Funkcjonały liniowe

Funkcjonały liniowe
Jacek Jędrzejewski
2014
1
1
Funkcjonały liniowe, przestrzeń dualna
Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K. Ciało K tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K; oczywiście przestrzeń ta jest jednowymiarowa. Jej bazę stanowi np. jedynka ciała K; bazę tę będziemy oznaczali
symbolem (1).
Definicja 1 Przekształcenie liniowe przestrzeni V w ciało K nazywamy funkcjonałem liniowym (lub formą liniową) w przestrzeni V .
Zbiór wszystkich takich przekształceń liniowych, czyli zbiór Hom(V , K)
oznaczamy często symbolem V ∗ i nazywamy przestrzenią dualną do przestrzeni V lub przestrzenią sprzężoną do przestrzeni V .
Załóżmy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową. Zgodnie z twierdzeniem o określaniu przekształcenia liniowego każdy funkcjonał liniowy przestrzeni V jest jednoznacznie określony przez zdefiniowanie wartości tego
funkcjonału dla wektorów bazy przestrzeni V .
Niech φ będzie funkcjonałem liniowym przestrzeni V i niech B będzie bazą
przestrzeni V . Przyjmijmy, że
B = (b1 , . . . , bn ).
Oznaczmy teraz przez αi wartość funkcjonału φ dla wektora bi , dla wszystkich liczb i ze zbioru {1, . . . , n}.
Wtedy dla dowolnego wektora x, mającego przedstawienie
x = x1 ·b1 + . . . + xn ·bn ,
mamy
φ(x) = x1 ·φ(b1 ) + . . . + xn ·φ(bn ),
czyli
φ(x) = x1 ·α1 + . . . + xn ·αn .
Z tego samego twierdzenia wynika, że dla ustalonych elementów δ1 , . . ., δn
z ciała K i ustalonej bazy B przestrzeni V istnieje jedyny funkcjonał liniowy
ψ określony w przestrzeni V i taki, że ψ(bi ) = δi dla każdego elementu i ze
zbioru {1, . . . , n}.
Tak więc macierzą funkcjonału liniowego względem baz B i (1) jest macierz, mająca jeden wiersz.
2
Możemy więc zapisać wartości funkcjonału liniowego φ dla argumentu x
w sposób następujący:
h
i
h i
φ(x) = φ
B
•
h i
x , gdzie
B
h i
φ
h i
B
= φ
(1),B
.
W efekcie wartość φ(x) jest równa
n
X
xi ·αi .
(1)
i=1
Załóżmy, że w przestrzeni V mamy dwie bazy B i B 0 . W ciele K, oczywiście,
wybraliśmy 1 jako bazę przestrzeni K nad ciałem K.
Jeśli
B = (b1 , . . . , bn )
i B 0 = (b01 , . . . , b0n )
h
i
i C jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B 0 , gdzie C = γij , to z twierdzenia o zmianie baz wynika, że
h i
φ
B0
h i
= φ
•
B
C,
gdyż macierzą przejścia od bazy złożonej z jedynki ciała K do tej samej bazy
jest macierz jednostkowa stopnia pierwszego.
Twierdzenie 2 Jeśli V jest n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem
K, to przestrzeń dualna do niej ma też wymiar n.
D o w ó d. Niech B, gdzie B = (b1 , . . . , bn ), będzie bazą przestrzeni liniowej V .
Dla każdej liczby i ze zbioru {1, . . . , n} istnieje funkcjonał liniowy b∗i w
przestrzeni V taki, że
b∗i (bj ) = δij .
Udowodnimy, że funkcjonały b∗1 , . . . , b∗n stanowią bazę przestrzeni V ∗
Jeśli
α1 ·b∗1 + . . . + αn ·b∗n = θ,
gdzie θ jest funkcjonałem zerowym, to dla każdego wektora x z przestrzeni V
mamy
α1 ·b∗1 (x) + . . . + αn ·b∗n (x) = θ(x).
3
Podstawiając w miejsce wektora x wektor bi z bazy B mamy
α1 ·b∗1 (bi ) + . . . + αi ·b∗i (bi ) + . . . + αn ·b∗n (bi ) = 0,
skąd wynika, że αi = 0.
I tak się dzieje, gdy i przebiega zbiór {1, . . . , n}.
Zatem funkcjonały b∗1 , . . . , b∗n są liniowo niezależne.
Niech teraz φ będzie dowolnym funkcjonałem w przestrzeni V .
Jeśli przyjmiemy, że φ(bi ) = βi , to
φ = β1 ·b∗1 + . . . + βn ·b∗n ,
gdyż dla każdego wektora x, mającego postać x =
n
X
αi ·bi , mamy
i=1

n
X


βj ·b∗j (x) =
j=1
n
X
n
X
βj ·b∗j
βj ·αi ·b∗j (bi )
=
j=1 i=1
=
!
αi ·bi =
i=1
j=1
=
βj ·b∗j (x) =
j=1
=
n X
n
X
n
X
n
X
βi ·αi ·b∗i (bi ) =
i=1
n
X
αi ·βi =
αi ·φ (bi ) =
i=1
i=1
=φ
n
X
n
X
!
αi ·bi = φ(x).
i=1
Z rozważań tych wynika, że funkcjonały b∗1 , . . . , b∗n stanowią bazę przestrzeni sprzężonej do przestrzeni V .
W taki sposób udowodniliśmy, że dim(V ∗ ) = n.
Definicja 3 Bazę (b∗1 , . . . , b∗n ) opisaną w powyższym twierdzeniu nazywamy
bazą dualną do bazy (b1 , . . . , bn ).
Z tego twierdzenia możemy wywnioskować, że przestrzeń V ∗∗ , dualna do
przestrzeni V ∗ , ma wymiar n; przestrzenie te są więc izomorficzne.
Przestrzeń V ∗∗ nazywamy czasami przestrzenią bidualną lub dwusprzężoną.
4
Udowodnimy teraz, że wśród izomorfizmów przestrzeni V na przestrzeń
V istnieje izomorfizm, który jest określony bez odwoływania się do baz
tych przestrzeni.
∗∗
Twierdzenie 4 Dla każdego wektora x z przestrzeni V funkcja fx określona
wzorem
fx (φ) = φ(x)
dla każdego funkcjonału liniowego φ przestrzeni V , jest funkcjonałem liniowym w przestrzeni V ∗ .
D o w ó d. Oczywiście funkcja fx ma wartości w ciele K.
Pokażemy, że jest ona funkcjonałem liniowym.
Niech φ i ψ będą dowolnymi funkcjonałami liniowymi w przestrzeni V
(czyli φ ∈ V ∗ , ψ ∈ V ∗ ) oraz niech α będzie dowolnym elementem z ciała K.
Wtedy
fx (φ + ψ) = (φ + ψ)(x) =
= φ(x) + ψ(x) = fx (φ) + fx (ψ)
a także
fx (α·φ) = (α·φ)(x) = α·φ(x) = α·fx (φ).
Tak więc fx ∈ V ∗∗ .
Twierdzenie 5 Przekształcenie T : V −→ V ∗∗ , określone wzorem
T (x) = fx
dla każdego wektora x z przestrzeni V , jest izomorfizmem przestrzeni V na
przestrzeń bidualną.
D o w ó d. Udowodnimy najpierw, że funkcja T jest przekształceniem liniowym.
Niech więc x i y będą dowolnymi wektorami z przestrzeni V oraz α dowolnym elementem z ciała K.
Wtedy dla dowolnego funkcjonału φ, należącego do przestrzeni V ∗ mamy:
T (x + y)(φ) = fx+y (φ) =
5
= φ(x + y) = φ(x) + φ(y) =
= fx (φ) + fy (φ) = fx + fy (φ) = T (x) + T (y) (φ),
co dowodzi równości
T (x + y) = T (x) + T (y)
oraz podobnie
T (α·x)(φ) = fα·x (φ) =
φ(α·x) = α·φ(x) = α · fx (φ) =
= α · fx (φ) = α·T (x) (φ),
czyli
T (α·x) = α·T (x).
Tak więc funkcja T jest homomorfizmem.
Niech teraz (b1 , . . . , bn ) będzie bazą przestrzeni V .
Istnieje dualna do niej baza przestrzeni V ∗ , jak zwykle oznaczmy ją jako
(b∗1 , . . . , b∗n ).
Przestrzeń V ∗∗ jest przestrzenią dualną do przestrzeni V ∗ . Zatem
T (x)(φ) = φ(x)
dla każdego wektora x z przestrzeni V i każdego funkcjonału liniowego φ
z tej przestrzeni.
W szczególności
T (bi ) b∗j = b∗j (bi ) = δij ,
co dowodzi, że wektory T (b1 ), . . . , T (bn ) stanowią bazę przestrzeni V ∗∗ dualną do bazy (b∗1 , . . . , b∗n ).
Ponieważ homomorfizm T przekształca wektory bazy przestrzeni V w wektory bazy przestrzeni V ∗∗ , więc T jest izomorfizmem.
Opisany w powyższym twierdzeniu izomorfizm nazywa się kanonicznym,
gdyż nie zależy on od wyboru baz w rozważanych przestrzeniach.
O ile w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych przestrzenie V
i V ∗∗ są izomorficzne, to nie zawsze tak być musi, gdy przestrzeń V jest
nieskończenie wymiarowa.
Przestrzeń liniową, dla której przestrzeń bidualna jest izomorficzna z nią,
nazywamy przestrzenią samosprzężoną.
6
W przypadku przestrzeni samosprzężonej V możemy utożsamić wektor x
z jego obrazem T (x) w przestrzeni V ∗∗ .
Wtedy możemy przyjąć, że
x(φ) = φ(x)
dla dowolnego funkcjonału liniowego φ w przestrzeni V .
Twierdzenie 6 Jeśli przestrzeń liniowa V jest skończenie wymiarowa, to
każda baza przestrzeni V ∗ jest dualna do pewnej bazy przestrzeni V .
D o w ó d. Niech b∗1 , . . . , b∗n będzie dowolną bazą przestrzeni V ∗ .
W przestrzeni bidualnej V ∗∗ istnieje baza dualna do bazy b∗1 , . . . , b∗n ; oznaczmy ją jako y 1 , . . . , y n .
Jeśli T jest izomorfizmem kanonicznym przestrzeni V na przestrzeń bidualną V ∗∗ , opisanym w poprzednim twierdzeniu, to wektory
T −1 (y 1 ), . . . , T −1 (y n )
stanowią bazę przestrzeni V .
Wtedy
b∗j T −1 (y i ) = y i b∗j = δij ,
Wnioskujemy stąd, że baza złożona z wektorów b∗1 , . . . , b∗n jest dualna do
bazy T −1 (y 1 ), . . . , T −1 (y n ).
7
2
Przekształcenia sprzężone
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i A — przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Dla każdego funkcjonału liniowego φ w przestrzeni W możliwe jest złożenie
φ ◦ A.
Tak więc w przestrzeni W ∗ możemy określić przekształcenie A∗ : W ∗ −→ V ∗
określone wzorem
A∗ (φ) = φ ◦ A
dla każdego funkcjonału liniowego w przestrzeni W .
Przekształcenie to (czyli A∗ ) nazywamy przekształceniem transponowanym (lub sprzężonym lub dualnym) do przekształcenia A.
Udowodnimy, że to przekształcenie jest liniowe w przestrzeni W ∗ .
Istotnie, niech φ1 i φ2 będą dowolnymi funkcjonałami liniowymi w przestrzeni W oraz α — dowolną liczbą z ciała K.
Wtedy:
A∗ (φ1 + φ2 ) = (φ1 + φ2 ) ◦ A = φ1 ◦ A + φ2 ◦ A = A∗ (φ1 ) + A∗ (φ2 ) =
= A∗ (φ1 ) + A∗ (φ2 )
oraz
A∗ (α · φ1 ) = (α · φ1 ) ◦ A = α · (φ1 ◦ A) = α · A∗ (φ1 ).
Powyższe warunki dowodzą liniowości przekształcenia A∗ .
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi i B
oraz D bazami w tych przestrzeniach.
Symbolami B ∗ i D∗ oznaczmy bazy sprzężone z bazami B i D odpowiednio.
Twierdzenie 7 Jeśli przekształcenie liniowe A przestrzeni V w przestrzeń
W ma macierz A względem baz B i D, to macierz At jest macierzą przekształcenia A∗ względem baz D∗ i B ∗ .
8