Kategoria młodsza - druga seria

ETAP INTERNETOWY
Edycja 2014/15, seria 2.
Kategoria młodsza – rozwiązania
Zadanie 1. Borsuk Tymek kupił działkę w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości 20 metrów. Wewnątrz działki postanowił
wybudować dom o podstawie kwadratowej, jak na rysunku obok. Na
pozostałej części działki borsuk Tymek postanowił zasiać zieloną trawę. Do posiania trawy borsuk musi zakupić worki z nasionami, przy
czym wiadomo, że jeden worek starcza na zasianie tylko 7m2 trawnika. Jaka jest najmniejsza liczba worków z nasionami, która pozwoli
Tymkowi zasiać trawę na wyznaczonej części jego działki?
Odpowiedź. 57.
Rozwiązanie. Niech x będzie długością boku kwadratu a y i z —
długościami odcinków, na jakie został podzielony bok sześciokąta
wierzchołkiem kwadratu. Wówczas y + z = 20m.
Korzystamy z zależności między bokami w trójkątach o kątach
90◦ , 60◦ , 30◦ i dostajemy równania:
√
x
1
x − 20m
3
·y = ,
·z =
.
2
2
2
2
z
y
x
x
2
y
Zatem y = √x3 oraz z = x − 20m.
Wstawiamy powyższe wartości do równania y + z = 20m i dostajemy
x
√
+ x − 20m = 20m, czyli x(1 + √13 ) = 40m, a zatem
3
√ √
√
40
40 3( 3 − 1)
40 3
√
x=
m= √
m=
m= √
1 + √13
3+1
( 3 − 1)( 3 + 1)
=
40(3 −
2
√
3)
√
m = (60 − 20 3)m.
z
x − 20m
2
√
√
2
3
Pole sześciokąta foremnego o boku 20m wynosi 6· (20m)
= 600 3m2 ,
4
√
a pole kwadratu o boku (60 − 20 3)m wynosi
√
√
√
(60 − 20 3)2 m2 = (3600 − 2400 3 + 1200)m2 = (4800 − 2400 3)m2 .
Trawnik zajmuje powierzchnię
√
√
√
600 3m2 −(4800−2400 3)m2 = (3000 3−4800)m2 ≈ (3000·1.732−4800)m2 = 396m2 .
Skoro
396m2
4
= 56 , to Tymek potrzebuje 57 worków z nasionami.
2
7m
7
Zadanie 2. Borsuk Tomek przeznaczał dotychczas 40% swojego miesięcznego kieszonkowego na ciastka, 30% na cukierki, a pozostałe 30% odkładał na zakup nowej trąbki. Za
60% kwoty przeznaczanej na ciastka kupował swoje ulubione biszkopty o smaku królika.
Postanowił jednak, że od przyszłego miesiąca kwota odkładana na trąbkę będzie o 20%
wyższa od dotychczasowej. Ponieważ w dalszym ciągu dostaje tyle samo kieszonkowego,
brakujące pieniądze postanowił pozyskać z budżetu przeznaczanego na biszkopty (które
już mu się trochę przejadły). Jaką część starej kwoty przeznaczanej na biszkopty stanowi
nowa kwota przeznaczana na ten cel? Wynik podaj w procentach.
Odpowiedź. 75.
Rozwiązanie. Przyjmijmy, że Tomek co miesiąc dostaje x kieszonkowego. Na początku
Tomek przeznaczał 40% · x = 0.4x na ciastka, 30% · x = 0.3x na cukierki, a 30% · x = 0.3x
odkładał na zakup trąbki. Budżet przeznaczony na biszkopty wynosił 60% · 0.4x = 0.6 ·
0.4x = 0.24x.
Po zmianie planu finansowego Tomek odkłada na trąbkę o 20% · 0.3x = 0.2 · 0.3x = 0.06x
więcej niż dotychczas, więc teraz na biszkopty przeznacza 0.24x − 0.06x = 0.18x.
Nowa kwota przeznaczona na biszkopty stanowi
0.18x
0.24x
=
18
24
=
3
4
= 75% starej kwoty.
Zadanie 3. Łasica Emilka ma długą czerwoną wstążkę. Pewnego dnia złożyła ją na pół,
potem jeszcze raz na pół, a potem jeszcze osiem razy. Wszystkie zgięcia były wykonane w
poprzek wstążki. Złośliwy borsuk Romek przeciął w połowie złożoną wstążkę równolegle
do zgięć. Na ile części została podzielona wstążka?
Odpowiedź. 1025.
Rozwiązanie. Każde złożenie wstążki na pół powoduje dwukrotne zwiększenie liczby warstw.
To oznacza, że po dziesięciokrotnym złożeniu wstążki dostajemy 210 = 1024 warstwy. To
oznacza, że wstążka została przecięta w 1024 miejscach. Zatem wstążka została podzielona
na 1025 części.
Zadanie 4. Borsuk Bartek konstruuje zegar. Numer na
każdym z trybików oznacza liczbę jego ząbków. Do kółka
o 1320 ząbkach przytwierdził wskazówkę minutową. Wskazówkę sekundową chce przytwierdzić do kółka na drugim
końcu ciągu zębatek. Ile ząbków musi mieć ostatnie kółko,
żeby zegar działał poprawnie?
2015
1320
Odpowiedź. 22.
Rozwiązanie. Każdy obrót wskazówki minutowej o kąt
pełny powinien skutkować sześćdziesięciokrotnym obrotem
wskazówki sekundowej. To oznacza, że ostatni trybik powinien mieć sześćdziesięciokrotnie mniej ząbków niż trybik, do którego przytwierdzona jest wskazówka minutowa.
1320
Ostatnie kółko musi mieć
= 22 ząbków.
60
Zadanie 5. W lesie, w którym mieszka wiewiór Grześ, drzewa
były rozstawione w regularnych odstępach co 5 metrów, jednak
po wczorajszej burzy dwa z nich zostały powalone. Teraz układ
drzew wygląda jak na rysunku obok. Grześ potrafi skakać na
odległość co najwyżej 6 metrów. Chce przedostać się najkrótszą
możliwą drogą ze swojej dziupli w drzewie oznaczonym literą D
do skrytki z orzechami znajdującej się w drzewie O, nie schodząc
na ziemię. Na ile sposobów może to zrobić?
Odpowiedź. 77.
?
O
D
Rozwiązanie. Każda z najkrótszych tras składa się z dziesięciu
odcinków — z pięciu poziomych i pięciu pionowych. Grześ poruszając się takimi trasami idzie jedynie „w górę” i „w prawo”.
Zliczymy osobno trasy, które zawierają zielony, niebieski, czerwony oraz pomarańczowy punkt. Jest jasne, że każda trasa musi
przejść przez któryś z tych punktów oraz że żadna trasa nie może
przejść przez więcej niż jeden z nich.
Każda trasa, która przechodzi przez zielony punkt, musi zawierać zaznaczony fragment trasy. Należy zliczyć liczbę tras wiodących z domu Grzesia do drzewa A. Jest ich dokładnie 21 —
wszystkie są wyrysowane poniżej.
O
D
A
O
D
O
Każda trasa, która przechodzi przez niebieski punkt, musi zawierać zaznaczony fragment trasy. Należy znaleźć liczbę tras
wiodących z domu Grzesia do drzewa B oraz liczbę tras łączących drzewo C z drzewem O. Tych pierwszych jest dokładnie
10, a tych drugich dokładnie 3. Zatem wszystkich tras zawierających niebieskie drzewo jest 10 · 3 = 30.
B
C
D
O
Każda trasa, która przechodzi przez czerwony punkt, składa się
z dwóch części — jedna łączy dom Grzesia z drzewem E, a
druga łączy drzewo E z drzewem O. Jest pięć różnych ścieżek
łączących E z O (rysunek przedstawia je wszystkie) oraz pięć
różnych ścieżek łączących D z E (są to odbicia symetryczne
poniższych pięciu względem diagonali). Zatem liczba wszystkich
tras przechodzących przez czerwone drzewo wynosi 5 · 5 = 25.
E
D
O
Jest tylko jedna trasa prowadząca z domu Grzesia do skrytki z
orzechami przechodząca przez żółte drzewo.
Zatem liczba najkrótszych tras wynosi 21 + 30 + 25 + 1 = 77.
D