Teoria gier semestr zimowy 2007/2008 III lista zadań
Transkrypt
Teoria gier semestr zimowy 2007/2008 III lista zadań
Teoria gier semestr zimowy 2007/2008 III lista zadań 1. Znajdź wszystkie równowagi Nasha w grze na kwadracie jednostkowym (tzn. X = Y = [0, 1]), w której funkcje wypłaty graczy są następujące: u1 (x, y) = x(2y 2 − x2 ), u2 (x, y) = y(2x2 − y2 ). Wskazówka: Znajdź wszystkie równowagi w strategiach niezrandomizowanych, a następnie pokaż (jak w przykładzie Vieille’a), że najlepszą odpowiedzią na dowolną strategię gracza 2. jest zawsze strategia czysta. 2. Znajdź wszystkie równowagi w strategiach czystych w grze na kwadracie jednostkowym z funkcjami wypłaty graczy u1 (x, y) = (x + 12 )3 − xy, u2 (x, y) = (y − 21 x)2 . 3. Pokaż, że równowagą w grze location game z wykładu jest para strategii zrandomizowanych µ∗ = 13 δ[0] + 16 δ[ 13 ] + 61 δ[ 23 ] + 13 δ[1], σ ∗ = 12 δ[0] + 12 δ[1]. 4. Załóżmy, że w grze o sumie zerowej (X, Y, u), X = Y = [0, 1], a funkcja u jest ciągła i wklęsła (względem obu zmiennych). Udowodnij, ze gra posiada równowagę w strategiach mieszanych, w której pierwszy gracz ma strategię czystą, a drugi – skupioną w co najwyżej dwóch punktach przestrzeni Y . 5. Rozważ następującą grę dwóch graczy – Przestępcy i Władz: Władze wybierają poziom wydatków na ściganie przestępstw x 0, a przestępca swój poziom nielegalnej działalności y 0. Wypłatę władz określa 2 wzór uW (x, y) = −xc − yx , gdzie drugi składnik sumy odpowiada negatywnemu efektowi społecznemu działania przestępcy, a pierwszy – kosztowi działalności organów ścigania (c jest umownym jednostkowym √ y kosztem takiej działalności). Wypłatą przestępcy jest uP (x, y) = 1+xy , której licznik jest wielkością korzyści z działalności przestępczej, a jeden przez mianownik – prawdopodobieństwem tego, że nie zostanie złapany. Oblicz, jakie są najlepsze odpowiedzi graczy na strategie przeciwników. Następnie wskaż równowagę Nasha w tej grze. W jaki sposób zależy ona od c? Czy tę zależność można jakoś zinterpretować?