N - main5.amu.edu.pl

Uniwersytet Jagielloński, Kraków, 10 kwietnia 2008
Przestrzeń funkcji
analitycznych
zmiennej rzeczywistej
i operatory
różniczkowe
PaweÃl Domański
Uniwersytet Adama Mickiewicza w Poznaniu
1
PrzykÃlady zagadnień:
• Istnienie rozwia̧zań (globalnych) liniowego
równania różniczkowego cza̧stkowego:
P (D)u = f,
dla f ∈ A (Ω), Ω ⊂ Rd
(Hörmander 1973, Langenbruch 2000)
• Domkniȩtość obrazu/otwartość operatora
kompozycji
Cϕ : A (M ) → A (N ),
Cϕ(f ) = f ◦ ϕ
(D.-Langenbruch 2003/05/06)
[ problem dla Cϕ : C ∞(M ) → C ∞(N ):
Glaeser, Bierstone, Milman i PawÃlucki ]
• Analityczna zależność od parametru rozwia̧zań liniowego równania różniczkowego
cza̧stkowego w przestrzeni funkcji gÃladkich,
dystrybucji itp.
(Browder 1962, D. 200?)
2
Przestrzeń funkcji analitycznych zmiennej
rzeczywistej: “the space of real analytic
functions”
A (Ω) := {f : Ω → C : f analityczna}
Ω ⊆ Rd otwarty
zbieżność:
fn → f
w
A (Ω) ⇔
∀ x ∈ Ω ∃ U ⊆ Cd otoczenie x : fn|U ⇒ f |U
cia̧gÃle odwzorowania obciȩcia:
R
r
H(U ) −→ A (Ω) −→ H(K)
zwarty K ⊆ Ω = Rd ∩ U ⊆ U otwarty w Cd
H(U ) – topologia zwarto otwarta
S
H(K) = n H ∞(Un) – naturalna topologia sumy
= granica induktywna
(Un baza otoczeń otwartych K w Cd)
3
(Martineau 1966): Istnieje dokÃladnie jedna taka
topologia na A (Ω).
Normy cia̧gÃle:
∀ ω b Ω ⊆ R, ∀ β = (βn) % +∞
|f (n)(x)|
kf kω,β := sup sup
x∈ω n∈N n!β1 · · · · · βn
WÃlasności przestrzeni A (Ω):
• lokalnie wypukÃla algebra topologiczna;
• ośrodkowa – wielomiany sa̧ cia̧gowo gȩste;
• zupeÃlna;
• nie metryzowalna ani dualna do przestrzeni
metryzowalnej;
• nuklearna, normy hilbertowskie;
• ma wÃlasność aproksymacji;
• Montela tj. zbiory ograniczone sa̧ zwarte;
0 , X
• PLN przestrzeń tj. projN ∈N XN
N nuklearne przestrzenie metryzowalne zupeÃlne
T S
— ma strukturȩ postaci: “ N n YN,n”.
4
Struktura PLN-przestrzeni:
K1 b K2 b · · · b Ω ⊂
Rd,
[
KN = Ω
(UN,m)m∈N baza Cd-otoczeń zbioru KN .
A (Ω) = “
\
H(KN )” = “


y
...


y
H(KN ) . . .


y
\[
N n


y
←−−
H ∞ (UN,n+1)


y
H ∞(UN,n)”


y
←−−
H ∞(UN,n )


y
←−− . . .
H(KN −1 ) . . . ←−− H ∞ (UN −1,n+1 ) ←−− H ∞ (UN −1,n ) ←−− . . .






y
y
y
...
...
...
Inne przykÃlady: D 0(Ω), H(U ), C ∞(Ω), podprzestrzenie domkniȩte
5
Przestrzeń dualna:
reprezentacja via transformata Fouriera:
S
Ω ⊆ Rd wypukÃly, K1 b K2 b · · · b Ω, Ω = KN
A (Ω)0 = {f ∈ H(Cd) : ∃ N ∀ n : kf k∗N,n < ∞}
Ã
kf k∗N,n := sup |f (z)| exp −hN (Im z) −
z∈Cd
hN (x) := sup hy, xi,
y∈KN
|z|
n
!
x ∈ Rd
Twierdzenie: (Bonet-D. 2006/07)
Przestrzeń A (Ω) = projN ∈N H(KN ) dla dowolnego Ω ⊆ Rd speÃlnia dualne oszacowanie interpolacyjne (DOI) dla maÃlych θ (”silne twierdzenie Hadamarda o trzech koÃlach”)
∀ N ∃ M ∀ K ∃ n ∀ m ∃ θ0 ∀ θ ∈ (0, θ0) ∃ k, C
∀ x ∈ H(KN
)0
kxk∗M,m
≤C
³
´θ ³
´1−θ
∗
∗
.
kxkN,n · kxkK,k
6
Wnioski:
1) Tw. o domkniȩtym wykresie zachodzi dla
operatorów:
T : A (Ω) → PLN
2) Tw. o odwzorowaniu otwartym zachodzi
dla operatorów:
T : PLN → A (Ω)
3) (D.-Vogt 2000) DopeÃlnialne podprzestrzenie metryzowalne w A (Ω) sa̧ skończenie wymiarowe.
4) (D.-Vogt 2000) Przestrzeń A (Ω) nie ma
bazy tj. nie istnieje cia̧g (fn) ⊂ A (Ω) taki,
że dla każdego g ∈ A (Ω) istnieje jednoznaczne
przedstawienie:
g=
X
anfn
n∈N
7
Analityczna zależność rozwia̧zań pde od
parametru:
Liniowy pdo ze staÃlymi wspóÃlczynnikami:
P (D) : D 0(Ω) → D 0(Ω)
fλ ∈ D 0(Ω) zależy od λ ∈ U analitycznie.
U ⊆ Rn otwarty,
Ω ⊆ Rd wypukÃly, otwarty
Czy istnieje uλ ∈ D 0(Ω) zależne analitycznie od
λ ∈ U:
P (D)uλ = fλ,
∀λ ∈ U ?
PrzykÃlad: λ ∈ R
fλ(x) :=
1
1 + λ2
³P
d
2
x
i=1 i
´
Def. fλ zależy analitycznie od λ:
∀ϕ ∈ D (Ω) :
λ 7→ hfλ, ϕi
dla fλ z przykÃladu: hfλ, ϕi =
R
analityczna
fλ(x)ϕ(x)dx
8
Interpretacja problemu:
{U 3 λ7→fλ ∈ Z} ↔
|
{z
analityczne
}
n
o
0
S : A (U ) → Z
|
{z
}
liniowe, cia̧gÃle
S(δλ) := fλ
Analityczna zależność od parametru ⇔ istnieje
podniesienie
W : A (U )0 → Y,
T ◦W =S
w diagramie:
T
Y −−−→
Z
x

S

surjekcja
A (U )0
9
Twierdzenie o podnoszeniu: (D. 200?)
Niech Y , Z PLN-przestrzenie i T jest surjekcja̧:
T
Y −−−→
Z
x

S

A (U )0.
Jeśli X = ker T speÃlnia DOI dla maÃlych θ to
każde S ma podniesienie W : A (U )0 → Y .
Jeśli Y = D 0(Ω) lub T = P (D) : C ∞ → C ∞
eliptyczny, to zachodzi implikacja przeciwna.
Elementy dowodu:
• Algebra homologiczna (znikanie grupy kohomologii);
• Teoria przestrzeni lokalnie wypukÃlych (argument typu
tw. o odwzorowaniu otwartym);
• Teoria przestrzeni Banacha (twierdzenie spektralne dla
nieograniczonych operatorów);
• Teoria funkcji (konstrukcja specjalnej funkcji analitycznej.
10
Jak sprawdzić DOI dla X = ker P (D)?
Transformata Fouriera:
F (ϕ)(z) := hϕ(·), exp (−ihz, ·i)i ;
Tw. Paley-Wienera: Ω wypukÃly
F
D (Ω) ↔ {f ∈ H(Cd) : ∃ N ∀ n : kf k∗N,n < ∞}
2
kf k∗N,n := sup |f (z)|e(−hN (Im z)+n log(1+|z| ))
z∈Cd
hN (x) := sup hy, xi,
y∈KN
x ∈ Rd
“Ehrenpreis-Palamodov Fundamental Principle”: dla nieredukowalnych P , Ω wypukÃle
F
(ker P (D))∗ ↔ {f ∈ H(V ) : ∃N ∀n kf k∗N,n < ∞}
V = {z : P (−z) = 0},
P (z) =
X
α
P (D) :=
X
α
aα
∂
−|α|
i
aαz α,
|α|
0 (Ω) → D 0 (Ω)
:
D
∂xα
11
Operator P (D) ma analityczna̧ zależność rozwia̧zań od parametru, gdy dla każdego (fλ) ⊂
D 0(Ω) zależa̧cego analitycznie od λ ∈ U ⊂ Rn
istnieje (uλ) ⊂ D 0(Ω) zależa̧cy analitycznie od
λ taki, że
P (D)uλ = fλ
∀λ ∈ U
12
Twierdzenie (D. 200?)
Niech Ω ⊆ Rd wypukÃly i P (D) liniowy operator różniczkowy o staÃlych wspóÃlczynnikach.
Wówczas P (D) ma analityczna̧ zależność rozwia̧zań od parametru, gdy:
• P (D) eliptyczny nigdy;
• P (D) dwóch zmiennych ⇔ P hyperboliczny;
• P (D) drugiego rzȩdu, Ω = Rd, ⇔ istnieje
rzeczywista odwracalna zamiana zmiennych taka,
że P jest postaci:
µ(∂1 − a1)2 + c
lub

µ
r
X
j=1
(∂j − aj
)2
−
s−1
X

(∂j − aj )2 + λi∂s + c
j=r+1
dla µ, c, aj ∈ C, λ ∈ R, 1 ≤ r < s − 1;
• P jednorodny ⇔ P (D) ma liniowy cia̧gÃly prawy
odwrotny;
• Ω ograniczony o brzegu klasy C 1, P jednorodny ⇔ P (D) jest proporcjonalny do zÃlożenia
kilku pochodnych kierunkowych.
13
Analityczna zależność rozwia̧zań równania
od parametru:
PrzykÃlady negatywne dla dowolnego Ω:
• Laplace’a ∆;
• przewodnictwa cieplnego ut − ∆xu;
• Schrödingera iut + ∆xu;
• Airy’ego ut + uxxx;
PrzykÃlady zależne od zbioru Ω:
• falowe utt − ∆xu dla n > 1 wspóÃlrzȩdnych
przestrzennych:
pozytywne dla Ω = Rn+1,
negatywne dla Ω otwartego, ograniczonego o
brzegu C 1;
PrzykÃlady pozytywne dla dowolnego Ω:
• falowe utt−uxx dla jednej zmiennej przestrzennej;
14
Uwagi o dowodzie:
1. (algebra homologiczna): tÃlumaczenie na
znikanie grup kohomologii = Proj1 funktor dla
spektrum projektywnego L(A (U )0, ker T );
Proj1 L(A (U )0, ker T )) :=


Y
,
L(H(KN )0, XN )
Im Σ
N ∈N
Σ:
Y
L(H(KN )0, XN )
N ∈N
¡
→
Y
L(H(KN ), XN )
N ∈N
¢
µ
³
+1
N +1
Σ (zN )N ∈N := iN
◦
(z
)
◦
r
N
+1
N
N
A (U ) = proj H(KN ),
N ∈N
ker T = X = proj XN ,
N ∈N
´0
¶
− zN
N +1
rN
: H(KN +1) → H(KN )
+1
iN
: XN +1 → XN
N
15
Uwagi o dowodzie:
2. (teoria przestrzeni lokalnie wypukÃlych): techniczny argument typu twierdzenia o odwzorowaniu otwartym daja̧cy inkluzjȩ miȩdzy kulami
jednostkowymi różnych przestrzeni Banacha operatorów: L(H ∞(VN,n)0, XN,n) + warunek Langenbrucha 2004;
Konieczność:
∀ N ∃ M ∀ K ∃ n ∀ m ∃ k, C
B(H ∞(VM,m)0, XM,m) ⊆
⊆C
³
B(H ∞(VN,n)0, XN,n) + B(H ∞(VK,k )0, XK,k )
Dostateczność: (Langenbruch 2004)
∀ N ∃ M ∀ K ∃ n ∀ m, ε > 0 ∃ k, C
B(H ∞(VM,m)0, XM,m) ⊆
⊆ εB(H ∞(VN,n)0, XN,n) + CB(H ∞(VK,k )0, XK,k )
16
´
Uwagi o dowodzie:
3. (teoria przestrzeni Banacha): tÃlumaczenie
na oszacowania dla elementarnych tensorów
0 , g ∈ H(K )0 przez twierdzenie
x ⊗ g, x ∈ XN
N
spektralne dla nieograniczonych operatorów i
interpolacjȩ operatorów na przestrzeniach Hilberta.
∀ N ∃ M ∀ K ∃ n ∀ m, ε > 0 ∃ k, C
0 ∀ g ∈ H(L )0 :
∀ x ∈ XN
N
kxk∗M,mkgk∗M,m ≤ εkxk∗N,nkgk∗N,n +Ckxk∗K,k kgk∗K,k
Dostateczność via teoria spektralna:
0 ⊗H(L
0
ˆ
∀ z ∈ XN
N) :
kzkX 0
0
ˆ
M,m ⊗H(VM,m )
≤ εkzkX 0
≤
0
ˆ
N,n ⊗H(VN,n )
+ CkzkX 0 ⊗H(V
0
ˆ
K,k )
K,k
17
Uwagi o dowodzie:
4. (teoria funkcji): konstrukcja specjalnych
funkcji g.
A (U )
compl
⊇
A (R),
A (R) = proj H(LN )
N ∈N
LN przedziaÃl
u, v ∈ H(LN )0 = H0(C∗ \ LN )
kuk∗K,k < kuk∗M,m < kuk∗N,n = 1
1=
kvk∗N,n
<
³
´1−θ
∗
kvkK,k
Zastosuj do g = uj , v j ,
< kvk∗M,m < kvk∗K,k
j∈N
Koniec dowodu “twierdzenia o podnoszeniu”!
18