Zastosowanie teorii grup w chemii kwantowej
Transkrypt
Zastosowanie teorii grup w chemii kwantowej
Zastosowanie teorii grup w chemii kwantowej Jacek Korchowiec, Zakład Chemii Teoretycznej im. K. Gumińskiego, Wydział Chemii UJ Niniejsze opracowanie ma na celu wprowadzenie podstawowych wielkości i jest dalekie od wyczerpującego omówienia teorii grup i jej zastosowań w chemii kwantowej. Przedstawiony zostanie praktyczny aspekt teorii bez wprowadzenia rygorystycznego formalizmu. Omówione zostaną: elementy symetrii i operacje symetrii z nimi związane, pojęcie grupy, podgrupy, klasy, tabela mnożenia grupowego, tabela charakterów, pojęcia reprezentacji nieredukowalnej (nieprzywiedlnej) i redukowalnej (przywiedlnej). Wielkości te zostaną wykorzystywane do generowania orbitali molekularnych w opisie zdelokalizowanym i w opisie zlokalizowanym, faktoryzacji równań wiekowych, symetrii drgań normalnych i reguł wyboru. Czytelnika zachęcamy do poszerzenia wiedzy z teorii grup w oparciu o takie podręczniki jak: „Wstęp do teoretycznej spektroskopii molekularnej. Teoria grup” Marka Pawlikowskiego i „Zastosowanie teorii grup w chemii” Alberta Cottona. Rozdziały poświęcone teorii grup można znaleźć w takich podręcznikach do chemii kwantowej jak: „Idee chemii kwantowej” Lucjana Pieli i „Elementy mechaniki i chemii kwantowej” Alojzego Gołębiewskiego. Elementy symetrii i sprzężone z nimi operacje symetrii Elementy symetrii (operatory symetrii) i związane z nimi operacje symetrii pozwalają przekształcić dany obiekt, np. cząsteczkę chemiczną, w obiekt fizycznie nieodróżnialny. Zajmiemy się tylko tymi operacjami symetrii, które w wyniku przekształcenia pozostawią co najmniej jeden punkt stały. Operacje te definiują grupy punktowe. Zademonstrujemy to na przykładzie cząsteczki NH3. Cząsteczka ta ma kształt czworościanu. W jednym z wierzchołków czworościanu jest atom azotu. Pozostałe wierzchołki wyznaczają podstawę czworościanu, która jest trójkątem równobocznym. W narożach tego trójkąta znajdują się atomy wodoru. Na rys. 1 przedstawiono kilka przekształceń tej cząsteczki, w wyniku których otrzymujemy „nieodróżnialne” obiekty. Dzięki ponumerowaniu atomów wodoru w cząsteczce kolejnymi cyframi mogliśmy odróżnić stan początkowy od stanu końcowego. Należy pamiętać, że atomy są nieodróżnialne, a numerację wprowadzono wyłącznie w celach poglądowych. Zabieg ten pozwoli także wygenerować tabelę mnożenia grupowego (dwukrotne działanie operatorami symetrii). W cząsteczce NH3 można wyróżnić następujące elementy symetrii: E (element jednostkowy), C3 (oś trójkrotna przechodząca przez atom N i prostopadła do podstawy wyznaczonej przez atomy wodoru - obrót o 120o), C 32 (oś trójkrotna - obrót o 240o), σ 1 (płaszczyzna zawierająca oś trójkrotną i przechodząca przez atom wodoru H1), σ 2 (płaszczyzna zawierająca oś trójkrotną i przechodząca przez atom wodoru H2) i σ 3 (płaszczyzna zawierająca oś trójkrotną i przechodząca przez atom wodoru H3). Rysunek 1 Fizycznie nieodróżnialne żnialne stany cz cząsteczki NH3 otrzymane w wyniku działania operatorów E , C 3 , C 32 , σ 1 , σ 2 i σ 3 . Numeracja atomów wodoru wprowadzono dla celów poglądowych. pogl W oparciu o rys. 1 można moż wygenerować tabelę „mnożenia” grupowego: E C3 C32 σ1 σ2 σ3 E E C3 C32 σ1 σ2 σ3 C3 C3 C32 E σ2 σ3 σ1 C32 C32 E C3 σ3 σ1 σ2 σ1 σ1 σ3 σ2 E C3 C32 σ2 σ2 σ1 σ3 C32 E C3 σ3 σ3 σ2 σ1 C3 C32 E (1) Łatwo zauważyć, żee w każdym rzędzie rz i każdej kolumnie tabeli mnożenia mno grupowego znajdują się wszystkie operacje symetrii. Innymi słowy zbiór oeracji symetrii tworzy grupę. grup Do określenia lenia grupy nie musimy znać zna wszystkich elementów symetrii. Istnieje bowiem minimalny inimalny zbiór (generatory grupy), który pozwoli otrzymać otrzyma pozostałe elementy symetrii. W grupie, którą rozważamy sąą to C3 i σ 1 . ( C3 C3 = C32 , C3 σ 1 = σ 2 , σ 1 σ 1 = E , …). Zgodnie z definicją zbiór G={A, B, …} złożony z g elementów, w którym zdefiniowane jest działanie grupowe zwane „mnożeniem”, „mno tworzy grupę jeżeli: i. ii. iii. iv. Spełniona jest relacja elacja zamknięcia, zamkni tzn. dla każdej uporządkowanej dkowanej pary elementów grupy A i B istnieje element C należący do G, taki że C = A B. Spełniona jest prawo łączności, łą tzn. jeżeli A, B, C należą do G to (AB AB)C = A(BC). Istnieje element jednostkowy (tożsamościowy),, który jest przemienny ze wszystkimi elementami grupy AE = EA = A. Istnieje element odwrotny do dowolnego elementu grupy. R jest elementem odwrotnym do A jeżeli: żeli: RA = AR = E, zwykle przyjmujemy oznaczenie enie R = A-1. Z grupy złożonej z sześciu wymienionych elementów symetrii można wyróżnić mniejsze zbiory, zwane podgrupami, które spełniają warunki i-iv. Ich tabele mnożenia grupowego powstały przez wykreślenie odpowiednich wierszy i kolumn w tabeli 1, co zilustrowano poniżej: E σ1 E E σ1 σ1 σ1 E E σ2 E E σ2 σ2 σ2 E E σ3 E E σ3 σ3 σ3 E E C3 C32 E E C3 C32 C3 C3 C32 E C32 C32 E C3 (2) Wymiary podgrup (liczba elementów symetrii w podgrupie) są dzielnikami rzędu grupy (liczby elementów w grupie). Z tabel mnożenia grupowego (rów. 2) widać, że są one przemienne: AB = BA. Zauważ, że pełna grupa nie była przemienna. Jeżeli A i X ∈ G to B = X-1AX jest także elementem grupy. Mówimy, że element B powstał w wyniku przekształcenia przez podobieństwo elementu A elementem X, lub że A i B są ze sobą sprzężone. Zbiór elementów wzajemnie sprzężonych nazywamy klasą. W oparciu o tabelę mnożenia grupowego (rów. 1) można pokazać, że elementy symetrii można podzielić na trzy klasy: ( E ), ( C3 , C32 ) i ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ). Zauważ, że grupa jest sumą rozłącznych klas. Istnienie klasy zawierającej element jednostkowy związane jest z definicją tego elementu: EX = X. Wobec tego, niezależnie od X, X-1EX = X-1XE = E. Przynależność C3 i C32 do tej samej klasy ilustrują zbiory równań: ( E ) −1 C3 E = EC3 = C3 ( E ) −1 C32 E = EC32 = C32 (C3 ) −1 C3C3 = C32C32 = C3 (C3 ) −1 C32C3 = C32 E = C32 (C32 ) −1 C3C32 = C3 E = C3 (σ v ) −1 C3σ v = σ vσ v' = C32 i (C32 ) −1 C32C32 = C3C3 = C32 (σ v ) −1 C32σ v = σ vσ v" = C3 (σ v' ) −1 C3σ v' = σ v' σ v"' = C32 (σ v' ) −1 C32σ v' = σ v' σ v = C3 (σ v" ) −1 C3σ v" = σ v"σ v = C32 (σ v" ) −1 C32σ v" = σ v"σ v' = C3 . (3) W wyniku transformacji podobieństwa elementu C3 dowolnym elementem grupy dostajemy zawsze C3 lub C32 . Podobnie transformacja podobieństwa elementu C32 dowolnym elementem grupy prowadzi do C3 lub C32 . Analogiczne równania można zapisać dla ostatniej z klas. Sprawdzenie pozostawiam czytelnikowi. Reprezentacje macierzowe operatorów symetrii Rozpatrzmy punkt P o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z). W wyniku działania operatorów symetrii E , C3 , C32 , σ 1 , σ 2 i σ 3 punkt P przechodzi w punkt P’ o współrzędnych (x’, y’, z’). Współrzędne punktu P’ otrzymamy w wyniku następujących przekształceń: E: x' 1 0 0 x y' = 0 1 0 y z' 0 0 1 z (4) C3 : x' − 1 / 2 y' = − 3 / 2 z ' 0 3 / 2 0 x − 1/ 2 0 y 0 1 z (5) C32 : x' − 1 / 2 − 3 / 2 0 x y' = 3 / 2 − 1/ 2 0 y z ' 0 0 1 z (6) σ1 : x' 1 0 0 x y' = 0 − 1 0 y z' 0 0 1 z (7) σ2 : x' − 1 / 2 − 3 / 2 0 x 1/ 2 0 y y' = − 3 / 2 z ' 0 0 1 z (8) σ3 : x' − 1 / 2 y' = 3 / 2 z ' 0 (9) 3 / 2 0 x 1/ 2 0 y 0 1 z W wyprowadzeniu powyższych równań założono, że płaszczyzna σ 1 zawiera oś OX. Macierze występujące w rów. 4-9 są reprezentacją operatorów symetrii. Mają one strukturę blokową. Można w nich wyróżnić dwa diagonalne bloki: 2×2 i 1×1. Mówimy, że ta reprezentacja macierzowa jest redukowalna (przywiedlna) i daje się rozłożyć na sumę prostą dwóch nieredukowalnych (nieprzywiedlnych) reprezentacji. Liczba nieredukowalnych reprezentacji jest równa liczbie klas. Do kompletu brakuje jeszcze jednej reprezentacji nieredukowalnej. W rów.4-9 rozpatrzyliśmy jak transformuje się wektor osiowy (wektor przesunięcia). Brakującą reprezentację można znaleźć analizując wektor biegunowy (wektor rotacji). Ciekawą własnością nieredukowalnych reprezentacji jest ortonormalność wektorów zbudowanych w oparciu o te macierze. Zestawmy elementy a11 z macierzy z rów. 4-9 w wektor: (1,-1/2,1/2,1,-1/2,-1/2). Zróbmy to samo z elementem a12: (0,31/2/2, -31/2/2,0, -31/2/2, 31/2/2). Widać, że otrzymane wektory są ortogonalne względem siebie. Ta obserwacja jest ogólna i stanowi treść wielkiego twierdzenia o ortogonalności: ∑ Γij( µ ) ( R) [Γkl(ν ) ( R)] * R = g δ µν δ ik δ jl . lµ (10) Sumowanie przebiega po wszystkich operacjach symetrii, Γij( µ ) ( R) jest ij-tym elementem µtej nieredukowalnej reprezentacji operatora symetrii R, l µ jest wymiarem tej reprezentacji, a g jest rzędem grupy. Bezpośrednie wykorzystanie wielkiego twierdzenia o ortogonalności jest niepraktyczne, gdyż musi być znana pełna reprezentacja macierzowa. Znacznie wygodniejsze w użyciu jest małe twierdzenie o ortogonalności: ∑ χ ( µ ) ( R) (χ (ν ) ( R) ) * = gδ µν . (11) R W równaniu tym χ ( µ ) ( R ) jest charakterem (śladem macierzy) odpowiadającym µ-tej nieredukowalnej reprezentacji. Sumując diagonalne elementy w jednym i drugim bloku dla kolejnych operacji symetrii (rów. 4-9) dostajemy następujące dwa wektory: (2,-1,-1,0,0,0) i (1,1,1,1,1,1). Wektory te są ortogonalne a kwadrat długości jest równy 6 czyli rzędowi grupy zgodnie z rów. 11. Wykorzystując małe twierdzenie o ortogonalności można skonstruować wektor zawierający charaktery nieuwzględnionej jeszcze reprezentacji. Reprezentacja ta musi być jednowymiarowa bo suma kwadratów wymiarów musi być równa rzędowi grupy: ∑ l µ2 = g . (12) µ Łatwo zauważyć, że tylko wektor (1,1,1,-1,-1,-1) jest ortogonalny do dwóch pozostałych wektorów a jego długość jest równa rzędowi grupy. Zmiana fazy nie wchodzi w rachubę bo element jednostkowy pozostawia dany obiekt niezmieniony. Informacje o nieredukowalnych reprezentacjach grupy punktowej C3v, do której należy cząsteczka amoniaku, można zebrać w poniższej tabeli charakterów: C3 v A1 A2 E E 1 1 2 2C3 1 1 -1 3σv 1 z -1 Rz 0 (x, y) (Rx, Ry) x2+y2, z2 (13) 2 2 (x -y , xy) (xz, yz) Oznaczenie grupy punktowej C3v, do której należy amoniak zostanie wyjaśnione później. Liczby przed symbolem operatorów symetrii oznaczają liczbę elementów w klasie. Należy, rozumieć, że 2 C3 odnosi się do C3 i C32 a 3σ v do płaszczyzn σ 1 , σ 2 i σ 3 . Dolny wskaźnik przy oznaczeniu płaszczyzny „v” jest skrótem od słowa „vertical”. Oczywiście, wszystkie cząsteczki należące do tej samej grupy punktowej mają dokładnie te same elementy symetrii. Wiersze 2-4 w tabeli charakterów odpowiadają reprezentacjom nieredukowalnym. Symbol A oznacza reprezentacje jednowymiarowe a symbol E reprezentację dwuwymiarową. Obie reprezentacje jednowymiarowe są parzyste względem osi trójkrotnej. W przypadku gdy reprezentacja jest nieparzysta względem osi głównej to używa się symbolu B. Dolne indeksy oznaczają parzystość (1) i nieparzystość (2) względem płaszczyzny symetrii. W przypadku gdy istnieją osie dwukrotne prostopadłe do osi głównej to indeksy dolne 1 i 2 oznaczają parzystość i nieparzystość względem tych osi. Gdy dana grupa punktowa zawiera reprezentacje trójwymiarowe to oznaczamy je literą T. Gdy w cząsteczce istnieje środek symetrii to parzystość/nieparzystość względem tej operacji symetrii oznaczamy dolnymi indeksami g/u. Gdy w cząsteczce istnieje płaszczyzna prostopadła względem osi głównej to symbole „prim” i „bis” oznaczają parzystość i nieparzystość względem tej płaszczyzny. Elementy symetrii w tabeli charakterów są zebrane w klasy, stąd tylko trzy kolumny. Pamiętaj, że charaktery macierzowych reprezentacji operatorów symetrii należących do tej samej klasy są sobie równe. Dwie ostatnie kolumny w tej tabeli określają jak transformuje się wektor translacji (x, y, z) i rotacji (Rx, Ry, Rz) oraz formy kwadratowe. Składowa z-owa wektora translacji transformuje się jak reprezentacja pełno symetryczna A1. Pozostałe dwie składowe transformują się jak reprezentacja dwuwymiarowa E. Zostało to pokazane na początku tego rozdziału. r Aby ustalić jak transformuje się wektor biegunowy R wystarczy rozpatrzyć wektor momentu pędu r r r l = r × p. (14) W tym celu, należy sprawdzić jak transformują się składowe: ∂ ∂ lˆx = −ih y − z ∂y ∂z ∂ ∂ lˆy = −ih z − x , ∂z ∂x (15) ∂ ∂ lˆz = −ih x − y ∂x ∂y w wyniku działania kolejnych operacji symetrii. Równania 4-9 określają transformację r składowych wektora położenia r i można je bezpośrednio wykorzystać. Dla pochodnych cząstkowych należy się oprzeć na poniższych relacjach: ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + ∂x' ∂x' ∂x ∂x' ∂y ∂x' ∂z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + . ∂y ' ∂y ' ∂x ∂y ' ∂y ∂y ' ∂z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ = + + ∂z ' ∂z ' ∂x ∂z ' ∂y ∂z ' ∂z (16) Użycie tych wzorów zademonstrujemy na przykładzie składowej z-owej momentu pędu. Związek pomiędzy operatorem l z przed dokonaniem transformacji a operatorem l z ' po transformacji dla kolejnych elementów symetrii jest następujący: E: ∂ ∂ ∂ ∂ lˆz ' = −ih x' − y ' = −ih x − y = lˆz ∂x' ∂x ∂y ' ∂y (17) C3 : ∂ ∂ lˆz ' = −ih x' − y ' = ∂x' ∂y ' 1 3 3 ∂ 1 ∂ 3 1 1 ∂ 3 ∂ ˆ = −ih − x + y − − − − x − y − + = lz 2 2 2 ∂x 2 ∂y 2 2 2 ∂x 2 ∂y C32 : ∂ ∂ lˆz ' = −ih x' − y ' = ∂x' ∂y ' 1 3 3 ∂ 1 ∂ 3 1 1 ∂ 3 ∂ ˆ = −ih − x − y − − x − y − − = lz 2 2 2 ∂x 2 ∂y 2 2 2 ∂x 2 ∂y σ1 : ∂ ∂ ∂ ∂ − y ' = −ih − x + y = −lˆz lˆz ' = −ih x' ∂x' ∂y ∂x ∂y ' σ2 : ∂ ∂ lˆz ' = −ih x' − y ' = ∂x' ∂y ' 1 3 3 ∂ 1 ∂ 3 1 1 ∂ 3 ∂ ˆ = −ih − x − y − + − − x + y − − 2 2 ∂x 2 ∂y = −l z 2 2 2 ∂ x 2 ∂ y 2 σ3 : ∂ ∂ − y ' = lˆz ' = −ih x' ∂x' ∂y ' 1 3 3 ∂ 1 ∂ 3 1 1 ∂ 3 ∂ ˆ = −ih − x + y + − x + y − + 2 2 ∂x 2 ∂y = −l z 2 2 2 ∂ x 2 ∂ y 2 Z zamieszczonych związków między l z a (18) (19) (20) (21) (22) l z ' widać, że składowa z-owa momentu pędu transformuje się jak reprezentacja jednowymiarowa A2. Czytelnikowi pozostawiam sprawdzenie pozostałych dwóch składowych. W przypadku form kwadratowych wystarczy przeanalizować jak x ' 2 + y ' 2 , z ' 2 , K wyrażają się przez „niepromowane” odpowiedniki, np.: 2 C3 : 2 1 3 3 1 x ' + y ' , = − x + y + − x − y = x 2 + y 2 . 2 2 2 2 2 2 (23) Analogiczne obliczeniach można wykonać dla pozostałych operacji symetrii. Za każdym razem dostaniemy ten sam związek między „primowanymi” i „nieprimowanymi” współrzędnymi. Tłumaczy to dlaczego x2 + y2 transformuje się jak reprezentacja pełnosymetryczna A1. Niezależnie od operacji symetrii z ' = z wobec tego także z 2 transformuje się jak reprezentacja pełnosymetryczna. Zauważ, że zmiana znaku w rów. 23 powoduje pojawienie się członu mieszanego xy dlatego x 2 − y 2 i xy transformują się łącznie jak reprezentacja dwuwymiarowa E. Niekiedy, aby sprawdzić własności transformacyjne, można wykorzystać iloczyn prosty reprezentacji. Należy pamiętać, że charaktery odpowiadające iloczynowi prostemu dwóch lub więcej reprezentacji są iloczynem charakterów tych reprezentacji. W przypadku iloczynów xz i yz , para ( x, y) transformuje się jak reprezentacja E a z jak reprezentacja A1. Iloczyn prosty A1⊗E jest tożsamościowo równy E (A1⊗E≡E) stąd para ( xz, yz) transformuje się jak reprezentacja dwuwymiarowa E. Ostatnie dwie kolumny można także wykorzystać to określenia reprezentacji zgodnie z którą transformują się orbitale atomowe (AO, atomic orbitals) atomu centralnego. W przypadku NH3 jest to atom N. Zauważ, że atom azotu jest punktem stałym i działanie dowolnego elementu symetrii pozostawia go w tym samym miejscu i dlatego AO atomu azotu mają dobrze określoną symetrię. Orbitale typu s transformują się zgodnie z reprezentacją pełnosymetryczną. Wartość orbitalu 1s w danym punkcie przestrzeni zależy wyłącznie od r (r2=x2+y2+z2). Orbitale typu p (px, py, pz) transformują się jak składowe wektora położenia zaś orbitale typu d (dz2, dxz, dyz, dxy, dx2-y2) transformują się tak jak odpowiednie formy kwadratowe. W przypadku ligandów (atomy H) wszystkie orbitale atomowe napinają bazę reprezentacji redukowalnej, którą należy rozłożyć na reprezentacje nieredukowalne. Postać orbitali symetrii otrzymujemy po wykorzystaniu operatorów rzutowych. W cząsteczce NH3 nie występowały takie elementy symetrii jak osie inwersyjne. Obrót względem osi inwersyjnej S n powstają w wyniku złożenia obrotu wokół osi Cn i odbicia w płaszczyżnie do niej prostopadłej σ h . Dolny wskaźnik h jest skrótem od słowa „horizontal”. Na szczególną uwagę zasługują osie inwersyjne S 2 czyli środek symetrii i . Pod wpływem środka symetrii punkt o współrzędnych (x, y, z) przechodzi w punkt o współrzędnych (-x, -y, -z). Każda cząsteczka chemiczna zawiera pewne elementy symetrii. W skrajnym przypadku jest to element jednostkowy E , który można utożsamić z obrotem o 360o wokół dowolnej osi. Istotne wobec tego jest określenie grupy punktowej cząsteczki. Poniżej przedstawiono procedurę ustalenia grupy punktowej dowolnej cząsteczki chemicznej: krok 1. krok 2. krok 3. krok 4. grupy szczególne (C∞v , D∞h) i (T, Td, Th, O, Oh, I, Ih) brak osi obrotów (C1, Cs, Ci) wyłącznie osie inwersyjne (S2n) oś Cn nie wynikająca z istnienia osi S2n Przyjęte oznaczenia są zgodne z notacją wprowadzoną przez Schoenfliesa. Istnieją także inne notacje (międzynarodowa, Kreutza-Zaręby). W chemii kwantowej przyjęła się notacja Schoenfliesa i ona będzie stosowana w tekście. Grupy szczególne C∞v i D∞h zawierają oś o „nieskończonej” krotności. Symbole literowe C i D oznaczają brak lub istnienie osi dwukrotnych prostopadłych do osi C∞. Pozostałe grupy szczególne odnoszą się do brył platońskich. Litery T, O i I oznaczają odpowiednio: tetraedr, oktaedr i ikosaedr. Brak osi obrotów sprowadza się do grupy C1 (wyłącznie E), Cs (istnienie płaszczyzny symetrii), Ci (istnienie środka symetrii). Dosyć ciekawy przypadek stanowią grupy S2n. Jedynymi elementami symetrii w tej grupie są te, które wynikają z istnienia osi inwersyjnej. Wymóg parzystość tej osi jest związany z fundamentalną różnicą pomiędzy S2n+1 i S2n. Zauważ, że 2nkrotne działanie osi S2n jest tożsame z E, podczas gdy (2n+1)-krotne działanie osi S2n+1 jest tożsame z σh, a istnienie tej płaszczyzny nie wynika z istnienia osi inwersyjnej. W kroku 4, w zależności od pozostałych elementów symetrii, ustalenie grupy punktowej jest przedstawione na rys. 2. Rysunek 2 Ustalenie grupy punktowej dla cząsteczki, w której istnieje jedna oś główna W pierwszym kroku sprawdza się czy istnieją osie dwukrotne prostopadłe do osi głównej. Gdy nie ma takich osi to w symbolu grupy punktowej pojawia się litera C. Następnie sprawdza się czy istnieje płaszczyzna prostopadła do osi głównej. Gdy płaszczyzna istnieje to grupę punktową oznaczamy symbolem Cnh. Gdy takiej płaszczyzny nie ma to sprawdza się czy istnieją płaszczyzny zawierające oś główną. Oczywiście, z istnienia jednej płaszczyzny wynika istnienie jeszcze n-1 płaszczyzn. Symbolem grupy punktowej w takim przypadku jest Cnv. Jeżeli nie ma płaszczyzn σv to grupę punktową oznaczamy symbolem Cn. W przypadku gdy istnieje n osi C2 prostopadłych do osi głównej to grupę punktową oznaczamy literą D. W kolejnym kroku sprawdzamy istnienie płaszczyzny σh. Gdy owa płaszczyzna istnieje to Dnh jest symbolem grupy punktowej. Gdy jej nie ma to sprawdzamy czy istnieją płaszczyzny zawierające oś główną. Gdy istnieją takie płaszczyzny to grupę punktową oznaczamy symbolem Dnd, w przeciwnym przypadku symbolem Dn. Dolny indeks d w symbolu Dnd jest skrótem od słowa „dihedral”. Zastosowanie teorii grup w zagadnieniach chemii kwantowej związane jest z przemiennością operatora energii elektronowej ( Ĥ el ) z operatorami symetrii ( R̂ ): Hˆ el Rˆ = Rˆ Hˆ el . (24) Relacja ta jest zrozumiała intuicyjnie. Jeżeli rozpiszemy hamiltonian elektronowy jako sumę energii kinetycznej elektronów ( Tˆ ) i energii potencjalnej związanej z oddziaływaniami el elektron-elektron ( Vee ), elektron-jądro ( Ven ) i jądro-jądro ( Vnn ) to przemienność R̂ z operatorem energii potencjalnej jest oczywista. Przekształcenie cząsteczki pod wpływem operatora R̂ nie zmienia odległości pomiędzy cząstkami (elektronami i jądrami). Przemienność z operatorem energii kinetycznej jest konsekwencją izotropii przestrzeni. Jeżeli operator R̂ działa na N-elektronową, niezdegenerowaną funkcję falową to funkcja ta przejdzie w siebie z dokładnością do czynnika fazowego: Rˆ Ψel (1, 2, ..., N ) = ± Ψel (1, 2, ..., N ) . (25) W przypadku degeneracji, wyjściowy stan elektronowy przejdzie w kombinację liniową wszystkich g-krotnie zdegenerowanych stanów własnych: g Rˆ Ψel ,i (1, 2, ..., N ) = ∑ C j ,i Ψel , j (1, 2, ..., N ) . (26) j =1 Podobne rozważania można przeprowadzić dla funkcji jednoelektronowych (orbitali): Rˆ ϕ i (1) = ±ϕ i (1) (27) i g Rˆ ϕ i (1) = ∑ C j ,iϕ j (1) . (28) j =1 Jest to oczywiście konsekwencją komutowania operatora Focka z operatorem symetrii. Informacje związane z symetrią można wykorzystać aby uprościć obliczenia. Pozwala to zaoszczędzić czas gdyż nie musimy wielokrotnie obliczać tych samych całek jedno- i dwuelektronowych. Ponadto możemy wykluczyć z obliczeń te z nich, które ze względu na r symetrię są równe zeru. Całka ϕ * Aˆ ϕ dr jest różna od zera tylko wtedy, gdy funkcja ∫ i j podcałkowa transformuje się jak reprezentacja pełnosymetryczna lub w przypadku gdy transformuje się jak reprezentacja redukowalna zawierająca składową pełnosymetryczną. Znając symetrię orbitali i symetrię operatora, należy obliczyć iloczyn prosty reprezentacji zgodnie z którym się one transformują i rozłożyć go na reprezentacje nieredukowalne. Jest to rozszerzenie pojęcia parzystości/nieparzystości funkcji podcałkowej. Analiza momentów przejścia całek występujących w regułach wyboru spektroskopii molekularnej, pozwala stwierdzić czy dane przejście jest dozwolone. Orbitale molekularne - opis zdelokalizowany Diagram korelacyjny dla cząsteczki amoniaku można bardzo łatwo skonstruować wykorzystując wprowadzone elementy teorii grup. Całe postępowanie da się sprowadzić do prostego szablonu złożonego z kilku kroków: krok 1. klasyfikacja orbitali atomu centralnego (atom azotu) krok 2. krok 3. krok 4. krok 5. skonstruowanie reprezentacji redukowalnej Γ, związanej z orbitalami ligandów (atomy wodoru) rozłożenie Γ na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych konstrukcja orbitali symetrii ligandów sporządzenie diagramu korelacyjnego W przypadku atomu azotu w cząsteczce amoniaku mamy do dyspozycji zapełnione orbitale 1s, 2s, 2px, 2py i 2pz. Orbitale 1s, 2s i 2pz transformują się jak reprezentacja A1. Orbitale 2px i 2py transformują się jak reprezentacja dwuwymiarowa E. Orbitale 1s trzech atomów wodoru napinają bazę reprezentacji redukowalnej. Orbitale kolejnych atomów wodoru rozróżniamy dolnymi indeksami 1, 2 lub 3. Charaktery macierzowych reprezentacji operatorów symetrii są równe: C3 v Γ E 3 2C3 0 3σv 1 Przy wyznaczeniu śladu macierzy można wykorzystać prostą regułę, która mówi, że przyczynek do charakteru mają tylko te funkcje bazy, które pozostają na swoim miejscu. Orbitale 1s1, 1s2 i 1s3 można utożsamić z jednorodnymi kulami centrowanymi na atomach H1, H2 i H3. Operator jednostkowy pozostawia wszystkie kule na swoich miejscach. Operator obrotu powoduje, że każda z kul przechodzi na miejsce sąsiada. Stąd na diagonali macierzy transformacji występują same zera. Odbicie w płaszczyźnie pozostawia jedna z kul na swoim miejscu a pozostałe dwie wymieniają się pozycjami. W macierzy transformacji na diagonali mamy dwa zera i jedynkę. Wobec tego charakter jest równy jedności. Pełny zestaw macierzy transformacji przedstawiony został poniżej: E C3 C32 σv,1 σv,2 σv,3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 W kolejnym kroku reprezentację Γ rozkładamy nieredukowalnych. Należy tu wykorzystać wyrażenie: nµ = 1 χ ( µ ) ( R) χ Γ ( R) , ∑ g R na sumę prostą reprezentacji (29) które można wyprowadzić w oparciu o małe twierdzenie o ortogonalności. W wyrażeniu tym nµ jest krotnością µ-tej nieredukowalnej reprezentacji w Γ. Zauważ, że sumowanie przebiega po elementach symetrii a nie po klasach elementów symetrii. Po zastosowaniu rów. 29 reprezentacja Γ jest następującą sumą prostą: Γ = A1 ⊕ E . (30) Innymi słowy, z orbitali 1s1, 1s2 i 1s3 można utworzyć jeden orbital o symetrii A1 i dwa orbitale o symetrii E. Postać tych orbitali można dostać wykorzystując operatory rzutowe: Pˆ µ = lµ g ∑ χ ( µ ) ( R) Rˆ . (31) R Stałą l µ / g można zaniedbać ponieważ otrzymane orbitale i tak trzeba będzie unormować. Działając operatorem rzutowym Pˆ A1 na dowolną funkcję bazy otrzymamy sumę orbitali atomowych ligandów: χ A1 = Pˆ A1 (1s1 ) = N 1 (1s1 + 1s 2 + 1s3 ) , (32) którą należy unormować. Działając operatorem P̂ E na orbital 1s1 otrzymuje się: χ1E = Pˆ E (1s1 ) = N 2 [ 2(1s1 ) − 1s 2 − 1s3 ] . (33) Aby uzyskać drugi orbital ze zdegenerowanych orbitali należy zadziałać operatorem P̂ E na orbital 1s2: χ 2E' = Pˆ E (1s 2 ) = N 3 [ 2(1s 2 ) − 1s1 − 1s3 ] . (34) Rysunek 3 Diagram korelacyjny dla cząsteczki NH3 Otrzymany orbital nie jest ortogonalny do orbitalu danego w rów. 33 i należy użyć procedury ortogonalizacyjnej Schmita aby zortogonalizować go do pierwszego z otrzymanych orbitali: χ 2E = χ 2E' − χ1E χ 2E' χ 2E' χ 2E' χ1E χ1E χ1E = N 4 ( 1s2 − 1s3 ) (35) W rów. 35 użyto notacji Diraca dla oznaczenia wektorów (orbitali) i ich iloczynów skalarnych. Do sporządzenia diagramu korelacyjnego nie była konieczna znajomość kształtu orbitali symetrii. Konstruując ten diagram należy pamiętać, że nakładają się ze sobą jedynie orbitale o tej samej symetrii, ponieważ operator energii jest pełnosymetryczny. Orbital 1s atomu azotu ma znacznie niższą energię niż orbital χ A1 , dlatego przechodzi w orbital niewiążący. Orbitale 2s i 2pz atomu azotu, oba o symetrii A1, nałożą się z orbitalem χ A1 . W wyniku tego powstaną trzy orbitale: jeden wiążący, jeden niewiążący i jeden antywiążący. Z nałożenia orbitali 2px i 2py atomu N (symetria E) z orbitalami χ1E i χ 2E powstaną dwa orbitale wiążące i dwa antywiążące, oczywiście o tej samej symetrii co orbitale wyjściowe. Diagram korelacyjny przedstawiony jest na rys.3. Po prawej i lewej stronie tego diagramu znajdują się wyjściowe AO atomu azotu i atomów wodoru. Środkowa część ilustruje tworzenie się orbitali molekularnych z orbitali atomowych i orbitali symetrii. Za wyjątkiem orbitalu 1a1 wszystkie pozostałe są zdelokalizowane na cały układ molekularny. Orbitale molekularne - opis zlokalizowany W opisie zlokalizowanym tworzy się orbitale molekularne dwucentowe. Aby to osiągnąć, orbitale atomowe rotuje się tak aby otrzymać orbitale o dobrze określonych własnościach kierunkowych. Wybierzmy jako bazę reprezentacji orbitale zhybrydyzowane. Przedstawmy je jako strzałki nakierowane na atomy wodoru (hybrydy h1, h2 i h3) i wolną parę elektronową (hybryd h4). Cząsteczka wraz z wybraną bazą jest zaznaczona na rys. 4. Rysunek przedstawia wyidealizowaną strukturę amoniaku. Atomy wodoru znajdują się w narożach tetraedru. Wolna para elektronowa skierowana jest także w kierunku wolnego narożnika tetraedru. W rzeczywistości cząsteczka jest nieznacznie spłaszczona a kąty pomiędzy wiązaniami odbiegają od tych wynikających ze struktury tetraedrycznej. Oś trójkrotna jest skierowana wzdłuż kierunku na którym jest narysowany hybryd h4. Na płaszczyźnie xz leży atom H1. Rysunek 4 Schematyczne przedstawienie cząsteczki amoniaku z czarnymi strzałkami ilustrującymi własności kierunkowe orbitali hybrydyzowanych. Reprezentację redukowalną Γ związaną z tymi hybrydami, C3 v Γ E 4 2C3 1 3σv 2 rozkładamy na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych (rów. 29): Γ = 2 A1 ⊕ E . (36) Transformację (mieszanie się) orbitali atomowych można zapisać następującym równaniem: h1 a11 h2 a 21 h = a 3 31 h a 4 41 a12 a 22 a32 a 42 a13 a 23 a33 a 43 a14 2 s a 24 2 p x . a34 2 p y a 44 2 p z (37) Współczynniki macierzy a znajdziemy w sposób pośredni. W odróżnieniu od orbitali atomowych azotu hybrydy nie mają dobrze określonych własności symetrii. Macierz a jest macierzą ortogonalną. Macierzą odwrotną do niej jest macierz transponowana. Po odwróceniu rów. 37 przyjmie postać: 2s a11 2 p x a12 2p = a y 13 2p a z 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a31 a32 a33 a34 a 41 h1 a 42 h2 . a 43 h3 a 44 h4 (38) Orbitale 2s i 2pz należą do reprezentacji A1. Pozostałe orbitale p należą do reprezentacji E. Orbitale atomowe odtworzymy z orbitali zhybrydyzowanych wykorzystując operatory rzutowe: φ1 = Pˆ ( a1 ) h1 = (h1 + h2 + h3 ) / 3 2s = (φ1 + φ2 / 3 ) 3 / 2 = (h1 + h2 + h3 + h4 ) / 2 ( a ) 2 p z = (−φ1 / 3 + φ2 ) 3 / 2 = (h4 − h1 / 3 − h2 / 3 − h3 / 3) 3 / 2 φ 2 = Pˆ 1 h4 = h4 φ1 = Pˆ (e ) h1 = (2h1 − h2 − h3 ) / 6 2 p x = (2h1 − h2 − h3 ) / 6 2 p y = (h2 − h3 ) / 2 φ 2' = Pˆ ( e ) h2 = (2h2 − h1 − h3 ) / 6 φ 2 = (h2 − h3 ) / 2 Po uwzględnieniu uzyskanych wyników, rów. 38 przyjmuje postać: 1/ 2 1/ 2 2s 1 / 2 2 p x 2 / 6 − 1/ 6 − 1/ 6 2p = 0 1/ 2 − 1/ 2 y 2 p − 3 / 6 − 3 / 6 − 3 / 6 z 1 / 2 h1 0 h2 . 0 h3 3 / 2 h4 (39) Odwrócenie tego równania prowadzi do: h1 1 / 2 2 / 6 h2 1 / 2 − 1 / 6 h = 1 / 2 − 1 / 6 3 h 1 / 2 0 4 0 1/ 2 − 1/ 2 0 − 3 / 6 2s − 3 / 6 2 px − 3 / 6 2 p y 3 / 2 2 p z (40) Przy wyprowadzeniu rów. 40 założono, że hybryd h1 leży na osi OX i równocenność energetyczną wszystkich orbitali zhybrydyzowanych (taki sam udział orbitalu 2s we wszystkich hybrydach). Hybryd h1 nakłada się z orbitalem 1s atomu H1; podobnie zachowują się hybrydy h2 i h3. Hybryd h4 przechodzi w orbital niewiążący (wolna para elektronowa). Diagram korelacyjny w opisie zlokalizowanym jest przedstawiony na rys. 5. Rysunek 5 Diagram korelacyjny w opisie zlokalizowanym Symetria drgań normalnych Z przedstawionych zastosowań teorii grup widać, że do opisu bardzo istotny jest wybór bazy. Drgania normalne to kolektywny ruch wszystkich atomów układu, przy czym środek masy układu nie zmienia swojego położenia. Dla prostoty opisu, lokalne układy współrzędnych zostały związane z każdym atomem. W ten sposób atomy mogą się przemieszczać w przestrzeni. Zbiór 3M (M – liczba atomów w układzie) wektorów jednostkowych napina bazę reprezentacji redukowalnej. Procedura określania symetrii drgań normalnych zostanie omówiona na przykładzie cząsteczki NH3. Ślady macierzy transformacji o wymiarze 12×12 mają następujące wartości: C3v Γ E 12 2C3 0 3σv 2 Reprezentację Γ rozkładamy na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych (rów. 29): Γ = 3 A1 ⊕ A2 ⊕ 4 E . (41) Konsekwencją przyjęcia lokalnych układów współrzędnych jako bazy reprezentacji jest włączenie do niej translacji (tr) i rotacji (rot) cząsteczki. W oparciu o tabelę charakterów grupy punktowej C3v możemy określić jak transformuje się wektor translacji: Γtr = A1 ⊕ E (42) i rotacji Γrot = A2 ⊕ E . (43) Po ich wykluczeniu z Γ dostaniemy reprezentację związaną wyłącznie z drganiami normalnymi (osc): Γosc = 2 A1 ⊕ 2 E . (44) W oparciu o tabelę charakterów możemy sprawdzić aktywność tych drgań w spektroskopii IR i Ramana. Dane drganie jest aktywne w spektroskopii IR jeżeli transformuje się tak jak „x”, „y” lub „z”. Milcząco założyliśmy, że wzbudzenie zachodzi z oscylacyjnego stanu 2 podstawowego ( φ0osc = N 0 e −αQ ) do pierwszego wzbudzonego stanu oscylacyjnego ( 2 φ1osc N1Qe−αQ ), gdzie Q jest współrzędną normalną. Przejście takie jest dozwolone gdy jedna z całek (moment przejscia): ∫ φ0 osc xφ1osc dτ , ∫ φ0 osc yφ1osc dτ lub ∫ φ0 osc zφ1osc dτ jest różna od zera. W cząsteczce amoniaku wszystkie drgania normalne są aktywne w widmie IR. W spektroskopii Ramana moment przejścia jest równy ∫ φ0 osc α ijφ1osc dτ , gdzie α ij (i, j = x, y, z ) jest składową tensora polaryzowalności. Składowe te transformują się jak odpowiednie formy kwadratowe (patrz ostatnia kolumna tabeli charakterów). W cząsteczce NH3 wszystkie drgania normalne są aktywne w widmie Ramana. Uproszczenie obliczeń Rozpatrzmy cząsteczkę benzenu w przybliżeniu π-elektronowym. Orbitale π otrzymuje się w wyniku rozwiązania zagadnienia własnego: Fˆπ ϕ j = e jϕ j , gdzie F̂π (45) jest operatorem Focka w przybliżeniu π-elektronowym. Przechodząc do reprezentacji macierzowej dostaje się układ równań sekularnych: Fπ C = SCe . (46) Macierz C grupuje współczynniki rozwinięcia orbitali molekularnych w bazie znanych funkcji atomowych. S jest macierzą całek nakładania, Fπ macierzą Focka w bazie orbitali atomowych (przybliżenie π elektronowe), a w diagonalnej macierzy e znajdują się energie orbitali π. Zakładając, że każdy atom węgla dysponuje jednym orbitalem atomowym, mogącym utworzyć wiązania π, każda z tych macierzy jest sześciowymiarowa. Cząsteczka benzenu należy do grupy punktowej D6h. Tabela charakterów tej grupy punktowej przedstawiona jest poniżej. D6h E 2C6 2C3 C2 3C2’ 3C2” i 2S3 2S6 σh 3σd 3σv A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A2g 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 B1g 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 B2g 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 E1g 2 1 -1 -2 0 0 2 1 -1 -2 0 0 E2g 2 -1 -1 2 0 0 2 -1 -1 2 0 0 A1u 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 A2u 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 B1u 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 B2u 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 E1u 2 1 -1 -2 0 0 -2 -1 1 2 0 0 E2u 2 -1 -1 2 0 0 -2 1 1 -2 0 0 Rysunek 6 Rz x2+y2,z2 Rx,Ry (xz,yz) x2+y2,xy z (x,y) Część a: schematyczne zaznaczenie niektórych elementów symetrii; część b orbitale atomowe biorące udział w tworzeniu orbitali molekularnych typu π. Na rys. 6a pokazano wybrane elementy symetrii. Z definicji, oś główna (C6) pokrywa się z osią z, jest prostopadła do płaszczyzny cząsteczki i przechodzi przez środek pierścienia aromatycznego. Osie właściwe wynikające z istnienia osi sześciokrotnej (C3 i C2) i osie niewłaściwe (S6, S3) leżą także na osi z. Pozostałe osie dwukrotne są zaznaczone na rysunku. Płaszczyzna σh pokrywa się z płaszczyzną cząsteczki. Jedną z płaszczyzn σd zaznaczono na rys. 6a. Płaszczyzny σv są położone pomiędzy płaszczyznami σd (połowią środki przeciwległych wiązań). Orbitale 2pz atomów węgla napinające bazę reprezentacji redukowalnej Γ są przedstawione na rys. 6b. Charaktery odpowiadające macierzowej reprezentacji operatorów symetrii w tej bazie są równe: D6h E 2C6 2C3 C2 3C’2 3C”2 i 2S3 2S6 σh 3σd 3σv Γ 6 0 0 0 0 -2 0 0 0 -6 2 0 W przeciwieństwie do orbitali 1s atomów wodoru z poprzednich przykładów, które były traktowane jak jednorodne kule, orbitale 2pz posiadają dwie gałęzie: dodatnią nad płaszczyzną i ujemną pod płaszczyzną, stąd w części przekształceń dochodzi do zmiany fazy (pojawiają się ujemne wartości charakterów). Po rozłożeniu reprezentacji Γ na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych otrzymujemy: Γ = A2u ⊕ E2u ⊕ E1g ⊕ B1g . (47) Kształt orbitali molekularnych uzyskujemy bezpośrednio po użyciu operatorów rzutowych: ϕ A2 u = N1 ( p z1 + p z2 + p z3 + p z4 + p z5 + p z6 ) ϕ B1 g ( = N 2 p z1 − p z2 + p z3 − p z4 + p z5 − p z6 ) (48) (49) ϕ1E2 u = N 3 (2 p z1 − p z2 − p z3 + 2 p z4 − p z5 − p z6 ) (50) ϕ 2E2u = N 4 ( p z2 − p z3 + p z5 − p z6 ) (51) ϕ1 1 g = N 5 (2 p z1 + p z2 − p z3 − 2 p z4 − p z5 + p z6 ) (52) ϕ 2 1g = N 6 ( p z2 + p z3 − p z5 − p z6 ) (53) E E Współczynniki normujące można znaleźć zakładając ortonormalność funkcji bazy, * ∫ 2 p zi 2 p z j dτ = δ ij . Przykład ten pokazuje, że w oparciu o teorię grup można określić ( )( ) kształt orbitali molekularnych bez konieczności wykonywania obliczeń kwantowochemicznych. Jest to możliwe ze względu na fakt, że orbitale 2pz atomów węgla były „równocenne” z uwagi na symetrię. Otrzymane funkcje diagonalizują macierz Focka. Energię orbitali π w cząsteczce benzenu oblicza się następująco: ( ) * e A2 u = ∫ ϕ A2 u Fˆπ ϕ A2 u dτ = = 1 p z1 + p z2 + p z3 + p z4 + p z5 + p z6 * Fˆπ p z1 + p z2 + p z3 + p z4 + p z5 + p z6 dτ ∫ 6 ( ) ( ) (54) Wartość energii orbitalnej można uzyskać po przyjęciu dodatkowych uproszczeń, np. stosując przybliżenie Hückla. W tym przybliżeniu zakłada się, że ∫ 2 p zi * Fˆπ 2 p zi dτ = α C a ( ∫ (2 p z ) Fˆπ (2 p z * i j )dτ = β CC . ) ( ) Druga z całek jest różna od zera tylko wtedy, gdy atomy i-ty i j-ty są połączone wiązaniem chemicznym. Przy tych założeniach energie orbitalne są równe: ea2 u = α C + 2 β CC (55) ee1 g = α C + β CC (56) ee2 u = α C − β CC (57) eb1 g = α C − 2 β CC (58) Kolejność energetyczną poziomów można ustalić, opierając się na regule węzłów. Zostało to zilustrowane na rys. 7. Rysunek 7 Diagram energetyczny wraz ze schematycznym przedstawieniem struktury węzłowej orbitali molekularnych w cząsteczce benzenu. W innych cząsteczkach aromatycznych np. naftalen, antracen atomy węgla tworzą rozłączne grupy. Postać orbitali otrzymuje się z rozwiązania równań wiekowych. Teoria grup pozwala zmniejszyć wymiar rozwiązywanych równań dzięki sprowadzeniu ich do blokowo diagonalnej postaci. Czytelnikowi pozostawiam doprowadzenie macierzy Focka dla cząsteczki antracenu w przybliżeniu π elektronowym do postać blokowo-diagonalnej pokazany na rys. 8. Wykorzystanie symetrii pozwala znacznie uprościć obliczenia. Zamiast diagonalizacji macierzy o wymiarze 14×14, diagonalizujemy macierze o mniejszych wymiarach. Rysunek 8. Blokowo diagonalna postać macierzy Focka dla cząsteczki antracenu w ramach przybliżenia πelektronowego.