instrukcja. - Politechnika Częstochowska

instrukcja. - Politechnika Częstochowska

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Instytut Maszyn Cieplnych
Optymalizacja Procesów Cieplnych
Ćwiczenie nr 3
„Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu
oraz grubości izolacji”
Częstochowa 2002
Optymalizacja Procesów Cieplnych
Ćwiczenie nr 3
Wstęp.
Ze względu na szczególną uwagę skierowaną obecnie na ekonomikę procesów technicznych, zagadnienia optymalizacji w technice cieplnej znajdują coraz szersze zastosowanie
a sama analiza optymalizacyjna jest nieodzownym elementem każdego procesu projektowego. Metody optymalizacyjne znajdują ponadto zastosowanie do analizy jakościowej
urządzeń i systemów pracujących w przemyśle od wielu lat, co do których istnieje podejrzenie, iż możliwe jest dokonanie poprawy sprawności tych urządzeń oraz ich ekonomiczności.
Podstawowym warunkiem bez którego nie da się prowadzić analizy optymalizacyjnej
jest dysponowanie matematycznym modelem - opisem analizowanego urządzenia czy
procesu. Dla silnie rozbudowanych i skomplikowanych układów często nie jest możliwe uzyskanie analitycznego modelu matematycznego, bez wprowadzania daleko idących
uproszczeń badanego systemu. Postęp technik komputerowych pozwala jednak na zastosowanie innych metod poszukiwania - formułowania modeli nawet złożonych układów i
prowadzenie ich analizy optymalizacyjnej.
1
Cel ćwiczenia.
Celem niniejszego ćwiczenia jest numeryczne wyznaczenie ekonomicznej średnicy rurociągu do przesyłania gorącej cieczy oraz optymalnej grubości izolacji rurociągu, z zastosowaniem metody „gradientu prostego”.
Uzyskanie postawionego celu wymaga sformułowania matematycznego opisu procesu funkcji kryterialnej oraz opracowania numerycznych procedur reprezentujących algorytm „gradientu prostego” i zastosowanie ich do sformułowanej funkcji kryterialnej.
2
Treść zadania.
Wyznaczyć ekonomiczną średnicę oraz grubość izolacji rurociągu do przesyłania gorącej
cieczy w ilości W [kg/s] o gęstości ρ [kg/m3 ] i lepkości µ [kg/m · s]. Rurociąg
pracował będzie w ruchu ciągłym przez τ lat. Cena jednego metra rurociągu (wraz
z armaturą, montażem i konstrukcją) zależy od zarówno od średnicy D rurociągu jak
również grubości ∆ izolacji i wynosi:
cr = A · (D+2δ+2∆)n
gdzie A i n są danymi wielkościami stałymi, natomiast δ jest grubością ścianki rurociągu. Zakłada się, że roczny koszt remontów i utrzymania rurociągu stanowi b% jego ceny.
Dana jest cena ce [zł /J ] energii elektrycznej zużytej do napędu pompy oraz sprawność
η zespołu pompa - silnik. Obliczenia przeprowadzić dla rurociągu o długości L [m] i
czasu T [lat].
1
Optymalizacja Procesów Cieplnych
3
Ćwiczenie nr 3
Sformułowanie funkcji kryterialnej.
W celu znalezienia optymalnej średnicy oraz grubości izolacji rurociągu należy sformułować funkcję kryterialną, której jedynymi niewiadomymi będą poszukiwane przez nas
parametry. Należy zatem sformułować zależność całkowitych kosztów sumarycznych K w funkcji poszukiwanej średnicy rurociągu D oraz grubości jego izolacji
∆.
Całkowite koszty przedstawiają się zatem następująco:
K = Ki + Ke + Kiz + Ken
(1)
gdzie:
Ki - koszty instalacji rurociągu, związana z zakupem armatury, montażem i konstrukcją
rurociągu,
Ke - koszty eksploatacji rurociągu, związany z kosztami energii potrzebnej do napędu
silnika pompy tłoczącej ciecz,
Kiz - koszt izolacji rurociągu, związany z zakupem materiału izolacyjnego
Ken - koszt strat energii cieplnej tłoczonego czynnika
3.1
Koszt instalacji rurociągu.
Na podstawie danych przedstawionych w treści zadania, koszty inwestycyjne można
wyrazić zależnością:
!
1
Ki =
+ (0.01 · b) A · (D+2δ+2∆)n [zł /m]
(2)
τ
gdzie:
τ - trwałość rurociągu,
b, A, n - współczynniki,
D - poszukiwana wewnętrzna średnica rurociągu,
∆ - poszukiwana grubość izolacji rurociągu,
2
Optymalizacja Procesów Cieplnych
3.2
Ćwiczenie nr 3
Koszt eksploatacji rurociągu.
Kolejnym składnikiem kosztów całkowitych K są koszty eksploatacyjne Ke zwiazane
z koniecznością tłoczenia czynnika w rurociągu a zatem koniecznością zakupu energii
elektrycznej potrzebnej do napędu silnika pompy. Koszty te można zatem wyrazić zależnością:
Ke =
ce · T · N
L
[zł /m]
(3)
gdzie:
ce - cena energii elektrycznej,
T - okres bilansowy,
N - moc silnika pompy,
L - długość rurociągu,
W zależności tej nie znana jest moc silnika N. Wielkość ta zależy m.in. od własności
fizycznych transportowanego płynu, od rodzaju ruchu jakim się porusza a także od stanu
(chropowatości) powierzchni wewnętrznej rurociągu. Wielkość ta wyznaczyć można z
zależności:
N =
∆P · W
η·ρ
[W ]
(4)
gdzie:
∆P - spadek ciśnienia płynu na długości 1 m rurociągu,
W - wydatek masowy płynu,
η - sprawność układu pompa - silnik,
ρ - gęstość czynnika,
Nieznany w równaniu (4) spadek ciśnienia ∆P płynu można wyznaczyć ze wzoru DarcyWeisbacha w postaci:
∆P = λ ·
L
D
·
U2
2
· ρ [Pa]
(5)
gdzie:
λ- współczynnik strat przepływu,
U - średnia prędkość liniowa przepływu,
3
Optymalizacja Procesów Cieplnych
Ćwiczenie nr 3
przy czym dla przewodów o przekroju kołowym jest:
U =
4·W
·
L
[m/s]
(6)
π · ρ D2
Niewiadomą wielkością w równaniu (5) jest ponadto współczynnik strat przepływu λ,
który zależny jest od liczby Reynolds’a Re:
λ = f (Re)
(7)
przy czym liczba Reynolds’a określona jest zależnością
Re =
D·U ·ρ
=
4·W L
(8)
µ
π·µ D
i jest wielkością charakteryzującą ruch tłoczonego czynnika.
Wynika stąd bezpośrednio, że współczynnik strat λ jest zależny od poszukiwanej wartości średnicy D rurociągu. Należy tutaj zwrócić szczególną uwagę na fakt, iż zależność
współczynnika λ od liczby Reynolds’a jest różna dla różnych wartości liczby Re. Z tego
stwierdzenia wynika zatem konieczność założenia charakteru przepływu i przyjęcia odpowiedniej postaci zależności (7)
Zakładając, że przepływ w rurociągu ma charakter turbulentny można przyjąć zależność
współczynnika λ od liczby Reynolds’a w postaci:
λ=
0.316
(9)
Re0.25
co pozwala ostatecznie zapisać równanie (3) z uwzględnieniem zależności (4) ÷ (6) oraz
(8) i (9) w postaci:
Ke =
3.3
8 · 8, 76 · ce · T · W 3
π2
·
ρ2
·η
·
D5
·
0.316
0.25
(10)
4·W
π·µ·D
Koszty izolacji.
Koszty te związane są jedynie z wydatkami ponoszonymi na zakup materiału izolacyjnego, zatem odniesione do jednego metra długości rurociągu można opisać zależnością:
Kiz = M ·
F ·L
L
·
1
τ
=M·
1
τ
·
πh
4
(D + 2δ + 2∆)2 − (D + 2δ)2
i
(11)
gdzie:
F - pole przekroju warstwy izolacyjnej,
M - cena 1 m3 materiału izolacyjnego [zł /m3 ],
∆ - poszukiwana grubość warstwy izolacyjnej,
4
Optymalizacja Procesów Cieplnych
3.4
Ćwiczenie nr 3
Koszty strat energii.
Efektem różnicy temperatur pomiędzy otoczeniem i czynnikiem płynącym w rurociągu
jest wymiana ciepła pomiędzy nimi, która powoduje powstawanie strat energii cieplnej
podczas transportu czynnika w rurociągu. Koszt traconej energii cieplnej zależy od ilości
oddawanego do otoczenia ciepła i jej ceny. Zatem koszt strat energii Ken można wyrazić
zależnością:
Ken = de · Q [zł /m]
(12)
gdzie:
de - cena energii cieplnej
Powstaje jednak pytanie, w jaki sposób wyznaczyć strumień ciepła przenikający przez
ścianę rurociągu oraz izolację. Wiadomo, że zależy on od różnicy temperatur pomiędzy
ośrodkami a także od rodzaju materiału przez który następuje przewodzenie ciepła. W
ogólnym przypadku, dla przewodów o przekroju kołowym, strumień ciepła opisany jest
związkiem:
Q̇ =
Q
∆τ
= k · π · (tw − tz ) [W/m]
(13)
gdzie:
Q̇ - strumień przekazywanego ciepła,
Q - ciepło,
∆τ - przyrost jednostkowy czasu,
tw - temperatura czynnika cieplejszego (wewnątrz rurociągu),
tz - temperatura czynnika chłodniejszego (otoczenia),
k - współczynnik przenikania ciepła,
Proces przenikania ciepła, a zatem i postać współczynnika przenikania ciepła zależy od
ilości przegród przez które następuje wymiana ciepła. Dla prostego przypadku z jedną
przegrodą, przenikanie ciepła składa się z wnikania ciepła na styku czynnika cieplejszego
i przegrody, przewodzenia ciepła w przegrodzie i wnikania ciepła na styku przegrody i
czynnika chłodniejszego. W sytuacji bardziej złożonej, w której mamy do czynienia z
większą liczbą przegród o różnych właściwościach fizycznych mamy równierz do czynienia ze zjawiskiem wnikania ciepła na styku sąsiadujących przegród.
Pomijając jednak dla uproszczenia zjawiska zachodzące na styku przegród, w naszym
przypadku materiału rury oraz izolacji, można zapisać współczynnik przenikania ciepła
k w następującej postaci:
5
Optymalizacja Procesów Cieplnych
1
k
=
1
αw dw1
+
Ćwiczenie nr 3
i=N
X
ln(dzi /dwi )
i=1
2λi
+
1
(14)
αz dzN
gdzie:
αw - współczynnik wnikania ciepła (czynnik cieplejszy −→ ścianka rury),
αz - współczynnik wnikania ciepła (izolacja −→ powietrze),
λi - współczynnik przewodzenia ciepła i -tej warstwy,
dwi - średnica wewnętrzna i -tej warstwy,
dzi - średnica zewnętrzna i -tej warstwy,
N - liczba warstw przegrody,
3.5
Koszty całkowite.
Przedstawione powyżej związki pozwalają na zapisanie funkcji kryterialnej opisującej
zależnośc całkowitych kosztów tylko od poszukiwanych wielkości średnicy rurociągu
D oraz grubości izolacji ∆. Zależność ta przedstawia się następująco:
K = f (D, ∆) =
=
1
τ
+ (0.01 · b) · A · (D+2δ+2∆)n +
8·8.76·ce ·T ·W 3
π 2 ρ2 η
0.316
·
D5
4·W
π·µD
0.25 +
+ π4 (D + 2δ + 2∆)2 − (D + 2δ)2 · M · τ1 +
1
D+2δ+2∆
+ π · (tw − tz ) · Ts · de / αw1D + 2λ1 s ln D+2δ
+
ln
+
D
2λiz
D+2δ
(15)
1
αz (D+2δ+2∆)
Powyższe wyrażenie stanowi funkcję kryterialną, dla której - w celu wyznaczenia optymalnych wartości średnicy rurociągu i grubości izolacji - poszukuje się minimum bezwarunkowego, tzn.:
(
X
D = Dopt
min(K =
Ki ) ⇒
(16)
∆ = ∆opt
6
Optymalizacja Procesów Cieplnych
4
Ćwiczenie nr 3
Metoda rozwiązania.
Sformułowana w punkcie 3 funkcja kryterialna (15) umożliwia zastosowanie algorytmów
optymalizacyjnych, które dla prostych funkcji kryterialnych nie wymagają stosowania
narzędzi komputerowych. Algorytmy te dają się jednak zapisać w postaci kodu numerycznego przez co pozwalają uzyskiwać rozwiązania znacznie szybciej. Do tego typu
funkcji kryterialnej (15) można np. zastosować metodę Gradientu prostego, która ze
względu na swoją prostotę bardzo łatwo daje się zapisać w postaci kodu numerycznego
a jednocześnie pozwala szybko uzyskać rozwiązanie.
~ poszukiwania minimum, któMetoda Gradientu prostego wykorzystuje kierunek K
rym jest kierunek ujemnego gradientu funkcji S
~ = −G
~
K
(17)
natomiast w przypadku poszukiwania maksimum obowiązuje zasada
~ =G
~
K
(18)
~
przy czym stały jest krok L z jakim poruszamy się w kierunku K.
Rysunek 1: Zasada metody gradientu prostego.
Algorytm tej metody można przedstawić w postaci kolejnych kroków:
1. Przyjąć punkt początkowy Yi oraz długość kroku l
Di Yi = ∆i (19)
2. Wyznaczyć wartość gradientu funkcji kryterialnej S w punkcie Yi
7
Optymalizacja Procesów Cieplnych
Ćwiczenie nr 3
∂S Gi =
∂Y G
Gi = iD
Gi∆
(20)
Yi
∂S ∂Y Yi
= ∂S
∂D
∂S
∂∆
(Di ,∆i )
3. Wyznaczyć wartość kierunku poszukiwań Ki
min(S) =⇒ Ki = −Gi
lub
max(S) =⇒ Ki = Gi
(21)
4. Wyznaczyć nową wartość Yi+1
Yi+1 = Yi + l · Ki
(22)
|S(Yi+1 ) − S(Yi )| < (23)
5. Sprawdzić czy:
Algorytm powtarza się dopóki warunek (23) nie jest spełniony, przyjmując w kolejnej
iteracji punkt Yi+1 jako punkt początkowy.
5
Różniczkowanie numeryczne.
~ funkcji kryterialnej S w punkcie Yi skoW celu numerycznego wyznaczenia gradientu G
rzystać można z definicji pochodnej tzn. ilorazu różnicowego. Dla funkcji
dwóch zmien Di przedstawia się
nych zależność opisująca pochodną funkcji S w punkcie Yi = ∆i następująco:
∂S(D, ∆) S(Di + h, ∆i ) − S(Di , ∆i )
=
∂D
h
(Di ,∆i )
(24)
∂S(D, ∆) ∂∆
=
S(Di , ∆i + h) − S(Di , ∆i )
(Di ,∆i )
h
gdzie h stanowi krok numerycznego całkowania
8
Optymalizacja Procesów Cieplnych
6
Ćwiczenie nr 3
Dane do zadania.
τ = 10 lat - trwałość rurociągu
n = 1.03 - współczynnik
A = 1040 - współczynnik
b = 5 % - współczynnik
de = 36, 33 · 10−9 [zł /J ] - cena energii cieplnej
T = 1 rok - okres bilansowy
L = 1 m - długość rurociągu
Ts = 3.1536 · 107 · T [s] - okres bilansowy
W = 1000 [kg/s] - wydatek masowy przepływu
ρ = 958 [kg/m3 ] - gęstość tłoczonego płynu
η = 0.6 - sprawność układu pompa - silnik
µ = 2.8 · 10−4 [P a · s] - dynamiczny współczynnik lepkości płynu
δ = 0.015 [m] - grubość ścianki rurociągu
M = 250 [zł /m3 ] - cena materiału izolacyjnego
tw = 100 [◦ C] - temperatura tłoczonego płynu
tz = 10 [◦ C] - temperatura otoczenia
ce = 0.4 [zł /kW h] - cena energii elektrycznej
αw = 928 [W/m2 K] - współczynnik wnikania ciepła (płyn → rurociąg)
αz = 4.6 [W/m2 K] - współczynnik wnikania ciepła (izolacja → otoczenie)
λs = 52 [W/mK] - współczynnik przewodzenia ciepła w stali
λiz = 0.034 [W/mK] - współczynnik przewodzenia ciepła w izolacji
9