Prawdopodobienstwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA:
Reguły obliczania prawdopodobieństw
20 października 2015
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Reguły obliczania prawdopodobieństw
Regułami obliczania prawdopodobieństw nazywamy
następujące zasady i wzory.
1
Zasada dopełnienia: Jeśli Ac jest dopełnieniem zdarzenia
A, to
P(Ac ) = 1 − P(A).
2
Zasada dodawania: Jeśli zdarzenia A1 , A2 , . . . , An są
parami rozłączne (lub „wzajemnie wykluczają się”), to
P A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . + P(An ).
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Reguły obliczania prawdopodobieństw
3
Wzór łączeń-wyłączeń: Dla dowolnych zdarzeń
A1 , A2 , . . . , An ∈ F
P(
n
[
Aj ) =
j=1
n
X
P(Aj )
j=1
−
X
P(Ai ∩ Aj )
1¬i<j¬n
+
X
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak )
1¬i<j<k¬n
− . . . + (−1)n+1 P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ).
4
Zasada mnożenia: Jeśli A1 , A2 , . . . An są niezależne, to
P A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = P(A1 )P(A2 ) . . . P(An ).
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Reguły obliczania prawdopodobieństw
5
Ogólna zasada mnożenia: Jeśli P(A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An ) > 0,
to
P A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An =
P A1 A2 ∩ . . . ∩ An P(A2 A2 ∩ . . . ∩ An . . . P An−1 An ,
gdzie dla B, C ∈ F, P(C ) > 0,
P B C
=
P B ∩C
P C
jest prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B pod
warunkiem C .
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Reguły obliczania prawdopodobieństw
6
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: Jeśli
H1 , H2 , . . . , Hn ∈ F są parami rozłączne, możliwe (tzn.
P(Hj ) > 0 dla j = 1, 2, . . . , n) i wyczerpują przestrzeń
(tzn. H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω), to dla dowolnego
zdarzenia A ∈ F
P A = P AH1 P H1 +P AH2 P H2 +
. . . + P AHn P Hn .
7
Wzór Bayesa: Jeśli H1 , H2 , . . . , Hn są jak w (6) oraz
P(A) > 0, to dla każdego Hj prawdopodobieństwo
a posteriori jest dane przez
P
Hj A
= Pn
Prawdopodobieństwo i statystyka
P AHj P Hj
i=1 P AHi P Hi
.
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność układu
Definicja
Niezawodnością układu (lub elementu układu) nazywamy
prawdopodobieństwo zdarzenia, że układ (element układu)
funkcjonuje prawidłowo.
Zastosujemy reguły obliczania prawdopodobieństw w
obliczaniu niezawodności kilku systemów złożonych.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność układu szeregowego
Rozważmy następujący układ szeregowy.
R1
R2
R3
Obliczyć niezawodność RU układu, jeśli znane są
niezawodności R1 , R2 , R3 poszczególnych elementów.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność układu równoległego
Rozważmy następujący układ równoległy.
R1
R2
R3
Obliczyć niezawodność RU układu, jeśli znane są
niezawodności R1 , R2 , R3 poszczególnych elementów.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność układu szeregowo-równoległego
Rozważmy następujący układ szeregowo-równoległy.
R1
R2
R3
R4
Obliczyć niezawodność RU układu, jeśli znane są
niezawodności R1 , R2 , R3 , R4 poszczególnych elementów.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność mostka
Rozważmy następujący układ, nazywany czasami
„mostkiem”.
R1
R2
R5
R3
R4
Obliczyć niezawodność RU układu, jeśli znane są
niezawodności R1 , R2 , R3 , R4 , R5 poszczególnych
elementów.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw
Niezawodność mostka
Wskazówka: Niech Gi będzie zdarzeniem, że i-ty
element funkcjonuje właściwie.
Wtedy P(Gi ) = Ri i P(Gic ) = 1 − Ri .
Niech U będzie zdarzeniem, że cały układ funkcjonuje
poprawnie. Obliczyć P U G5 i P U G5c , a następnie zastosować
wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IIIA: Reguły obliczania prawdopodobieństw