2. lista

Algorytmiczna teoria gier, Informatyka WPPT
semestr zimowy 2012/2013
II lista zadań
1. Zgodnie z twierdzeniem Nasha każda gra dwumacierzowa ma równowagę w strategiach mieszanych. Gdy któryś (wystarczy jeden) z graczy ma nieskończenie wiele strategii czystych,
to nie musi być już prawda. Znajdź przykład gry dwóch graczy, w której jeden z graczy ma
skończoną liczbę strategii czystych, a drugi przeliczalną (ale nieskończoną), która nie ma
równowag nawet w strategiach zrandomizowanych.
Wskazówka: Zbiór strategii „skończonego” gracza powinien być najmniejszy możliwy.
2. Dwaj producenci taniego wina starają się walczyć o rynek przy pomocy cen. Zakładamy, że:
po pierwsze: jeśli najniższa dostępna na rynku cena (wyrażana w groszach) to p, to liczba
klientów zainteresowanych kupnem wina w tej cenie jest równa d(p), gdzie d jest nierosnącą
funkcją z N w N.
po drugie: wszyscy klienci zainteresowani kupnem jakiegokolwiek wina zawsze kupują najtańsze wino dostępne na rynku. W przypadku, gdy obaj producenci mają takie same ceny,
rynek dzieli się pół na pół.
po trzecie: koszt wyprodukowania jednej butelki jest równy c ∈ N, więc zysk gracza to jego
cena minus c, pomnożona przez liczbę kupujących.
(a) Zapisz funkcje wypłaty obu graczy w zależności od ustalonych przez nich cen. Następnie
przy dodatkowym założeniu że d(c + 1) > d(c + 2) pokaż, że powstała gra ma dokładnie
2 równowagi w strategiach czystych (strategii zrandomizowanych nie rozpatrujemy),
tzn. znajdź te równowagi oraz pokaż, że nie ma innych. Czy z punktu widzenia graczy,
ustalona w równowadze cena jest jest sensowna?
(b) Rozważ modyfikację tej gry przy założeniu, że jednym z graczy są Chińczycy, którzy
produkują wino o połowę taniej (tzn. po 2c ). Jaka będzie wtedy równowaga? Czy ona
będzie miała sens dla którejkolwiek ze stron?
3. Posługując się metodą podaną na wykładzie, znajdź równowagę w grze dwóch graczy z
2
X = Y = [0, 1] oraz funkcjami wypłat u1 (x, y) = xy 2 − x2 , u2 (x, y) = sin(2π(x + y)).
4. Rozważ następującą grę dwóch graczy: policji i przestępcy. Policja chce wybrać w mieszkaniu
przestępcy takie miejsce na założenie podsłuchu, żeby prawdopodobieństwo uzyskania przy
jego pomocy użytecznej informacji było jak największe. Z kolei przestępca, wiedząc o tym,
że jest podsłuchiwany, wybiera miejsce, w którym będzie rozmawiał tak, żeby to prawdopodobieństwo było jak najmniejsze. Dla uproszczenia przyjmiemy, że poszczególnym miejscom
w mieszkaniu odpowiadają punkty na odcinku [0, 1]. Prawdopodobieństwo uzyskania użytecznej dla policji informacji wynosi 1 − ed−1 , gdzie d to odległość między podsłuchem a
rozmawiającymi osobami.
(a) Gdzie powinien być umieszczony podsłuch, a gdzie powinni rozmawiać przestępcy?
(b) W jaki sposób zmieni się optymalne położenie podsłuchów oraz rozmawiających przestępców, jeśli policja założy zamiast jednego n podsłuchów w mieszkaniu? (Wtedy
P prawn
dopodobieństwo uzyskania informacji przez policję jest liczone ze wzoru 1−e i=1 (di −1) ,
gdzie di to odległość od i-tego podsłuchu).
(c) Rozważmy modyfikację powyższej gry, w której policja wybiera nie tylko rozmieszczenie, ale też liczbę podsłuchów. Wtedy policja stara się zmaksymalizować prawdopodobieństwo uzyskania istotnej informacji minus liczbę podsłuchów razy c (gdzie c to
jednostkowy koszt założenia podsłuchu), a przestępca zminimalizować samo prawdopodobieństwo (bez uwzględnienia kosztów). Jakie wtedy będą optymalne: liczba i rozmieszczenie podsłuchów oraz miejsce rozmów przestępców? (Liczba podsłuchów wyjdzie
zwykle niecałkowita, ale nie należy się tym przejmować).