GEO Zestaw nr 81009 Pula: 137 p.

GEO
Zestaw nr 81009
Pula: 137 p.
Informacje wst¦pne.
a) Przygotowa¢ 4 kartki papieru kserogracznego (A4) oraz jedn¡ kartk¦ papieru kratkowanego A5. Ponumerowa¢ strony na kartkach w taki
sposób, aby na ka»dej kartce numery stron byªy s¡siednie (stronom na kartce A5 nada¢ numery 9 i 10).
b) Ka»d¡ kartk¦ nale»y podpisa¢ na stronie nieparzystej w nagªówku nazwiskiem, imieniem oraz numerem niniejszego zestawu (zgodnie z
informacjami na stronie tytuªowej).
c) Je±li rozwi¡zanie zadania nie mie±ci si¦ w przewidzianym dla niego miejscu, nale»y je doko«czy¢ na dodatkowej, podpisanej kartce,
posiadaj¡cej w nagªówku informacj¦ "Doko«czenie rozwi¡zania ....." i przeznaczonej wyª¡cznie na doko«czenie tego rozwi¡zania.
UWAGA 1: niniejszy zestaw jest wªasno±ci¡ zdaj¡cego (nie trzeba doª¡cza¢ go do kartek z rozwi¡zaniami).
UWAGA 2: za niewªa±ciwy wygl¡d pracy (nieczytelne pismo, niewªa±ciwie rozmieszczone zadania na stronach, brak
podpisów na oddanych kartkach, itp.) | jak równie» za nieregulaminowe zachowanie si¦ na sprawdzianie | od
wyniku procentowego sprawdzianu odejmuje si¦ 5% za ka»de uchybienie.
1. (32 p.) A) (rozwi¡za¢ na str. 1) Wyznaczy¢ dokªadnie (w postaci kartezja«skiej) zespolone pierwiastki
równania x2 (15 + i)x + 52 + 15i = 0. B) (rozwi¡za¢ na str. 2) Dana jest liczba zespolona z = 4 i.
a) Wyznaczy¢ jej moduª (dokªadnie) oraz argument gªówny (w stopniach, minutach i sekundach, z dokªadno±ci¡ do jednej sekundy). b) Wyznaczy¢ moduª (z peªn¡ dokªadno±ci¡ kalkulatora) oraz argumenty
wszystkich pierwiastków trzeciego stopnia z liczby z (w stopniach, minutach i sekundach, z dokªadno±ci¡
do jednej sekundy). c) Wyznaczy¢ w postaci kartezja«skiej ten pierwiastek trzeciego stopnia z z , którego
cz¦±¢ rzeczywista jest dodatnia i cze±¢ urojona jest ujemna (obie cz¦±ci z dokªadno±ci¡ do czterech cyfr po
przecinku).
2. (56 p.) Dana jest funkcja w(x; y) = y2 x=2 oraz punkt A = ( 1; 11). a) (rozwi¡za¢ na str. 3) Obliczy¢
(dokªadnie) w(A); wx (A); wy (A). Wyznaczy¢ nierówno±¢ opisuj¡c¡ dopeªnienie dziedziny funkcji h danej
wzorem h(x; y) = 2 arcsin(w(x; y)). b) Na kartce kratkowanej A5 zorientowanej pionowo narysowa¢ ukªad
wspóªrz¦dnych XOY o zakresie na osi OX od 6 do 0 oraz o zakresie na osi OY od 16 do 7. Na obu
osiach jednostk¦ wyznacza zale»no±¢ 2 cm = 1 . Na ukªadzie zakreskowa¢ dopeªnienie dziedziny funkcji h
oraz zaznaczy¢ punkt A. c) (rozwi¡za¢ na str. 4) Wyznaczy¢ (dokªadnie) h(A); hx (A); hy (A) oraz wektor
gradientu dla funkcji h w punkcie A. Wyznaczy¢ (w stopniach, minutach i sekundach, z dokªadno±ci¡ do
sekundy) k¡t nachylenia powierzchni h do poziomu w punkcie A w kierunku wektora gradientu. d) (rozwi¡za¢
na str. 5) Wyznaczy¢ w postaci k¡ta nachylenia do osi OX na pªaszczy¹nie XOY dowolnie wybrany jeden
z dwóch kierunków (w radianach z zakresu 0 2, z peªn¡ dokªadno±ci¡ kalkulatora), dla których nachylenie
powierzchni h do poziomu w punkcie A wynosi 45 000 0000 . Dla powierzchni h napisa¢ równanie warstwicy
W przechodz¡cej przez punkt A. e) Na ukªadzie narysowa¢ warstwic¦ W oraz wektor gradientu wyznaczony
w c), zaczepiony w punkcie A.
0
3. (35 p.,
1 rozpocz¡¢ rozwi¡zanie na str. 7, mo»na kontynuowa¢ na str. 8) 2Dane3 s¡ funkcje f (s; t) =
t 2s
A
z )2 . a) Obliczy¢ f (1; 1) w postaci 64 B 75 (A; B; C s¡ liczbami
C
2
3
D E
6
0
caªkowitymi) oraz f (1; 1) w postaci 4 F G 75, gdzie staªe D; E; F; G; H; K s¡ liczbami caªkowitymi.
H K
1
0
b) Obliczy¢ g (f (1; 1)) w postaci 6 [T; U; V ], gdzie T; U; V s¡ liczbami caªkowitymi. c) Korzystaj¡c z a)
i b) oraz z wzoru na pochodn¡ funkcji zªo»onej obliczy¢ (g f )0 (1; 1) w postaci 13 [M; N ] (tzn., wyznaczy¢
liczby caªkowite M; N )
B
@
7s C
t3 A
t 2s
3s+4t
p
oraz g(x; y; z ) = 3 ( 6x + 7y
4. (14 p., rozwi¡za¢ na str.0 6) a) Równanie x2 = A ln(y + x) + B jest caªk¡ ogóln¡ pewnego równania ró»niczkowego postaci y00 = 1+xy F (x; y; y0 ). Wyznaczy¢ funkcj¦ F (a; b; c). Element kontroli: F (10; 3; 2) 0; 428571.