zastosowanie wielomianów interpolacyjnych lagrange`a do
Transkrypt
zastosowanie wielomianów interpolacyjnych lagrange`a do
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A DO APROKSYMACJI FUNKCJI BRZEGOWYCH W METODZIE PURC DLA RÓWNAŃ NAVIERA-LAMÉGO Eugeniusz Zieniuk1a, Marta Kapturczak1b, Krzysztof Szerszeń1c 1 a Zakład Metod Numerycznych, Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku [email protected], [email protected], [email protected] Streszczenie Kluczowym problemem decydującym o dokładności rozwiązań w brzegowych równaniach całkowych (BRC) i parametrycznych układach równań całkowych (PURC) jest obliczanie całek osobliwych. W metodzie elementów brzegowych stosowanej do rozwiązywania BRC problem ten został efektywnie rozwiązany w wyniku wyeliminowania konieczności bezpośredniego obliczania całek osobliwych. Bezpośrednie zastosowanie tego jednak sposobu w metodzie PURC okazało się niemożliwe. Celem pracy było przeprowadzenie badań dotyczących wyeliminowania konieczności obliczania całek osobliwych i użycia sposobu stosowanego w klasycznej MEB. W tym celu do aproksymacji funkcji brzegowych zaproponowano wielomiany Lagrange’a. Słowa kluczowe: parametryczny układ równań całkowych, całka osobliwa, wielomian Lagrange’a THE APPLICATION OF LAGRANGE INTERPOLATION FOR THE APPROXIMATION OF BOUNDARY FUNCTIONS IN PIES METHOD FOR NAVIER-LAMÉ EQUATIONS Summary One of the most important problem which decided about accuracy of boundary problems solution using boundary integral equations and parametric integral equations systems is solving singular integrals. In boundary element method, which is used for solving boundary integral equations, the problem has been efficiently solved by eliminating the necessity of direct solving singular integrals. Unfortunately, the direct application of such a way in the PIES method appeared to be impossible. The aim of this work was to conduct studies about elimination of solving singular integrals and application of a way used in the classic MEB. For such a purpose, to approximate boundary function, the Lagrange polynomial was proposed. Keywords: parametric integral equations system, singular integral, Lagrange polynomial 1. WSTĘP Jednym z głównych problemów pojawiających się w trakcie rozwiązywania zagadnień brzegowych za pomocą brzegowych równań całkowych i parametrycznych układów równań całkowych jest obliczanie całek osobliwych. W MEB, stosowanej do rozwiązywania brzegowych równań całkowych, można uznać, że pro- blem ten został efektywnie rozwiązany. Do obliczania całek znajdujących się na przekątnej głównej układu równań algebraicznych wykorzystano zasadę ruchu bryły sztywnej (ang. rigid body) [1,2]. Dzięki takiemu podejściu w bardzo łatwy sposób można obliczyć całki osobliwe na przekątnej macierzy. Zauważono, że suma wszyst- 204 Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń kich elementów wiersza w macierzy jest równa zeru. W związku z tym całka osobliwa, czyli wartość na głównej przekątnej odpowiedniego wiersza, jest równa przeciwnej wartości sumy wszystkich pozostałych elementów. Zależność taka występuje jednak tylko w MEB, natomiast w przypadku układów równań algebraicznych otrzymywanych na bazie algorytmu zastosowanego do rozwiązywania PURC takiej zależności nie zauważono. Dotychczas w metodzie PURC do całkowania całek osobliwych stosowana była najprostsza technika polegająca na wyizolowaniu punktu osobliwego [7]. Ta prosta strategia była efektywna i skuteczna w przypadku elementarnych zagadnień brzegowych. Niemniej jednak zastosowanie jej do bardziej złożonych zagadnień okazuje się mało skuteczne. Wyniki były obarczone dużymi błędami, a czas obliczeniowy niekonkurencyjny w porównaniu do MEB. Dodatkowym problemem było to, że nie można było bezpośrednio zastosować strategii obliczania całek osobliwych używanej w MEB. W związku z tym postanowiono zastosować alternatywną formę aproksymacji funkcji brzegowych. Dotychczas do aproksymacji funkcji brzegowych używane były szeregi z funkcjami bazowymi będącymi wielomianami Czebyszewa. Celem pracy jest zastosowanie takiej aproksymacji funkcji brzegowych w PURC, która ostatecznie doprowadzi do układu równań algebraicznych o własnościach podobnych, jak w przypadku MEB. Dopiero wtedy będzie możliwym obliczanie całek osobliwych w sposób analogiczny jak w MEB. W tym celu postanowiono zastosować do aproksymacji funkcji brzegowych wielomiany interpolacyjne Lagrange’a zamiast dotychczas stosowanych wielomianów Czebyszewa. Podejście takie przetestowano na zagadnieniach dwui trójwymiarowych modelowanych równaniami NavieraLamégo. − ∗ ∗ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . ( ) ( ), ( )= ( ) ( ) ( ). Do tej pory jako funkcje bazowe w szeregach aproksymujących (2) stosowane były wielomiany Czebyszewa określone za pomocą wzoru rekurencyjnego: ( ) = 1, ( )= , ( )=2 ∙ ( )− = 2, 3, … . (3) ( ), Po podstawieniu szeregów aproksymujących (2) do PURC (1) otrzymano następującą postać parametrycznego układu równań całkowych: 0,5 ( ) = ∑ − ( ) ∫ ∑ ∗ ( , ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∗ ( , ) (4) . Numeryczne rozwiązanie (4) po zastosowaniu metody spektralnej i po podstawieniu w punktach kolokacji można przedstawić w skróconej postaci w sposób następujący: = , (5) gdzie u i p odpowiadają poszukiwanym współczynnikom funkcji brzegowych (2), natomiast H i G są to macierze, których elementy dla każdego punktu kolokacji określone są za pomocą całek występujących w równaniu (4). W tym momencie na głównej przekątnej macierzy H w przypadku rozwiązywania równań Naviera-Lamégo pojawiają się całki silnie osobliwe. Do tej pory efektywnym sposobem obliczania takich całek było izolowanie punktu osobliwego. Takie podejście było zadowalające w przypadku elementarnych zagadnień brzegowych. Do rozwiązywania bardziej złożonych zagadnień zachodziła potrzeba zastosowania w kwadraturach Gaussa [4] dużej liczby współczynników wagowych, co miało istotny wpływ na wydłużenie czasu obliczeniowego. 3. STRATEGIA EFEKTYWNEGO OBLICZANIA CAŁEK OSOBLIWYCH Metoda PURC, bazująca na parametrycznych układach równań całkowych, jest alternatywą dla klasycznych BRC i służy do rozwiązywania różnego rodzaju zagadnień brzegowych. Dla zagadnień 2D PURC jest przedstawiany w postaci wyrażenia matematycznego [5]: ∫ ( ) (2) 2. APROKSYMACJA FUNKCJI BRZEGOWYCH W PURC 0,5 ( ) = ∑ ( )= Problem obliczania całki osobliwej pojawia się również w metodzie elementów brzegowych (MEB). W przypadku tej metody zastosowano efektywny sposób obliczania tych całek. Zauważone zostało, że suma wszystkich elementów poszczególnych wierszy macierzy H poza przekątna główną jest równa wartości elementu na przekątnej głównej, ale ze zmienionym znakiem [1], (1) Poszukiwane rozwiązanie na brzegu w tym przypadku jest przedstawiane za pomocą funkcji brzegowych uj(s) lub pj(s). Do przybliżenia tych funkcji poszukiwanych oraz zadanych w postaci warunków brzegowych zastosowano szeregi aproksymujące: = 0. (6) W związku z tym na podstawie tego spostrzeżenia w sposób bardzo łatwy można wyznaczyć wartość całki 205 ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A… osobliwej na przekątnej głównej za pomocą całek nieosobliwych. Innymi słowy całkę osobliwą można wyliczyć na podstawie wzoru: =− na dziedzinie każdego z trzech segmentów zadano po dwa punkty kolokacji. Rozwiązanie przykładu uzyskane za pomocą metody PURC wykorzystującej wielomiany Lagrange’a, pokrywa się z wynikami dotychczas otrzymywanymi przy zastosowaniu wielomianów Czebyszewa. W dalszej kolejności rozważań nie koncentrowano się na zagadnieniu brzegowym, a jedynie na wygenerowanym układzie równań algebraicznych. Należało sprawdzić, czy jest możliwe na podstawie wzoru (7) obliczanie całek osobliwych. W związku z tym zachodziła potrzeba sprawdzenia czy równanie (6) zostało w tym przypadku spełnione. Dla porównania przedstawiono w tabeli 1 wartości sumy elementów dla każdego wiersza macierzy o wymiarze 12x12, otrzymanej w przypadku zastosowania wielomianów Czebyszewa oraz interpolacyjnych Lagrange’a do rozwiązywanego zagadnienia. (7) . W przypadku numerycznego rozwiązywania PURC okazuje się, że uzyskiwane wartości elementów macierzy w poszczególnych wierszach nie spełniają warunku (6). W związku z tym niemożliwym jest wyliczenie całki osobliwej na podstawie (7). W związku z tym zachodziła potrzeba zmodyfikowania numerycznego rozwiązywania PURC tak, aby możliwym było wykorzystania sposobu stosowanego w MEB do obliczania całek osobliwych. Dlatego też zamiast dotychczas stosowanych wielomianów Czebyszewa ( ) ( ) w (2), jako funkcji bazowych w szeregach aproksymujących Lagrange’a zastosowano wielomiany ( ) ( ) ( )= ( ): ( ) =( ( )( )( )…( )…( Tab. 1. Suma elementów w wierszach macierzy interpolacyjne ( )= )( )( )…( )…( ) . ) (8) 4. ANALIZA WYNIKÓW Zaprezentowane zastąpienie wielomianów Czebyszewa w szeregach aproksymujących wielomianami interpolacyjnymi Lagrange’a zaimplementowano w programie obliczeniowym PURC. W tym celu dokonano modyfikacji istniejących programów stosowanych do rozwiązywania dwuwymiarowych [6] i trójwymiarowych [8] zagadnień brzegowych modelowanych równaniami Naviera-Lamégo. W pierwszej kolejności, aby sprawdzić poprawność działania takiej strategii przeprowadzone zostały testy dla wspomnianych zagadnień. Numeryczne rozwiązanie zagadnień za pomocą PURC sprowadza się ostatecznie do rozwiązania układu równań algebraicznych. Okazuje się, że duży wpływ na jednoznaczność rozwiązania ma uwarunkowanie macierzy tego układu. W związku z tym sprawdzono jakie wartości przyjmuje wskaźnik uwarunkowania macierzy dla układu równań algebraicznych otrzymany w wyniku aproksymacji PURC po zastosowaniu wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a. Dodatkowo wyniki porównano z dotychczas stosowanymi wielomianami Czebyszewa do aproksymacji PURC jako funkcji bazowych. Wiersz Czebyszew Lagrange 1. -1.12 -1.0E-06 2. -0.72 -1.0E-06 3. 0.04 -4.0E-06 4. 0.82 -2.7E-06 5. -1.37 1.0E-06 6. -0.35 1.0E-06 7. -0.09 1.0E-05 8. 0.81 2.0E-06 9. -0.85 -5.6E-06 10. 0.26 -1.0E-06 11. 0.85 0.0E+00 12. 1.80 2.0E-06 Jak widać w tabeli 1 przypadku wielomianów Czebyszewa, jak zostało to już wcześniej zauważone, suma elementów w wierszach różni się od zera. W przypadku wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a, zgodnie z oczekiwaniami, uzyskane wartości są z bardzo małym błędem zbliżone do zera. Okazuję się więc, że takie podejście umożliwia zastosowanie szybkiego i efektywnego sposobu obliczania wartości całek osobliwych, bez konieczności bezpośredniego ich całkowania. Innymi słowy wartości elementów na przekątnej głównej macierzy można wyliczyć na podstawie wzoru (7). 4.2 TEST DLA ZAGADNIENIA TRÓJWYMIAROWEGO 4.1 TEST DLA ZAGADNIENIA DWUWYMIAROWEGO Kolejnym krokiem było uogólnienie omówionej strategii na zagadnienia trójwymiarowe. Sposób realizacji strategii jest analogiczny jak w przypadku zagadnienia dwuwymiarowego. Zamiast wielomianów Czebyszewa stosowane są odpowiednio wielomiany interpolacyjne Lagrange’a. Rozpatrywano zagadnienie w obszarze przedstawionym na rys. 1. z warunkami brzegowymi W pierwszej kolejności rozpatrywano zagadnie dwuwymiarowe modelowane równaniami Naviera-Lamégo. Rozpatrywano zagadnienie zdefiniowane w obszarze trójkątnym, do jego zdefiniowania w PURC zadano trzy punkty narożne. W ramach rozwiązania numerycznego 206 Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń otrzymanymi na podstawie rozwiązań analitycznych (9) przedstawionych w [3]. , , , )= )= )= −3 −3 −3 , , . (9) 1,E+00 Błąd względny [%] ( , ( , ( , u1 1,E-03 1,E-06 1,E-09 0 0,5 współrzędna x3 1 u2 Błąd względny [%] 1,E+00 Rys. 1. Zdefiniowanie obszaru dla zagadnienia trójwymiarowego Rozpatrywano rozwiązania otrzymane w punktach znajdujących się w środku obszaru, na odcinku od (0,5;0,5;0) do (0,5;0,5;1) zaznaczonym na rys. 1, czyli przy zmianie wartości współrzędnej . Do porównania wyników uzyskanych za pomocą metody PURC wykorzystano rozwiązanie analityczne dla równania NavieraLamégo (9). Na rys.2 przedstawiono względne błędy rozwiązań numerycznych dla przemieszczeń u1, u2, u3 w środku obszaru pokazanego na rys. 1. Testy powtórzono dla różnej liczby punktów kolokacji, rozpatrzono 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 punktów kolokacji zadanych w dziedzinie każdego z 6 płatów powierzchni modelujących brzeg sześcianu. Jak przedstawione na rys. 2, błąd względny rozwiązań numerycznych maleje wraz ze wzrostem liczby punktów kolokacji. W przypadku zastosowania już czterech punktów kolokacji widać ustabilizowanie wyników. Dodatkowo na wykresie dla u3, jak przedstawiono na rys. 2, wyraźnie widać pogorszenie dokładności wyników przy zbliżaniu się do brzegu. Wynika to z tego, że punkty narożne nie są brane pod uwagę w aproksymacji. Jednakże pogorszenie to jest błędem rzędu 0.01%. Dodatkowo w celu polepszenia wyników przy brzegu można zastosować inny sposób rozmieszczenia punktów kolokacji, np. z mniejszym odstępem krańcowych punktów od brzegu. 1,E-03 1,E-06 1,E-09 0 0,5 współrzędna x3 1 Błąd względny [%] u3 1,E+00 1,E-03 1,E-06 1,E-09 0 0,5 współrzędna x3 2x2 3x3 4x4 1 5x5 Rys. 2. Względny błąd rozwiązań numerycznych dla składowych wektora przemieszczeń u1, u2, u3 4.3 WSKAŹNIK UWARUNKOWANIA Duży wpływ na stabilność uzyskiwanych rozwiązań ma układ równań algebraicznych (5) otrzymany w wyniku numerycznego rozwiązywania (1). Zastosowanie wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a w szeregach aproksymujących zamiast wielomianów Czebyszewa wprowadza zmianę wartości współczynników w macierzach G i H w (5). W związku z tym postanowiono zbadać uwarunkowania otrzymanych układów równań algebraicznych z wykorzystaniem wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a oraz Czebyszewa, rozpatrując dwie strategie aproksymacji PURC. W pierwszej rozpatrywano wszystkie segmenty brzegu sparametryzowane w przedziale od zera do ich długości (0-p), 207 ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A… Wskaźnik uwarunkowania w drugiej znormalizowano długości wszystkich segmentów w przedziale od zera do jeden (0-1). Wartości wskaźnika uwarunkowania dla różnych wielkości wygenerowanej macierzy (różnych przykładów) przedstawiono w tabeli 2. W przypadku źle uwarunkowanej macierzy wskaźnik uwarunkowania jest znacznie większy od jeden. W tabeli 2 wyraźnie widać, że wartości wskaźnika znacznie odbiegają od jeden. Najmniejsze wartości uzyskiwane są w przypadku wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a oraz parametryzacji (0-1). 1,E+15 1,E+12 1,E+09 1,E+06 1,E+03 1,E+00 40x40 96x96 Lagrange Czebyszew (0-p) (0-1) (0-p) (0-1) 40x40 10965024 194 884947 23707 96x96 3925533 296 5683278 11377 144x144 2.65E+09 325 4.63E+09 570732 176x176 4.52E+12 272 4.84E+10 9290365 192x192 2.14E+14 15148 6.41E+12 1.59E+08 176x176 192x192 Rozmiar macierzy Tab. 2. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Rozmiar macierzy 144x144 Lagrange (0-p) Lagrange (0-1) Czebyszew (0-p) Czebyszew (0-1) Rys. 3. Wskaźnik uwarunkowania macierzy 5. WNIOSKI W pracy zastosowano wielomiany interpolacyjne Lagrange’a do aproksymacji funkcji brzegowych w metodzie PURC. Zauważono, że tak jak w przypadku metody elementów brzegowych, suma elementów poszczególnych wierszy w jednej macierzy jest równa zeru. Dzięki temu umożliwione zostało zastosowanie efektywnego sposobu obliczania całek osobliwych stosowanego w MEB. Zmiana wielomianów w aproksymacji nie powoduje utraty dokładności rozwiązań, a zaletą zastosowania takiej zmiany jest poprawienie uwarunkowania macierzy układu równań algebraicznych generowanych w metodzie PURC. W związku z tym w celu przebadania wpływu aproksymacji na uwarunkowanie układu, dla wybranych przykładów wyznaczono wskaźnik uwarunkowania macierzy. Okazuje się że wprowadzenie wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a znacznie polepsza uwarunkowanie macierzy rozwiązywanego układu, co zapewnia jednoznaczność uzyskiwanych rozwiązań. Dodatkowo wyniki przedstawiono na wykresie (rys.3). W celu zwiększenia możliwości porównania wartości wskaźnika zastosowano skalę logarytmiczną na osi pionowej. Na osi poziomej przedstawiono wymiary macierzy rozpatrywanych przykładów. W przypadku parametryzacji (0-p) nie widać znacznej różnicy pomiędzy uwarunkowaniem macierzy otrzymanej w przypadku zastosowania aproksymacji z wykorzystaniem wielomianów Czebyszewa a Lagrange’a. Przy zastosowaniu parametryzacji (0-1) następuje znaczna poprawa w przypadku aproksymacji wielomianami Czebyszewa, natomiast najlepsze uwarunkowanie uzyskiwane jest w przypadku zastosowania wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a. Praca częściowo finansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy. Literatura 1. Becker A. A.: The boundary element method in engineering: a complete course. McGraw-Hill International (UK) Limited 1992. 2. Beer G., Smith I., Duenser Ch.: The boundary element method with programming: for engineers and scientists. Springer 2010. 3. Mukherjee Y.X., Mukherjee S., Shi X. and Nagarajan A.: The boundary contour method for three-dimensional linear elasticity with a new quadratic boundary element. “ Engineering Analysis with Boundary Elements” 1997, 20, p. 35–44. 4. Stroud A.H.: Gaussian quadrature formulas. Prentice-Hall 1966. 208 Eugeniusz Zieniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń 5. Zieniuk E.: Metoda obliczeniowa PURC w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2013. 6. Zieniuk E.: A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear functions. „Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, 25, 10, p. 897-904. 7. Zieniuk E., Szerszeń K.: Numeryczne obliczanie całek powierzchniowych dla zagadnień przestrzennych w PURC „ Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 39, s. 217-224. 8. Zieniuk E., Szerszen K. , Kapturczak M.: A numerical approach to the determination of 3D Stokes flow in polygonal domains using PIES. Lecture Notes in Computer Sciences 7203. Part I. Heidelberg: Springer, 2012, p. 112-121. 209