wzorem
λk −λ
·e
p(k) =
dla k = 0, 1, 2, 3, . . . ,
k!
nazywamy rozkładem Poissona.
Rozkład Poissona jest rozkładem prawdopodobieństwa na
zbiorze N0 .