Właściwości optyczne półprzewodników polimerowych

II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
S5 - WŁAŚCIWOŚCI OPTYCZNE POLIMERÓW
SPRZĘŻONYCH
Polimery sprzężone
Polimery sprzężone to nowa klasa materiałów, które znajdują zastosowanie w
nowoczesnych urządzeniach elektronicznych. Ich unikalną cechą jest łączenie w sobie
właściwości opto-elektronicznych typowych dla materiałów półprzewodnikowych z
elastycznością i wytrzymałością typową dla polimerów. Nie bez znaczenia jest również fakt,
że metody wytwarzania urządzeń bazujących na półprzewodnikach polimerowych nie są tak
energochłonne jak technologie przetwarzania półprzewodników nieorganicznych.
Wykorzystuje się tu fakt, że polimery sprzężone w przeciwieństwie do krzemu można
rozpuścić bez zmiany ich stanu chemicznego. Pozycja półprzewodników nieorganicznych
jako podstawowych materiałów do produkcji szybkich układów elektronicznych takich jak
procesory czy pamięci wydaje się być na razie nie zagrożona, z uwagi na lepszą parametry
przełączania co związane jest z dużo wyższą ruchliwością nośników ładunków. Postęp w
dziedzinie syntezy polimerowych związków półprzewodnikowych rozpuszczających się w
rozpuszczalnikach organicznych sprawia, że realną staje się możliwość wykorzystania np.
druku atramentowego czy też druku offsetowego do masowej produkcji tanich podzespołów
elektronicznych. Przewiduje się, że całkowicie plastikowe układy opanują rynek
wielkoformatowych ekranów, urządzeń jednorazowego użytku takich jak znaczniki RFID,
czy też lekkich i elastycznych ogniw słonecznych, już w niedalekiej przyszłości.
Pionierami w dziedzinie syntezy i wykorzystania polimerowych półprzewodników
byli Allan J. Heeger, Allan G. MacDiarmid i Hideki Shirakawa, których w 2000
uhonorowano Nagrodą Nobla w dziedzinie chemii. Początkowo trudno było przypuszczać, że
półprzewodniki polimerowe będą mogły być wykorzystywane w praktyce na szerszą skalę.
Poliacetylen, uznawany za historycznie pierwszy polimerowy półprzewodnik
charakteryzował się wysokim przewodnictwem w stanie domieszkowanym, ale również małą
odpornością na warunki zewnętrzne, był kruchy i w żaden sposób nie można go było
przetwarzać.
a)
n
b)
S
S
S
c)
S
d)
n
Rysunek 1.
n
n
Przykładu struktur wybranych polimerów sprzężonych: a) poliacetylen, b)
politiofen, c) polifenylen, d) polifenylenowinylen.
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
1
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
Właściwości elektryczne jak i mechaniczne poliacetylenu są pochodną jego struktury,
która przedstawiona jest na Rysunku 1a). Polimer ten zbudowany jest z atomów węgla (oraz
wodoru, niepokazanych na rysunku) połączonych ze sobą naprzemiennie wiązaniami
pojedynczymi i podwójnymi tzw. wiązaniami sprzężonymi. Taki układ wiązań jest typowy
dla wszystkich polimerów o właściwościach półprzewodnikowych (Rysunek 1), nazywanych
też polimerami/makrocząsteczkami sprzężonymi. Naprzemienne ułożenie wiązań
wielokrotnych i pojedynczych w cząsteczce powoduje, że część elektronów jest
zdelokalizowana podobnie jak w przypadku benzenu (Rysunek 2). Elektrony te, nazywane
elektronami typu  mogą brać udział w transporcie ładunku wzdłuż łańcucha polimerowego,
podobnie jak ma to miejsce w graficie, alotropowej odmianie węgla, który jest dobrym
przewodnikiem prądu elektrycznego.
lub
Rysunek 2. Wzór strukturalny cząsteczki benzenu.
Obecność w łańcuchu wiązań wielokrotnych powoduje znaczne usztywnienie całej
cząsteczki, co z technologicznego punktu widzenia jest bardzo niekorzystne, ponieważ
związki takie są nierozpuszczalne lub bardzo słabo rozpuszczalne i trudno je również
przetwarzać w podwyższonej temperaturze. Aby poprawić rozpuszczalność polimerów
sprzężonych oraz zwiększyć ich elastyczność do łańcuchów głównych dodaje się grupy
boczne, którymi najczęściej są łańcuchy alkilowe. Przykładem mogą być tutaj
polifenylenowinylen (PPV) (Rysunek 1d)) i jego pochodna MEH-PPV (Rysunek 3a)) czy też
politiofen (Rysunek 1b)) i cała rodzina poli(3-alkilo tiofenów) (Rysunek 3b)). Dodatkowe
łańcuchy boczne mają niewielki wpływ na właściwości elektryczne i optyczne pojedynczych
makrocząsteczek ale wpływają one na ogół niekorzystnie na przewodnictwo polimerów w
stanie stałym. Dzieje się tak dlatego, że grupy boczne podstawiane w miejsce wybranych
atomów wodoru w niewielkim stopniu modyfikują strukturę elektronową łańcucha głównego,
ale w sposób istotny zmieniają wzajemne oddziaływania łańcuchów w stanie stałym choćby
poprzez zwiększenie odległości między nimi, co utrudnia przeskok elektronów.
a)
b)
n
O
H3C
O
R
n
R=CmH2m+1
Rysunek 3. Wzory strukturalne wybranych pochodnych polimerów sprzężonych: a) MEHPPV, b) poli(3-alkilo tiofeny).
Dodawanie grup bocznych do łańcuchów głównych to nie jedyna metoda modyfikacji
właściwości polimerów sprzężonych. Można w łatwy sposób tworzyć makrocząsteczki, w
których łańcuch główny jest zbudowany z różnych segmentów. Różnorodność polimerów
półprzewodnikowych sprawia, że mogą być stosowane do budowy różnych urządzeń
elektronicznych np. tranzystorów, układów scalonych, diod świecących czy też ogniw
słonecznych.
Struktura elektronowa polimerów sprzężonych
Atomy węgla w cząsteczkach mogą tworzyć wiązania pojedyncze, podwójne i
potrójne jak np. w cząsteczkach etanu, etenu oraz etynu (acetylenu), które przedstawiono na
Rysunku 4. Aby zrozumieć strukturę wiązań między atomami węgla w takich cząsteczkach
wprowadza się model hybrydyzacji orbitali s i p, w myśl którego w wiązaniach nie
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
2
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
uczestniczą czyste orbitale atomowe np. orbitale typu p ale orbitale mieszane będące
kombinacją (hybrydą) orbitali 2s i 2p [1]. Hybrydyzacji mogą ulegać jeden, dwa lub trzy
orbitale 2p i jeden orbital 2s, mówimy wtedy o hybrydyzacji odpowiednio: sp, sp2 oraz sp3.
a)
b)
c)
Rysunek 4. Prezentacja trójwymiarowa trzech cząsteczek zbudowanych z dwóch atomów
węgla: a) etan, b) eten, c) etyn (acetylen).
W łańcuchu poliacetylenu węgiel będzie wiązał się poprzez hybrydyzowane orbitale
sp2. Do wyznaczenia struktury elektronowej takiej makrocząsteczki można posłużyć się
przybliżoną metodą kombinacji liniowej orbitali atomowych (LCAO – Linear Combination of
Atomic Orbitals) [2]. Założeniem tego modelu jest to, że orbitale molekularne opisane
funkcją falową  są liniową kombinacją orbitali atomowych i:
(1).
Funkcja falowa  musi spełniać równanie Schrödingera
,
(2)
gdzie
jest hamiltonianiem opisującym całą molekułę, a W energią orbitala molekularnego.
Podstawiając (1) do (2) można obliczyć (patrz Dodatek 1):
,
(3)
,
(4)
gdzie:
to energie oddziaływania między poszczególnymi orbitalami, a
(5)
to tzw. całki przekrywania.
Korzystając z reguły wariacyjnej która mówi że: jeżeli do równania Schrödingera
podstawimy dowolną funkcję falową to zawsze dostaniemy górne oszacowanie energii W,
można wyznaczyć funkcję falową 
metodą minimalizacji energii W względem
współczynników ci. Rachunek przedstawiony w Dodatku 1 prowadzi do następującego układu
równań:
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
3
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
,
(6)
który ma nietrywialnie rozwiązanie jedynie wtedy gdy jego wyznacznik znika:
(7).
Metodę LCAO można wykorzystać do obliczenia struktury elektronowej polimerów
sprzężonych biorąc pod uwagę tylko orbitale molekularne typu Orbitale typu są silnie
związane i nie biorą udziału w procesach transportu elektronów czy procesach absorpcji lub
emisji światła [2].
W dalszych rozważaniach przyjmuje się następujące założenia, nazywane
przybliżeniem Hückela [2]:
 całki coulombowskie Hii są takie same dla wszystkich zhybrydyzowanych orbitali
węgla sp2 Hii= (energia c.a. -10eV),
 Hjk= tylko dla najbliższych atomów połączonych wiązaniem ,  - to energia
wyizolowanego wiązania  (c.a. -0.7eV),
 Hjk=0 dla pozostałych,
 całki przekrywania Sjk są niezerowe tylko gdy j=k,
 warunek normalizacji: Sjj=1.
Wtedy równanie (7) się upraszcza do następującej postaci:
,
(8)
gdzie
(9).
Równanie (8) można rozwiązać dla dowolnej ilości atomów węgla połączonych ze
sobą naprzemiennie wiązaniami pojedynczymi i podwójnymi. Rysunek 5 przedstawia wykres
rozkładu poziomów energetycznych (wartości własnych W) w zależności od długości
łańcucha, czerwonymi trójkątami zaznaczono poziomy obsadzone przez elektrony w stanie
podstawowym. Z wykresu wynika, że wraz ze wzrostem liczby atomów węgla w łańcuchu
odległości między kolejnymi poziomami energetycznymi zaczynają się zmniejszać i
obserwujemy powstawanie układu przypominającego pasma energetyczne. Najwyższy
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
4
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
obsadzony poziom energetyczny w stanie podstawowym opisywany jest skrótem HOMO
(Highest Occupied Molecular Orbital), najniższy nie obsadzony poziom opisywany jest
skrótem LUMO (Lowest Unoccupied Molecular Orbital).
W

LUMO
HOMO

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
liczba atomów węgla w łańcuchu sprzężonym
15
16
17
Rysunek 5. Rozkład poziomów energetycznych w zależności od ilości atomów węgla w
łańcuchu sprzężonym zgodnie z modelem liniowej kombinacji orbitali atomowych.
W idealnym przypadku funkcja falowa zdelokalizowanego elektronu będzie
ograniczona jedynie długością łańcucha. W rzeczywistości rozciąga się ona jedynie na 6 do 8
kolejnych segmentów (~5nm), jest to tzw. długość sprzężenia (conjugation length).
Przyczyną takiego ograniczenia są niedoskonałości struktury takie jak trwałe defekty (stany
sp3 związane z defektami samego łańcucha, zanieczyszczenia itp.) oraz defekty dynamiczne
takie jak skręcenia łańcucha oraz jego drgania.
Rysunek 6. Absorbancja (linia ciągła) oraz fotoluminescencja (linia przerywana) poli(3heksyl tiofenu) w funkcji długości fali światła.
Podstawowych informacji na temat struktury elektronowej polimerowych
półprzewodników, podobnie jak w przypadku materiałów nieorganicznych (patrz ćwiczenie
S2, N2), dostarcza analiza właściwości optycznych. Absorpcja fotonu przez łańcuch
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
5
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
sprzężony związana jest przejściem elektronu z poziomu LUMO lub poziomu leżącego
poniżej na poziom HOMO lub powyżej niego. W przeciwieństwie do kryształów
nieorganicznych (na przykład kryształu CdS), dla których wyraźnie widoczna jest krawędź
absorpcji, wzrost współczynnika absorpcji np. politiofenu wraz ze wzrostem energii
promieniowania jest bardziej łagodny (patrz Rysunek 6) [3]. Warto jednak podkreślić, że
półprzewodniki polimerowe charakteryzują się większym współczynnikiem absorpcji w
stosunku do półprzewodników nieorganicznych.
Wzbudzony światłem elektron pozostawia stan nie obsadzony, który podobnie jak w
przypadku półprzewodników nieorganicznych nazywamy dziurą, dziura taka zachowuje się
jak cząstka podobna do elektronu ale o dodatnim ładunku. Elektron i dziura mogą
oddziaływać ze sobą elektrostatycznie i w wyniku takiego oddziaływania tworzyć stany
związane nazywane ekscytonami, obserwowane również w materiałach nieorganicznych.
Ekscytony powstające w półprzewodnikach organicznych charakteryzuje duża energia
oddziaływania rzędu 1eV.
Część eksperymentalna
Celem ćwiczenia jest zbadanie wpływu oddziaływań między cząsteczkami polimeru
sprzężonego MEH-PPV w roztworze na widmo absorpcji i fotoluminescencji. Zmianę
oddziaływań miedzy łańcuchami uzyskuje się poprzez zmianę koncentracji wzajemnej dwóch
rozpuszczalników, z których jeden jest dobrym a drugi złym rozpuszczalnikiem [4]. W
dobrym rozpuszczalniku cząsteczka polimerowa zachowuje się jak idealnie giętki łańcuch
którego rozkład w przestrzeni może być opisany modelem samounikającego błądzenia
przypadkowego [5]. Dzieje się tak dlatego, że cząsteczki dobrego rozpuszczalnika ekranują
oddziaływania preferujące kontakt między segmentami polimeru. W przypadku złego
rozpuszczalnika efekt ekranowania jest znacznie słabszy lub go nie ma i segmenty mogą ze
sobą wzajemnie oddziaływać. Przykładem dobrego rozpuszczalnika dla polimeru MEH-PPV
jest toluen natomiast złym rozpuszczalnikiem w tym przypadku jest heksan.
Układ pomiarowy do badania absorpcji i fotoluminescencji roztworów polimerowych
składa się z: spektrometru z linijką CCD, źródła światła białego do pomiarów absorpcji –
lampy halogenowej, źródła światła wzbudzającego fotoluminescencję – lampy ksenonowej,
światłowodów, uchwytów na próbki.
Budowa i zasada działania spektrometru z linijką CCD
Zasada działania miniaturowego spektrometru z linijką CDD jest podobna jak w
przypadku spektrometrów tradycyjnych, w których światło przechodzące przez szczelinę
wejściową pada na element dyspersyjny - siatkę dyfrakcyjną lub pryzmat, a po rozszczepieniu
przechodzi przez szczelinę wyjściową gdzie jest rejestrowane za pomocą detektora. Wyboru
długości fali dokonuje się poprzez obrót elementu dyspersyjnego względem kierunku
obserwacji. Zamiast jednej szczeliny, można zastosować szereg niewielkich fotodetektorów o
szerokości porównywalnej do szerokości szczeliny tradycyjnego spektrometru czyli linijkę
CCD. Takie rozwiązanie pozwala na jednoczesną rejestrację natężenia światła o różnych
długościach fali co przyspiesza proces pomiarowy, pozwala na eliminację elementów
ruchomych oraz miniaturyzację całego urządzenia.
Schemat spektrometru USB4000 stosowanego w ćwiczeniu przedstawiony jest na
Rysunku 9. Światło do spektrometru wprowadzane jest za pomocą światłowodu
przyłączonego w punkcie (1), przechodzi ono następnie przez szczelinę wejściową (2) oraz
filtr ograniczające sygnał wejściowy tak by odpowiadał zakresowi pomiarowemu
spektrometru (3). Odbite od zwierciadła (4) światło pada następnie na siatkę dyfrakcyjną (5) i
po rozszczepieniu i uformowaniu przez zwierciadło skupiające (6) rejestrowane jest za
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
6
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
pomocą szeregu fotodetektorów (8 - linijka CCD). Odpowiednia kalibracja przyrządu
umożliwia pomiar natężenia światła w funkcji długości fali. Zastosowanie dodatkowego
osprzętu pozwala na badanie transmisji, absorpcji oraz fluorescencji zarówno w przypadku
próbek stałych jak i ciekłych.
Rysunek 9. Budowa spektrometru z linijką CDD: (1) konektor do światłowodu, (2)
szczelina wejściowa, (3) filtr ograniczający zakres analizowanego widma, (4) zwierciadło,
(5) siatka dyfrakcyjna, (6) zwierciadło skupiające, (7) miniaturowe soczewki skupiające
stosowane opcjonalnie w przypadku spektrometrów z dużą szczeliną wejściową, (8)
linijka CCD, (9) i (10) opcjonalne filtry dedykowane do wybranych zakresów
pomiarowych.
Spektrometr USB4000 sterowany jest wyłącznie z poziomu oprogramowania
SpectraSuite dostarczonego wraz z urządzeniem (oryginalna instrukcja obsługi dostępna jest
na komputerze przy ćwiczeniu). Program umożliwia zarówno rejestrację pojedynczego
widma, korektę sygnału ze względu na prąd ciemny detektora, jak również wyznaczanie
współczynników absorpcji, transmisji oraz odbicia w funkcji długości fali światła. Interfejs
programu SpectaSuite jest typowy dla aplikacji pracujących pod kontrolą systemu
MSWindows, z tradycyjnym menu oraz paskiem narzędzi. Na Rysunku 10 przedstawione jest
okno główne programu podzielone na trzy części, po lewej stronie podawane są informacje na
temat spektrometru i jego parametrów pracy (Data sources), poniżej widoczny jest opis
parametrów wykresów (Data views) wyświetlanych w zakładkach prawego, największego
panelu (Graph(A)).
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
7
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
Rysunek 10. Wygląd okna głównego programu SpectraSuite.
Wykonanie pomiarów
Pomiar absorbancji światła
Natężenie światła I() o wybranej długości fali  przechodzącego przez ośrodek o
grubości dx zmienia się zgodnie z prawem:
,
(10)
gdzie () jest współczynnikiem absorpcji.
Całkując równanie (10) otrzymujemy wzór na natężenie światła przechodzącego przez
próbkę o grubości d:
,
(11)
gdzie I0 jest natężeniem światła padającego na próbkę.
Po przekształceniach otrzymujemy:
(12).
Miarą ilości światła zaabsorbowanego przez próbkę o zadanej grubości jest
absorbancja ABS(), czasami nazywana gęstością optyczną, definiowana wzorem:
(13).
Schemat układu eksperymentalnego służącego do wyznaczania absorbancji w
roztworach przedstawiony jest na Rysunku 11. W eksperymencie tym światło białe
emitowane przez lampę halogenową przechodzi przez uchwyt do kuwet i następnie
światłowodem doprowadzane jest do spektrometru.
Pomiaru zależności absorbancji od długości fali światła dokonuje się w trzech
krokach:
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
8
II Pracownia Fizyczna, S5

rejestracja sygnału ze spektrometru bez oświetlenia (Dark Spectrum), w tym celu
należy wcisnąć przycisk


Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
widoczny w pasku narzędzi okna Graph(A);
rejestracja widma lampy po przejściu przez pusta kuwetę, przycisk
;
rejestracja widma światła przechodzącego przez kuwetę z roztworem kropek
kwantowych.
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)
Rysunek 11. Schemat układu eksperymentalnego do badania absorbancji roztworów. (1)
źródło światła białego – lampa halogenowa, (2) uchwyt na kuwetę, (3) światłowód, (4)
spektrometr, (5) komputer sterujący pracą spektrometru.
Oprogramowanie SpectraSuite umożliwia analizę danych i wyświetlenie wyniku w
formie zależności absorbancji od długości fali światła w czasie trwania pomiarów, w tym celu
należy wybrać opcję Absorbance z menu Processing Mode, które jest dostępne w menu
Processing lub wcisnąć przycisk
z paska narzędzi widocznym w oknie Graph(A). Ważne
jest, aby wszystkie trzy widma rejestrowane były przy tych samych czasach całkowania oraz
ilości średniowanych pomiarów, dlatego przed przystąpieniem do właściwych pomiarów
należy dobrać oba parametry tak aby maksymalny sygnał rejestrowany po przejściu światła
przez pustą kuwetę nie był większy niż zakres pomiarowy oraz aby w obszarze krótkich fal
niepewność pomiarowa pojedynczego punktu była niewielka. Wielkość sygnału zależy od
czasu całkowania przetwornika CCD, który ustawia się w okienku Integration time
widocznym poniżej menu głównego. Niepewność
pomiaru natężenia światła rejestrowanego przez pojedynczy detektor linijki CCD można
zmniejszać zwiększając ilość pomiarów, które następnie są średniowane. Parametr ten
ustawia się w okienku Scans to average
widocznym obok okienka
Integation time, aby wyłączyć średniowanie wystarczy wcisnąć przycisk
.
Pomiar widma fotoluminescencji
Schemat układu do pomiarów fotoluminescencji przedstawiony jest na Rysunku 12.
Roztwór oświetlany jest światłem z lampy ksenonowej pracującej w trybie impulsowym za
pomocą specjalnej sondy światłowodowej, ta sama sonda rejestruje jednocześnie światło
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
9
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
emitowane z próbki. Aby rejestrowany sygnał był odpowiednio silny sondę należy umieścić
możliwie blisko roztworu. Pamiętać należ również o tym, że powierzchnia kuwety odbija
częściowo padające na nią światło dlatego sonda nie może patrzeć prostopadle na jej
powierzchnię ponieważ sygnał odbity będzie zaburzał obserwację widma fotoluminescencji.
Przy rejestracji sygnału należy włączyć wyzwalanie lampy ksenonowej zaznaczając opcję
Strobe/Lamp enable
głównego.
dostępną w pasku narzędzi widocznym poniżej menu
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)
Rysunek 12. Schemat układu do pomiarów fotoluminescencji. (1) lampa kenonowa, (2)
kuweta z roztworem, (3) sonda światłowodowa do badania światła odbitego, (4)
spektrometr, (5) komputer sterujący pracą spektrometru.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Bibliografia
L. Pauling, P. Pauling „Chemia” PWN, Warszawa 1998.
R. Waser „Nanoelectronics and Information Technology” WILEY-VCH Weinheim
2005.
T.A. Chen, X. Wu, R. D. Rieke J. Am. Chem. Soc. 117 (1997) 233.
C. J. Collison, L. J. Rothberg, V. Treemaneekarn, Y. Li Macromolecules 34 (2001)
2346.
H. Galina „Fizykochemia polimerów” Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, Rzeszów 1998.
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
10
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
Dodatek 1
Model LCAO
Orbital molekularny opisywany jest funkcją falową spełniającą równanie
Schrödingera:
,
(D.1)
lub w wersji całkowej:
,
(D.2)
gdzie W jest energią własną.
Zakładamy, że orbital molekularny można przedstawić jako kombinację liniową n
orbitali atomowych i:
(D.3).
Możemy zatem zapisać (dla uproszczenia pamiętamy, że sumujemy po n orbitalach):
(D.4)
,
wprowadzamy oznaczenia:
,
(D.5)
i podstawiamy:
(D.6).
Minimalizując W względem współczynników ci możemy oszacować wartości własne
energii orbitala będącego kombinacją liniową orbitali molekularnych.
Mając w pamięci:
,
(D.7)
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
11
II Pracownia Fizyczna, S5
Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński
obliczamy:
(D.8)
inaczej:
(D.9).
Otrzymujemy zatem układ n równań na n niewiadomych ci:
(D.10).
Układ ten ma nietrywialne rozwiązania wtedy gdy wyznacznik macierzy znika, zatem:
(D.11)
Materiały do ćwiczenia S5
wersja 1.01
12