identyfikacja obciążeń wewnętrznych w wybranych stawach w

identyfikacja obciążeń wewnętrznych w wybranych stawach w

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X
IDENTYFIKACJA OBCIĄŻEŃ
WEWNĘTRZNYCH W WYBRANYCH
STAWACH W TRAKCIE KONTAKTU
SKOCZKA Z PODŁOŻEM
PODCZAS PRZERZUTU I SALTA W PRZÓD
Adam Czaplicki1a, Krzysztof Dziewiecki2b, Tomasz Sacewicz1c,
Janusz Jaszczuk1d
1
Zakład Biomechaniki, Akademia Wychowania Fizycznego w Warszawie, Wydział Wychowania
Fizycznego i Sportu w Białej Podlaskiej
2
Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Wydział Mechaniczny, Politechnika Radomska
e-mail: [email protected], [email protected],
c
[email protected], [email protected]
Streszczenie
W pracy dokonano identyfikacji obciążeń wewnętrznych w wybranych stawach w trakcie kontaktu skoczka z podłożem podczas wykonywania przerzutu i salta w przód w pozycji łamanej. Przedmiotem analizy były czasowe charakterystyki zbiorczych momentów sił mięśniowych i reakcji w stawach skokowym, kolanowym, biodrowym oraz
ramiennym. Obliczenia wykonano na podstawie trójwymiarowego modelu ciała człowieka zdefiniowanego we
współrzędnych naturalnych. Czasowe charakterystyki obciążeń wewnętrznych w stawach otrzymano wskutek rozwiązania zagadnienia odwrotnego. Zbadano również wpływ zmieniającej się długości członów modelu biomechanicznego na rezultaty identyfikacji. Wyniki obliczeń pozwoliły na zidentyfikowanie trójwymiarowego stanu obciążeń w stawach oraz potwierdziły przydatność współrzędnych naturalnych w modelowaniu układów biomechanicznych.
IDENTIFICATION OF INTERNAL LOADS
AT THE SELECTED JOINTS DURING CONTACT
OF THE JUMPER WITH THE GROUND WHEN
PERFORMING THE HANDSPRING FRONT SOMERSAULT
Summary
The internal loads at the selected joints during contact of the jumper with the ground when performing the handspring front pike somersault were identified in this work. The computations were based on a three-dimensional
model of the human body defined in natural coordinates. The time courses of the net muscle torques and internal
reactions at the hip, knee, ankle and shoulder joints were obtained by inverse dynamics. The influence of nonconsistent lengths of anatomical segments on the computation results was also verified. The achieved results revealed 3D state of internal loads at the joints. It was also shown that the natural coordinates provide a useful environment for modeling spatial biomechanical structures.
213
IDENTYFIKACJA OBCIĄŻEŃ WEWNĘTRZNYCH W WYBRANYCH STAWACH…
1. WSTĘP
Przerzut i salto w przód w wykonaniu kobiet znajduje
anatomicznych. Skończona rozdzielczość filmu, błędy
się w grupie 78 skoków gimnastycznych (116 w przy-
operatora, przemieszczenia skóry z naklejonymi marke-
padku mężczyzn) sklasyfikowanych przez Międzynaro-
rami i niedokładna lokalizacja osi obrotu w stawach
dową Federację Gimnastyczną [10]. Znaczenie tego
powodują, że wyliczone tym sposobem współrzędne
skoku potęguje fakt, iż jest on elementem składowym
markerów obarczone są błędami. Najbardziej brzemien-
ewolucji o najwyższej skali trudności, tj. skoków Ro-
ne w konsekwencje niedokładności pomiarowe przejawia-
che’a, Blanika i Dragulescu. Biegłe opanowanie przerzu-
ją się brakiem zachowania stałych długości członów
tu i salta w przód jest zatem z jednej strony świadec-
w kolejnych klatkach filmu (rys. 1).
twem określonego poziomu sportowego gimnastyka,
l1,i
l1,i+1
a z drugiej przepustką w kierunku mistrzostwa.
l1,i+2
l2,i
Ze zrozumiałych względów w piśmiennictwie związanym
ψi
z omawianym skokiem przeważają prace zorientowane
l2,i+2
l2,i+1
ψi+1
ψi+2
Rys. 1. Zmiany długości członów w kolejnych klatkach filmu
(l1,i≠l1,i+1≠l1,i+2, l2,i≠l2,i+1≠l2,i+2); ” i” oznacza numer klatki
na metodologię nauczania i technikę jego wykonania
[8,14,18,19]. W innych pracach [8,11] zidentyfikowano
Problem zachowania stałych długości członów łańcucha
wartości niektórych parametrów kinematycznych (pręd-
biomechanicznego umyka jednak uwadze osoby prowa-
kość pozioma i pionowa środka masy skaczącego, pręd-
dzącej obliczenia w środowisku współrzędnych uogólnio-
kość kątowa ciała, kąty w stawach biodrowym, kolano-
nych lub względnych. Wykorzystuje ona zazwyczaj
wym i skokowym) oraz momentu bezwładności ciała
dyskretny zbiór współrzędnych markerów do obliczenia
skoczka. Wyznaczono również wartości sił reakcji ze
wartości kąta kolanowego
strony odskoczni gimnastycznej [15] oraz zbadano
ψ
, które w kolejnym etapie
przetwarzania surowych danych pomiarowych poddaje
wpływ umiejscowienia stopy na odskoczni na prędkość
wygładzaniu w celu wyeliminowania szumów pomiaro-
odbicia stopy [3] podczas przerzutu w przód.
wych. Następnie wylicza się prędkości
Obok wymienionych prac o rodowodzie eksperymental-
nia
nym odrębną i nieliczną grupę stanowią prace wykorzy-
ψ&&
ψ&
i przyspiesze-
na drodze różniczkowania numerycznego. Kon-
sekwencje błędu związanego z naruszeniem stałych
stujące modelowanie jako podstawową metodę badawczą
długości członów pozostają ukryte i mogłyby się dopiero
[9,12,13]. Znaczna część takich opracowań uległa jednak
ujawnić w razie konieczności wyznaczenia wartości
dezaktualizacji, ponieważ obecnie wykorzystywany stół
parametrów
gimnastyczny został po raz pierwszy wprowadzony na
kinematycznych
konkretnego
punktu
anatomicznego (np. stawu kolanowego).
mistrzostwach świata w Gandawie w 2001 roku.
Biorąc pod uwagę podstawowe znaczenie przerzutu
W środowisku współrzędnych naturalnych, w którym
i salta w przód w repertuarze gimnastyka oraz brak
operuje się na
opracowań poświęconych modelowaniu tego skoku,
i składowych odpowiednio definiowanych wektorów
głównym celem niniejszej pracy jest wyznaczenie trój-
jednostkowych, tolerowanie naruszania więzów geome-
wymiarowego stanu obciążeń w wybranych stawach
trycznych od razu wypaczyłoby rezultaty rozwiązania
gimnastyka podczas kontaktu z odskocznią i stołem
zagadnienia odwrotnego. Dlatego też na etapie obróbki
gimnastycznym, czyli w fazach, kiedy zbiorcze momenty
surowych danych pomiarowych stosuje się różne środki
sił mięśniowych i reakcje wewnętrzne przyjmują ekstre-
zapobiegawcze [16,17], polegające na zapewnieniu stałej
malne wartości.
długości członów w trakcie analizy dynamiki badanego
współrzędnych
punktów bazowych
ruchu.
Kolejny cel pracy związany jest z rozwiązaniem znanego, ale mało eksponowanego w literaturze przedmiotu
Procedury te zostały do tej pory sprawdzone dla mało
problemu
spójności
kinematycznej
(ang.
kinematic
ekspresyjnych czynności motorycznych, takich jak chód
consistency) danych pomiarowych. Jak powszechnie
[17] i zeskok [1]. Przerzut i salto w przód daje kolejną
wiadomo, położenia członów modeli biomechanicznych
sposobność zbadania ich wpływu na rezultaty planowa-
wyznacza się przeważnie na podstawie filmu, który
nej identyfikacji i taka analiza wyznacza drugi cel
dostarcza dyskretnych trajektorii markerów umiejsca-
niniejszej pracy.
wianych w stawach lub innych istotnych punktach
214
Adam Czaplicki, Krzysztof Dziewiecki, Tomasz Sacewicz, Janusz Jaszczuk
gdzie wektor q zawiera współrzędne punktów bazowych,
2. MODEL BIOMECHANICZNY
składowe wektorów jednostkowych i znane kąty. Nieli-
W obliczeniach wykorzystano trójwymiarowy model
niowy układ równań 1 rozwiązuje się zazwyczaj metodą
ciała człowieka zdefiniowany we współrzędnych natu-
iteracyjną Newtona-Raphsona według schematu
ralnych. Omawiany model został już szczegółowo opisa-
(ΦTq Φ q ) i (q i +1 − q i ) = −(ΦTq ) i (Φ) i ,
ny we wcześniejszych pracach [4,6,7], dlatego też na rys.
(2)
2a zaprezentowano jedynie podstawowe elementy struk-
Φq
tury kinematycznej modelu. Model składa się z 33 ciał
gdzie
sztywnych (numery w okręgach), a jego konfigurację
aktualną iterację. Po dwukrotnym zróżniczkowaniu (1)
opisują współrzędne 25 punktów bazowych oraz składo-
oblicza się prędkości i przyspieszenia współrzędnych
we 22 wektorów jednostkowych. Posiada on 44 stopnie
naturalnych
swobody, spośród których 38 stanowią obroty wokół
& q& .
&& = −Φ
Φ q q& = 0 ⇒ Φ q q
q
przegubów, a 6 jest związanych z ruchem miednicy
oznacza macierz Jacobiego więzów, a i
(3)
traktowanej jako ciało bazowe. Omawiane w pracy
Dynamiczne równania ruchu modelu można przedstawić
stopnie swobody oznaczono numerami w kwadratach.
w symbolicznej formie
v
vv
v
v
&& = Q − ΦTq λ ,
Mq
v
v
vv v
gdzie M jest macierzą bezwładności układu,
v
ψ
i reakcje podłoża, zaś
λ
wektorem mnożników Lagran-
ge’a skojarzonych z więzami i reprezentującym reakcje
r
v
v
v
vv
wewnętrzne oraz momenty sterujące wzdłuż kierunków
(b)
związanych ze wszystkimi stopniami swobody modelu.
Po obliczeniu przyspieszeń
na składowe wektora
vv
v
v
&&
q
z zależności (3), układ
równań (4) można jednoznacznie rozwiązać ze względu
vv
v
wekto-
wnętrznych zawierającym oddziaływania grawitacyjne
r
r
v
v v
&&
q
rem przyspieszeń, Q wektorem uogólnionych sił ze-
vv
v
vv
(4)
3. POMIAR
v
Zawodniczka o masie ciała 53 kg i wzroście 161 cm,
(a)
reprezentantka Polski w gimnastyce artystycznej na
olimpiadzie w Londynie, wykonała pięć przerzutów
Rys. 2. Model biomechaniczny ciała człowieka i więzy dopeł-
i salt w przód w pozycji łamanej (rys. 3). Zbliżony
niające w stawie łokciowym
sposób
W celu jednoznacznego rozwiązania zagadnienia od-
wykonania
wszystkich
skoków
potwierdził
z jednej strony wysoki poziom sportowy zawodniczki,
wrotnego we współrzędnych naturalnych [4,5,6] definiuje
a z drugiej usankcjonował wybór jednego z nich do
się dodatkowo dla każdego stopnia swobody modelu
więzy
λ.
analizy biomechanicznej. Salta sfilmowano czterema
typu
zsynchronizowanymi kamerami o częstotliwości 100 Hz.
(r14 − r13 )(r14 − r15 ) − r14 − r13 r14 − r15 cos(ψ 18 (t )) = 0
Niezbędne
(rys. 2b) zależne od kątów pomiędzy sąsiednimi człona-
trajektorie 23 punktów bazowych [6,7] wyznaczono
mi. Wartości tych kątów muszą być znane i są wyzna-
w środowisku systemu APAS. Prędkości i przyspieszenia
czane z zarejestrowanych położeń punktów bazowych.
obliczono, różniczkując względem czasu funkcje sklejane
Analityczne formy pozostałych więzów dopełniających
3. stopnia rozpięte nad położeniami punktów bazowych.
zainteresowany czytelnik znajdzie w monografii [6].
Wszystkie więzy można przedstawić w zwartej postaci
Φ (q ) = 0 ,
(1)
215
do
trójwymiarowej
rekonstrukcji
ruchu
IDENTYFIKACJA OBCIĄŻEŃ WEWNĘTRZNYCH W WYBRANYCH STAWACH…
oszacowano za pomocą optymalizacji, w której zminimalizowano
różnice
pomiędzy
trajektorią
optymalną
a rzeczywistą środka ciężkości ciała. Konieczność dodatkowych obliczeń w środowisku współrzędnych kartezjańskich wynikała z faktu, że reakcje zewnętrzne nie były
bezpośrednio
mierzone,
zaś
reakcje
wewnętrzne
we współrzędnych naturalnych wyznacza się po uzyskaniu wartości mnożników Lagrange’a.
Trajektorie punktów przyłożenia reakcji ze strony
podłoża uzyskano za pośrednictwem platformy Kistlera,
na której asekurowana przez trenera zawodniczka
przyjmowała pozycje ciała zbliżone do zarejestrowanych
podczas skoku. Okazało się, że różnice pomiędzy skrajnymi położeniami środka parcia na stopy i dłonie w
płaszczyźnie strzałkowej dochodzą do 13 cm (stopy) i 5
cm (dłonie).
Rys. 3. Fazy kontaktu z odskocznią (u góry) i stołem gimna-
4. WYNIKI
stycznym (na dole)
Największe w sensie wartości składowe reakcji w płasz-
Uzyskane w wyniku rozwiązania zagadnienia odwrotne-
czyźnie strzałkowej xz pochodzące ze strony odskoczni i
go przebiegi zbiorczych momentów sił mięśniowych
stołu gimnastycznego wyznaczono tradycyjną metodą
(lewa kolumna) i reakcji wewnętrznych (prawa kolum-
Newtona-Eulera,
na) skojarzonych z 1, 4 i 7 stopniem swobody modelu
wykorzystując
płaski
model
ciała
biomechanicznego zostały przedstawione na rys. 4.
człowieka [2]. Składową w płaszczyźnie czołowej yz
20
Mx [Nm]
0
-20
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
-40
-60
0.0
0.2
0.4
0.6
Reakcja pozioma [N]
1400
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
1000
600
200
-200
0.0
0.8
0.2
Czas [s]
200
Reakcja boczna [N]
My [Nm]
0
-200
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
-600
0.0
0.2
0.4
0.6
10
0.8
0.6
0.8
0
-10
-20
0.0
0.8
0.2
0.4
Czas [s]
Czas [s]
400
20
10
0
-10
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
-20
-30
Reakcja pionowa [N]
30
Mz [Nm]
0.6
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
20
-400
0.4
Czas [s]
-200
-800
-1400
s. skokowy
s. kolanowy
s. biodrowy
-2000
-2600
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0
0.2
0.4
0.6
Czas [s]
Czas [s]
Rys. 4. Przebiegi obciążeń wewnętrznych w stawach kończyny dolnej
216
0.8
Adam Czaplicki, Krzysztof Dziewiecki, Tomasz Sacewicz, Janusz Jaszczuk
Największe wartości zbiorczych momentów sił mięśnio-
skokowym, po pominięciu niewielkich efektów bezwład-
wych
występują
nościowych ze strony stopy, odpowiada w przybliżeniu
w stawie biodrowym i osiągają pułap -500 Nm. Ujemny
reakcji podłoża ze zmienionym znakiem. Ta ostatnia
znak momentu wskazuje na zaangażowanie prostowni-
nadaje ciału impuls pionowy około 340 Ns, czyli dwu-
ków uda. Ze względu na krótki czas trwania odbicia
krotnie wyższy niż ma to miejsce podczas poprzedzone-
mięśnie te muszą być wstępnie pobudzone w fazie lotu
go zamachem, przeciętnego wyskoku pionowego do góry
dolotu zawodniczki do odskoczni. Biorąc z kolei pod
z miejsca.
podczas
kontaktu
z
odskocznią
uwagę wielkość momentu, znaczną jego część przenoszą
Przebiegi składowych zbiorczego momentu sił mięśnio-
same stawy i bierne struktury okołostawowe. Porówny-
wych skojarzonego z 21. stopniem swobody modelu
walne wartości trzech momentów składowych sugerują
biomechanicznego są zaprezentowane na rys. 5 (lewy
odbiegający od płaskiego przebieg momentu wypadko-
wykres). Maksymalną wartość około 50 Nm osiąga
wego w stawie kolanowym.
składowa strzałkowa w środku fazy kontaktu dłoni ze
Największe wartości reakcji poziomej (1200 N) i piono-
stołem gimnastycznym. Wewnętrzne reakcje pozioma
wej (-2500N) pojawiają się w stawie skokowym. Wysoki
i pionowa w omawianym stawie przyjmują wartości 260
poziom pierwszej z nich jest następstwem siły tarcia
i -370 N (rys. 5, prawy wykres). Odzwierciedlają one
działającej na stopy skoczka w fazie odbicia, której
(ze zmienionym znakiem) rzeczywistą reakcję podłoża.
sprzyja niewielkie pochylenie odskoczni w kierunku
Składowa pozioma tej reakcji odpowiada za kolejną,
rozbiegu i jej gumowe pokrycie. Duży pułap siły tarcia
ważną w kontekście późniejszego lądowania redukcję
zapewnia właściwą rotację ciała i redukcję dużego pędu
pędu (ujemny impuls około 90 Ns), zaś składowa
poziomego skoczka w tej fazie skoku (ujemny impuls tej
pionowa zapewnia równie istotne zwiększenie wysokości
siły jest rzędu 160 Ns). Reakcja pionowa w stawie
lotu ciała kolejnej fazie skoku.
Mx
My
Mz
40
200
Reakcja [N]
Moment [Nm]
60
20
0
-20
0
reakcja pozioma
reakcja boczna
reakcja pionowa
-200
-400
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Czas [s]
Czas [s]
Rys. 5. Przebiegi obciążeń wewnętrznych w stawie ramiennym
Staw biodrowy
Staw biodrowy
1400
Reakcja pozioma
[N]
My [Nm]
100
-100
-300
stała długość członów
zmienna długość członów
-500
-700
0.0
0.2
0.4
0.6
stała długość członów
zmienna długość członów
1000
600
200
-200
0.8
0.0
0.2
Czas [s]
Staw ramienny
0.6
0.8
0.6
0.8
Staw ramienny
60
100
Reakcja pionowa
[N]
My [Nm]
0.4
Czas [s]
stała długość członów
zmienna długość członów
40
-100
20
-300
0
-20
stała długość członów
zmienna długość członów
-500
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.0
0.2
0.4
Czas [s]
Czas [s]
Rys. 6. Spójne i niespójne kinematycznie przebiegi wybranych obciążeń wewnętrznych w stawach biodrowym i ramiennym
217
IDENTYFIKACJA OBCIĄŻEŃ WEWNĘTRZNYCH W WYBRANYCH STAWACH…
Na rys. 6 zilustrowano wpływ braku spójności kinematycznej na poziomie położeń na wartości wybranych
obciążeń w stawach biodrowym i ramiennym. Pomiędzy
dwiema grupami charakterystyk widoczne są wydatne
różnice, które są zgodne z wynikami prezentowanymi
w pracach [1,17] i dotyczą również pozostałych przebiegów obciążeń wewnętrznych.
w warunkach kontaktu kończyn górnych lub dolnych
z podłożem. Ujawnił się jednakże ujemny aspekt modelowania w tych współrzędnych związany z brakiem
znajomości przebiegów reakcji zewnętrznych.
Zapewnienie w każdym kroku obliczeniowym stałej
długości członów modelu biomechanicznego zdefiniowanego we współrzędnych zależnych powinno być standar-
5. WNIOSKI
dową procedurą numeryczną.
W pracy dokonano identyfikacji obciążeń wewnętrznych
stawie ramiennym
Znajomość wartości i charakteru obciążeń w stawach
w trakcie kontaktu skoczka z odskocznią i stołem gim-
w trakcie badanego skoku może być przedmiotem
nastycznym podczas wykonywania przerzutu i salta
zainteresowania gimnastyków oraz ich trenerów.
w przód w pozycji łamanej. Uzyskane przebiegi zbior-
Zasadne wydaje się przeanalizowanie większej liczby
czych momentów sił mięśniowych i reakcji wewnętrz-
skoków w celu uzyskania odpowiedzi na pytanie, czy
nych, obok aspektu poznawczego, mają czytelną inter-
stosowna konfiguracja ciała w fazie kontaktu z od-
pretację biomechaniczną i ukazują impulsywny charak-
skocznią gimnastyczną wpływa na redukcję obciążeń
ter ruchu w tych fazach skoku.
w stawach.
w stawach
kończyny dolnej
i
Trójwymiarowy model ciała zdefiniowany we współrzędnych naturalnych okazał się efektywny numerycznie
Literatura
1.
Alonso F., del Castillo J., Pintado B.: Motion data processing and wobbling mass modelling in the inverse dynamics of skeletal models. “Mechanism and Machine Theory” 2007, 42(9), p. 1153-1169.
2.
Blajer W., Dziewiecki K., Mazur Z.: Remarks on human body movement modeling for the inverse dynamics
analysis. “Acta Mechanica et Automatica” 2010, 4(2), p. 17-24.
3.
Coventry E., Sands W., Smith S. : Hitting the vault board: Implications for vaulting take-off – a preliminary
investigation. “Sports Biomechanics” 2006, 5(1), p. 63-75.
4.
Czaplicki A., Silva M., Ambrósio J.: Biomechanical modelling for whole body motion using natural coordinates.
“Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2004, 42(4), p. 927-944.
5.
Czaplicki A.: Are natural coordinates a useful tool in modeling planar biomechanical linkages. “Journal of Biome-
6.
Czaplicki A.: Modelowanie we współrzędnych naturalnych w biomechanice. Monografie i Opracowania nr 7. Biała
chanics” 2007, 40(10), p. 2307-2312.
Podlaska: Zamiejscowy Wydział Wychowania Fizycznego, 2009.
7.
Czaplicki A. :Identification of internal loads at the selected joints during performance of a backward somersault.
“The Archive of Mechanical Engineering” 2009, VI(3), p. 303-316.
8.
Čuk I., Karácsony I.: Vault: methods, ideas, curiosities, history. Lubljana, ŠTD Sangvinčki, 2004.
9.
Gervais P.: A prediction of an optimal performance of the handspring 1½ front salto longhorse vault. “Journal of
Biomechanics” 1994, 27(1), p. 67-75.
10. International Gymnastics Federation, Code of Points, WAG, GAM, 2009.
11. Irwin G., Kerwin D.: The influence of the vaulting table on the handspring front somersault. “Sports Biomechanics” 2009, 8(2), p. 114-128.
12. King M., Yeadon M., Kerwin D. : A two-segment simulation model of long horse vaulting. “Journal of Sport
Sciences” 1999, 17(4), p. 313-324.
13. King M., Yeadon M.: Factors influencing performance in the Hecht vault and implications for modelling. “Journal
of Biomechanics” 2005, 38(1), p. 145-151.
218
Adam Czaplicki, Krzysztof Dziewiecki, Tomasz Sacewicz, Janusz Jaszczuk
14. Prassas S., Kwon Y-H., Sands W.: Biomechanical research in artistic gymnastics: a review. “Sports Biomechanics”
2006, 5(2), p. 261-291.
15. Sano S., Ikegami Y., Nunome H., Apriantono T., Sakuraji S.: The continuous measurement of the springboard
reaction force in gymnastic vaulting. “Journal of Sport Sciences” 2007, 25(4), p. 381-391.
16. Seemann W., Stelzner G., Simonidis C. (2005): Correction of motion capture data with respect to kinematic data
consistency for inverse dynamic analysis. In: Proceedings of ASME International Design Technical Conferences
and Computers and Information in Engineering Conference, Long Beach, paper DETC2005-84964.
17. Silva M., Ambrósio J.: Kinematic data consistency in the inverse dynamic analysis of biomechanical systems.
“Multibody System Dynamics” 2002, 8(2), p. 219-239.
18. Takei Y., Kim E.: Techniques used in performing the handspring and salto forward tucked vault at the 1988
Olympic Games.”International Journal of Sport Biomechanics” 1990, 6(2), p. 111-138.
19. Takei Y., Dunn H., Blucker E: Somersaulting techniques used in high-scoring and low-scoring Roche vaults
performed by male Olympic gymnasts. “Journal of Sport Sciences” 2007, 25(6), p. 673-685.
Praca została częściowo sfinansowana ze środków na naukę w latach 2010-2012 w ramach projektu badawczego MNiSW N N501156438.
219