Uwagi dotycz¡ce egzaminu Lista pyta«

Uwagi dotycz¡ce egzaminu
1. Egzamin obejmuje niemal wyª¡cznie materiaª drugiego semestru. Wyj¡tek stanowi zadanie 1. z analizy
matematycznej (jak zapowiadaªem na wykªadach).
2. Ka»demu pytaniu teoretycznemu towarzyszyª b¦dzie nieuci¡»liwy rachunkowo przykªad.
3. W ka»dym zestawie znajdowaªy si¦ b¦d¡ cztery pytania. Dwa z analizy matematycznej, jedno z rachunku
prawdopodobie«stwa i jedno ze statystyki matematycznej.
4. Warunkiem zdania egzaminu jest dostateczna odpowied¹ na ka»de z czterech pyta«. W przypadkach w¡tpliwych b¦d¦ bardziej szczegóªowo sprawdzaª minimum wiedzy z problematycznego dziaªu. W szczególno±ci
egzaminu nie zda osoba nie znaj¡ca wzorów na estymatory warto±ci oczekiwanej X i wariancji s2 , sb2 .
Oczywi±cie znajomo±¢ tych wzorów jest warunkiem koniecznym (a nie dostatecznym) zdania egzaminu.
5. Bezpo±rednio po zapoznaniu si¦ z zestawem mo»na raz go wymieni¢. Osoba, która wykorzysta t¦ mo»liwo±¢
b¦dzie mogªa otrzyma¢ z egzaminu najwy»ej ocen¦ dst. Niektóre pytania teoretyczne b¦d¡ si¦ powtarza¢
w zestawach, przykªady nie.
6. W czasie egzaminu dost¦pne b¦d¡ podstawowe wzory z rachunku ró»niczkowego i caªkowego (zamieszczone
ju» dawno na mojej stronie), lista wzorów statystycznych z mojej strony i tablice statystyczne. Korzystanie
z jakichkolwiek innych materiaªów b¦dzie zabronione.
7. Prosz¦ zabra¢ czysty papier na brudnopis i co± do pisania i rysowania (najlepiej oªówek). Po przygotowaniu
odpowiedzi (czas ok. 20 min.) b¦d¦ ustnie sprawdzaª wiedz¦ (ok. 10 min.). W sali egzaminacyjnej b¦d¡
przebywaªy zatem oprócz osoby zdaj¡cej, dwie osoby przygotowuj¡ce si¦ odpowiedzi.
8. Prosz¦ ustali¢ kolejno±¢ we wªasnym zakresie i dostarczy mi list¦ bezpo±rednio przed egzaminem w celu
jego usprawnienia. Osoby z dalszym miejsc listy mog¡ doliczy¢ do 8:00 ilo±¢ godzin równ¡ numerowi
podzielonemu przez pi¦¢ i przyj±¢ krótko przed tym czasem.
9. Przykªadowy zestaw (ze zmienionymi przykªadami) znajduje si¦ na ko«cu.
Lista pyta«
Analiza matematyczna
1. Omówi¢ zastosowanie pochodnej, drugiej pochodnej i granic funkcji jednej zmiennej do badania jej zmienno±ci i sporz¡dzenia wykresu. Zastosowa¢ do (dane w tabeli) ... .
2. Sformuªowa¢ twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci. Zastosowa¢ do wyznaczenia caªki ... .
3. Poda¢ twierdzenie o caªkowaniu przez podstawienie. Zastosowa¢ je do wyznaczenia caªki ... .
4. Caªka Riemanna i jej interpretacja geometryczna. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
(osi¡ Ox i prostymi pionowymi).
5. Sformuªowa¢ podstawowe twierdzenie rachunku (czyli wzór Newtona Leibniza). Wyznaczy¢ dan¡ caªk¦.
6. Jak deniuje si¦ caªki niewªa±ciwe? Obliczy¢ dan¡ caªk¦ niewªa±ciw¡.
7. Omówi¢ równania ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych i metody ich rozwi¡zywania. Rozwi¡za¢ ... .
8. Omówi¢ równania ró»niczkowe liniowe (jednorodne i niejednorodne) i metod¦ ich rozwi¡zywania. Na czym
polega metoda uzmienniania staªej. Rozwi¡za¢ ... .
9. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna
do liczebno±ci. Rozwi¡za¢.
10. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna
do kwadratu liczebno±ci. Rozwi¡za¢.
11. Pochodne cz¡stkowe. Denicja i sposób wyznaczania. Wyznaczy¢...
12. Pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du. Twierdzenie Schwarza o pochodnych mieszanych. Wyznaczy¢ ... .
13. Ró»niczka zupeªna funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ró»niczk¦ danej funkcji w danym punkcie i zastosowa¢ do obliczenia warto±ci przybli»onej ... .
14. Gradient i pochodna kierunkowa funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ... .
15. Wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczy¢ ... .
16. Caªki podwójne. Interpretacja geometryczna. Zamiana na caªki iterowane. Wyznaczy¢ ... .
17. Podstawienie biegunowe w caªce podwójnej. Wyznaczy¢ caªk¦ . . . .
Rachunek prawdopodobie«stwa
1. Co to jest przestrze« probabilistyczna, zdarzenie elementarne, zdarzenie i prawdopodobie«stwo. Okre±li¢
przestrze« probabilistyczn¡ i obliczy¢ prawdopodobie«stwo ... . (Równie» w prostych sytuacjach dla
niesko«czonych zbiorów).
2. Omówi¢ prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite i wzór Bayesa. Wyznaczy¢ ... .
3. Co to jest warto±¢ oczekiwana zmiennej losowej? Wyznaczy¢ warto±¢ oczekiwan¡ danej zmiennej losowej.
4. Co to jest wariancja zmiennej losowej? Wyznaczy¢ wariancj¦ danej zmiennej losowej.
5. Omówi¢ rozkªad dwumianowy (Bernoulliego). Zastosowa¢ w danym przykªadzie.
6. Omówi¢ rozkªad normalny. Naszkicowa¢ wykres funkcji g¦sto±ci rozkªadu N (0, 1) i zinterpretowa¢ na nim
prawdopodobie«stwa danych przedziaªów warto±ci zmiennej o tym rozkªadzie. Wyznaczy¢ je na podstawie
tablicy dystrybuanty.
7. Sformuªowa¢ twierdzenie graniczne Moivre'a-Laplace'a. Korzystaj¡c z tablic dystrybuanty rozkªadu normalnego N (0; 1) obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ prawdopodobie«stwa ... .
8. Jakie warunki musi speªnia¢ funkcja g¦sto±ci zmiennej losowej typu ci¡gªego? Wyznaczy¢ warto±¢ staªej A
tak, aby funkcja (zale»na od A) byªa funkcj¡ g¦sto±ci zmiennej losowej.
9. Co to jest dystrybuanta zmiennej losowej? Sporz¡dzi¢ wykres dystrybuanty zmiennej losowej o danym
rozkªadzie prawdopodobie«stwa.
10. Jak zmienia si¦ warto±¢ oczekiwana i wariancja zmiennych losowych przy przeksztaªceniach liniowych.
Na czym polega standaryzacja zmiennej losowej. Korzystaj¡c z tablicy dystrybuanty zmiennej losowej
o rozkªadzie N (0; 1) wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo pewnego przedziaªu dla zmiennej losowej o innym
rozkªadzie normalnym.
Statystyka matematyczna
1. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator warto±ci oczekiwanej rozkªadu? Z jakich statystyk korzystamy
przy budowie przedziaªów ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej.
2. W jakich sytuacjach przy budowie przedziaªów ufno±ci opieramy si¦ na rozkªadzie normalnym, a w jakich
na rozkªadzie t−Studenta? Wybra¢ wªa±ciwy wzór, gdy ... .
3. W jakich sytuacjach przy werykacji hipotez statystycznych opieramy si¦ na rozkªadzie normalnym, a w
jakich na rozkªadzie t−Studenta? Wybra¢ wªa±ciwy wzór, gdy ... .
4. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyki korzysta si¦ przy budowie
przedziaªów ufno±ci dla nieznanej wariancji. Wybra¢ wªa±ciwy wzór, próba jest maªa lub du»a i skorzysta¢
z wªa±ciwych tablic ... .
5. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyki korzysta si¦ przy
werykacji hipotez dla nieznanej wariancji. Wybra¢ wªa±ciwy wzór, próba jest maªa lub du»a i skorzysta¢
z wªa±ciwych tablic ... .
6. Jak¡ statystyk¦ wykorzystuje si¦ przy werykacji hipotezy o równo±ci warto±ci oczekiwanych dwóch populacji o rozkªadach normalnych gdy nie s¡ znane ich odchylenia standardowe i dysponuje si¦ wynikami maªych
prób (znane s¡ odchylenia standardowe lub próby s¡ du»e)? W jakich sytuacjach mo»na zastosowa¢ test
ró»nic?
7. Poda¢ denicj¦ wspóªczynnika korelacji i omówi¢ jego wªasno±ci.
8. Co to jest prosta regresji? Na czym polega metoda najmniejszych kwadratów?
9. Kwantyl rz¦du p. Jego zastosowanie przy werykacji hipotez statystycznych i budowie przedziaªów ufno±ci.
10. Co to jest poziom ufno±ci, a co poziom istotno±ci? Jak okre±la si¦ odpowiadaj¡ce im warto±ci krytyczne?
Odczyta¢ z tablic wªa±ciw¡ warto±¢ warto±¢ krytyczn¡, gdy werykujemy hipotez¦ ... .
Przykªadowy zestaw
1. Omówi¢ zastosowanie pochodnej, drugiej pochodnej i granic funkcji jednej zmiennej do badania jej zmienno±ci. Sporz¡dzi¢ wykres funkcji na podstawie nast¦puj¡cych informacji:
x
y0
y”
y
(−∞, 0)
−
+
0
0
+
0
(0, 2)
+
+
2
1
0
1
(2, ∞)
+
;
−
lim (f (x) + 2x + 2) = 0;
x→−∞
lim f (x) = 2.
x→+∞
2. Napisa¢ równanie ró»niczkowe zmienno±ci populacji gdy jej szybko±¢ wzrostu jest wprost proporcjonalna
do liczebno±ci. Rozwi¡za¢.
3. Omówi¢ rozkªad normalny. Naszkicowa¢ wykres funkcji g¦sto±ci rozkªadu N (0, 1) i zinterpretowa¢ na nim
prawdopodobie«stwa P (0, 25 < X < 0, 75), P (X > −0, 35), dla zmiennej X o tym rozkªadzie. Wyznaczy¢
je na podstawie tablicy dystrybuanty.
4. Jak¡ statystyk¦ przyjmuje si¦ za estymator wariancji. Z rozkªadu jakich statystyk korzysta si¦ przy werykacji hipotez dla nieznanej wariancji. Wskaza¢ wªa±ciwe wzory, gdy próba próba jest maªa lub du»a.
Zwerykowa¢ hipotez¦ H0 : σ 2 = 1 przeciwko alternatywnej H1 : σ 2 > 1, gdy 10−elementowa próba daªa
warto±¢ estymatora s2 = 1, 2. Przyj¡¢ poziom istotno±ci α = 0, 05.