1. Optyczna filtracja sygnałów informatycznych

Ćwiczenie 1
Optyczna filtracja sygnałów informatycznych.
1. Wprowadzenie
Przyjmiemy, Ŝe znamy pole świetlne na płaszczyźnie ( x0 , y 0 ) , to znaczy
znamy rozkład jego amplitudy i fazy we wszystkich punktach, gdzie określony jest
sygnał optyczny. Pytamy jakie będzie pole świetlne w płaszczyźnie ( x, y ) , odległej od
płaszczyzny ( x0 , y 0 ) o z ?
Postępując za J.W. Rayleighem, rozkładamy wejściowe pole świetlne sygnału na
nieskończony zbiór fal płaskich biegnących w róŜnych kierunkach (transformata
Fouriera). Wiadomo bowiem, jak propaguje się w swobodnej przestrzeni idealna
monochromatyczna fala płaska.
Dwuwymiarowa transformacja Fouriera
sygnału optycznego wyraŜona jest
poniŜszym wzorem
Aˆ ( f x , f y ) =
+∞ +∞
(
∫ ∫ Uˆ (x, y,0) ⋅ e
− 2πi f x ⋅ x + f y ⋅ y
)
dxdy
/ 1a /
−∞ −∞
co jest równowaŜne związkowi
Uˆ ( x, y,0 ) =
+∞+∞
∫ ∫ Aˆ ( f
−∞−∞
, f y )⋅ e
(
2πi f x ⋅ x + f y ⋅ y
x
)
df x df y
/ 1b /
gdzie Uˆ (x, y ,0 ) - amplituda zespolona sygnału optycznego wejściowego o rozkładzie
natęŜenia I ( x, y,0 ) = Uˆ ( x, y,0 ) . (Zwykle obserwujemy jedynie rozkład natęŜenia I,
2
bowiem detektory odbiorników sygnału są czułe na energię ; doświadczalne
stwierdzenie występowania fazy w sygnale optycznym wymaga specjalnych zabiegów
2 π cos θ
2 π cos ϕ
celem jej wizualizacji), Wielkości
,
zwiemy
fx =
fy =
λ
λ
ˆ
częstotliwościamy przestrzennymi, a wielkość A( f x , f y ) - widmem kątowym
fourierowskim danego sygnału optycznego (θ,ϕ - kąty rozbiegania się elementarnych
fal płaskich).
Zamiast posługiwania się sygnałem optycznym Uˆ (x, y ,0 ) podczas jego
propagowania się w danym torze (układzie) optycznym moŜna równorzędnie uŜywać
jego widma kątowego Aˆ ( f x , f y ) Trzeba znać oczywiście prawa propagowania się
sygnału lub jego widma kątowego. Z tego punktu widzenia układ optyczny składa się
z filtrów częstotliwości przestrzennych i z modulatorów widma kątowego sygnału
optycznego, którymi są np.: warstwa przestrzeni swobodnej, soczewki sferyczne i
inne, siatki dyfrakcyjne róŜnych typów, najrozmaitsze przesłony umieszczone w
róŜnych płaszczyznach toru oraz urządzenia elektrooptyczne, magnetooptyczne i t.d..
W układzie optycznym moŜna zawsze wyróŜnić wejście i wyjście tzn. miejsca
gdzie się wprowadza i wyprowadza sygnały optyczne. W przypadku płaskich
sygnałów optycznych mówi się o płaszczyźnie wejściowej i wyjściowej. Działanie
większości elementów i układów optycznych, traktowanych jako elementy liniowe i
izoplanatyczne, opisuje się, podobnie jak układy elektroniczne, za pomocą:
a) odpowiedzi impulsowej hˆ( x, y ) stanowiącej amplitudowo - fazowy obraz w
płaszczyźnie wyjściowej punktowego Ŝródła światła (funkcji delta Diraca )
umieszczonego w płaszczyźnie wejściowej układu.
b) funkcji przenoszenia Hˆ ( f x , f y ) czyli transformaty Fouriera funkcji hˆ( x, y ) .
Obie te wielkości wiąŜe zaleŜność
{
},
Hˆ ( f x , f y ) = FT hˆ( x, y )
/2/
gdzie FT {...} - transformacja Fouriera.
2. Niektóre elementy optyczne.
1. Warstwa przestrzeni swobodnej (próŜnia) o grubości d, ma funkcję
przenoszenia określoną wzorem
(
)
 id
2
2 
/3/
Hˆ ( f x , f y ) = exp 2π
1 − λf x + λf y  .
λ


Działa ona jak osobliwy filtr częstotliwości przestrzennych, nie przepuszczający
1
2
2
częstości przestrzennych określonych warunkiem f x + f y > 2 , czyli usuwa tzw.
λ
fale niejednorodne, występujące w widmie kątowym sygnału optycznego. Gdy
grubość d warstwy jest dostatecznie duŜa to funkcję przenoszenia moŜemy
przedstawić jako
d

2
2 
/4/
Hˆ ( f x , f y ) ≈ exp − i
fx + fy  ,
 2k

2π
, a odpowiedź impulsową odpowiednio jako
k=
(
λ
)
 ik

hˆ( x, y ) = a ⋅ exp  (x 2 + y 2 )
 2d

/5/
W praktyce swobodna przestrzeń - podczas propagacji sygnału w swobodnej
przestrzeni na odległość d - stanowi filtr dolnoprzepustowy.
2. Soczewka idealna (bez aberracji)
Soczewka idealna ma funkcję przenoszenia określoną w przestrzeni częstości
przestrzennych wzorem / 6 /
2
(
)
 f
2
2 
Hˆ ( f x , f y ) = a ⋅ expi
fx + f y  ,
 2k

/6/
gdzie a - stała niezaleŜna od częstości przestrzennych, f - ogniskowa soczewki.
W przestrzeni połoŜeń (x,y) soczewkę o ogniskowej f opisuje transmitancja
wyraŜona poniŜszym wzorem
(
)


k 2
T (x, y ) = exp − i
x + y2 
 2f

/7/
Niech U$+ ( x , y ) - oznacza sygnał wejściowy w płaszczyźnie (x,y), po lewej
stronie płaszczyzny soczewkowej (patrz rys. 1). Uˆ − ( x, y ) - sygnał optyczny w
płaszczyźnie (x,y), po przejściu przez soczewkę.
fx
x
fy
y
d=f
Rys. 1

x2 + y2 
ˆ
ˆ
ˆ
 /8/
U − ( x, y ) = U + ( x, y ) ⋅ T ( x, y ) = U + ( x, y ) exp − ik
2 f 

Soczewkę traktujemy jako nieskończenie cienką. Sygnał U$− ( x , y ) jest sygnałem
wejściowym dla filtru f x , f y , którym jest warstwa przestrzeni swobodnej o grubości
d=f , o funkcji przenoszenia
(
 d
2
2
Hˆ ( f x , f y ) = a ⋅ exp i
fx + fy
 2k
) , / 9 /

Proste obliczenia dowodzą, Ŝe sygnał optyczny wyjściowy w płaszczyźnie ( f x , f y )
będzie równy:
2
2

f x + f y  +∞
ˆ
 ⋅ U + ( x, y ) ⋅ exp  − ik (xf x + yf y ) dxdy / 10 /
U wyj ( f x , f y ) ≈ exp − ik
 f


 ∫ −∫∞
d




WyraŜenie podcałkowe przedstawia widmo Aˆ ( f x ' , f y ') sygnału optycznego
fy
f
wyraŜone w zmiennych f x ' = x , f y ' =
. Oznacza to, Ŝe soczewka idealna działa w
fλ
fλ
swej płaszczyźnie ogniskowej jak operator Fouriera, przekształcając sygnał optyczny
U w jego widmo kątowe A w przeskalowanych zmiennych f x ' , f y '. Czynnikiem
przeskalowania jest wielkość f (ogniskowa soczewki). Im dłuŜsza ogniskowa
soczewki tym większe widmo analizowanego sygnału.
3
Obserwowany w płaszczyźnie rozkład transformaty Fouriera obiektu jest funkcją
zespoloną - posiada więc amplitudę oraz fazę.
Aˆ = A( f x ' , f y ') ⋅ exp iϕ ( f x ' , f y ') / 11 /
[
]
Obserwowany przez detektor, rejestrujący wielkości zaleŜne od energii, rozkład
2
2
natęŜenia w funkcji f x ' , f y ' zwany widmem Wienera jest: Uˆ wyj = A( f x ' , f y ') i nie
zawiera informacji o fazie. Dokładniejsza analiza zjawiska wykazuje, Ŝe natęŜeniowy
rozkład widma w płaszczyŜnie ogniskowej soczewki nie ulegnie zmianie przy
poprzecznym ( w kierunku x lub y) lub podłuŜnym ( wzdłuŜ osi optycznej przed
soczewką) przesunięciu obiektu wejściowego połoŜonego przed soczewką.
W tym miejscu warto zauwaŜyć, Ŝe powyŜsza analiza dotyczy soczewek
idealnych. Soczewka taka jest pozbawiona aberracji, nieskończenie cienka i o
nieskończenie wielkiej średnicy. W praktyce dwa pierwsze załoŜenia mogą być dość
dobrze spełnione kosztem trzeciego (soczewka o długiej ogniskowej i małej średnicy
jest "cienka" i posiada małe aberracje). Średnica wejściowa soczewki moŜe zostać
jednak łatwo uwzględniona poprzez nałoŜenie dodatkowej apertury kołowej na
analizowany obiekt. Ta operacja wpłynie nieco na natęŜeniowy rozkład widma
Fouriera. Na przykład transformata doskonałej (nieograniczonej) fali płaskiej
dokonana poprzez idealną soczewkę będzie idealnym punktem ( funkcja delta Diraca
). Po uwzględnieniu skończonej średnicy soczewki idealny punkt stanie się
natęŜeniowym obrazem transformaty Fouriera apertury soczewki (por. funkcje
Bessela i transformata funkcji circus). Wraz ze zmniejszaniem apertury soczewki
rośnie wielkość plamki stanowiącej jej ognisko.
3 UŜyteczne układy optyczne
Z powyŜszego widzimy, Ŝe dla dwuwymiarowych sygnałów optycznych (i w
przybliŜeniu dla trójwymiarowych) soczewki sferyczne dokonują analizy
fourierowskiej sygnału optycznego w swej płaszczyŜnie ogniskowej. Oczywiście
soczewka cylindryczna dokonuje takiej analizy tylko w jednym kierunku, działa
jednowymiarowo.
W tym miejscu warto zwrócić uwagę, Ŝe zastosowanie układu z soczewką do
transformaty Fouriera umoŜliwia ponowne odtworzenie obiektu wejściowego. We
wspomnianym układzie moŜliwe jest umieszczenie w płaszczyŜnie Fouriera filtrów
częstości przestrzennych i zbadanie ich wpływu na odtworzony z odfiltrowanego
widma obiekt.
PoniŜej przedstawione są elementarne układy optyczne słuŜące do otrzymywania
widma obiektów. Układy z rys. 2 i 3 są układami nieobrazującymi, lecz jedynie
dokonującymi analizy widmowej Fouriera sygnału optycznego.
Rys. 2 przedstawia układ tworzący w płaszczyŜnie widmowej widmo natęŜeniowe
obiektu. Dla dowolnej wielkości d1 , faza widma występująca w płaszczyźnie Fouriera
nie odpowiada funkcji fazowej transformaty. Natomiast dla odległości d1=f faza
odpowiada ściśle matematycznemu widmu Fouriera. W celu przeskalowania widma
naleŜy w tym przypadku uŜyć soczewki o innej ogniskowej.
4
przedmiot
dwuwymiarowy
(przeŸrocze)
d
f
1
p³aszczyzna
widmowa
Fouriera
p³aska fala
monochromatyczna
(f' x , f' y)
soczewka
Rys. 2
Rys. 3 przedstawia układ tworzący w płaszczyŜnie widmowej widmo natęŜeniowe
obiektu. Faza nie odpowiada - w tym przypadku - rozkładowi teoretycznemu widma
Fouriera.. W celu przeskalowania widma naleŜy jedynie przesunąć obiekt wzdłuŜ osi
optycznej.
f
p³aszczyzna
widmowa
Fouriera
p³aska fala
monochromatyczna
przedmiot
dwuwymiarowy
(przeŸrocze)
soczewka
(f' x , f' y)
Rys. 3
Rys. 4 przedstawia układ tworzący w płaszczyŜnie ogniskowej widmo natęŜeniowe
obiektu, a następnie odwzorowujący obiekt. Soczewka o ogniskowej f1 tworzy widmo
Fouriera a soczewka o ogniskowej f2 odtwarza obiekt. W celu przeskalowania obiektu
naleŜy uŜyć soczewek o innej ogniskowej.
5
obiekt wejœcowy
dwuwymiarowy
(przeŸrocze)
f
f
f1
1
f
2
2
obiekt wyjœcowy
dwuwymiarowy obraz
(przeŸrocze)
p³aska fala
monochromatyczna
soczewka
ogniskowa f
1
(f'x , f' y )
p³aszczyzna
widmowa
Fouriera
soczewka
ogniskowa f
2
Rys. 4
W płaszczyźnie widmowej moŜna umieszczać filtry częstości przestrzennych.
4. Filtracja częstości przestrzennych - przykład
Przedmiot w postaci siatki z kwadratowymi oczkami oświetla się światłem
spójnym. W płaszczyźnie Fouriera wstawia się maskę filtrującą - szczelinę poziomą
lub pionową, dzięki czemu otrzymuje się obrazy składające się z pionowych lub
poziomych pasków.
5. Modulacja "Teta" - przykład
Jedną z metod filtracji częstości przestrzennych jest tzw. metoda modulacji
"Teta" [4], dzięki której uzyskuje się zamierzoną zmianę odcienia szarości
fragmentów obrazu. Zasada modulacji "Teta" wyjaśnimy na prostym przykładzie (rys.
6). Weźmy pod uwagę widoczek zawierający róŜne elementy, np. niebo, dom, trawnik
(na fotografii czarno-białej elementy te przedstawione są róŜnymi odcieniami
szarości).
Rys. 5
KaŜdy element widoczku wykonuje się z kawałka siatki dyfrakcyjnej o prąŜkach
zorientowanych pod róŜnymi kątami (stąd nazwa metody). Przez odpowiednie
przesłanianie róŜnych fragmentów obrazu Fouriera tak wymodelowanego obiektu
zmienia się odcień szarości elementów. Jeśli np. w końcowym obrazie dom ma być
czarny to trzeba przesłonić odpowiednie maksima widma częstości przestrzennych
domu, jeśli zaś niebo ma być jasne - trzeba przepuścić cały jego obraz Fouriera.
6
PoniewaŜ maksimum jasności obrazu Fouriera, odpowiadające częstościom
przestrzennym bliskim 0, nie zaleŜy od kąta, trzeba je w tej metodzie filtrowania
całkowicie zasłaniać.
6. Wykonanie ćwiczenia:
Część I:
a) przeprowadzenie analizy widmowej dwuwymiarowej róŜnych sygnałów
optycznych
- siatki dyfrakcyjnej 2 wymiarowej o stałej 200 µm;
- otworów kołowych o róŜnych średnicach;
- maski quasi-periodycznej.
b) przeskalowanie widma Fouriera sygnału optycznego (układ w/g rys. 3)
c) Obserwacja wpływu przesunięcia poprzecznego w kierunku poprzecznym i
podłuŜnym na natęŜeniowy rozkład widma Fouriera (układ w/g rys. 2)
UWAGA. Do filtracji naleŜy uŜyć soczewek o ogniskowych 250, 500 lub 1000 mm.
Część II:
Filtracja częstotliwości przestrzennych róŜnych sygnałów optycznych i
obserwacja jej wpływu na odtworzony obraz (układ w/g rys. 4). W miarę
moŜliwości - w punktach b) i c) zarejestrować obrazy przy pomocy kamery
CCD.
a) Filtracja w celu otrzymania z siatki dyfrakcyjnej 2 wymiarowej siatkę 1
wymiarową poziomą oraz pionową.
b) Filtracja dolnoprzepustowa,
c) Filtracja górnoprzepustowa,
Część III
a) Na dwuwymiarowej siatce dyfrakcyjnej uzyskać efekt odwrócenia
kontrastu.
Dobrać siatkę o optymalnym wypełnieniu. Dostępne są następujące wartości
0.50 , 0.65 , 0.75 , 0.85. Wyjaśnić otrzymane wyniki.
b) Na masce quasi periodycznej uzyskac efekt odwrócenia kontrastu.
Zarejestrować obraz przy pomocy kamery CCD.
Część IV
Na przygotowanej masce - modulacja "teta" - dokonać filtracji kątowych.
Uzyskać rozjaśnienie lub ściemnienie wybranych obszarów. Przykładowy
obrazek zarejestrować przy pomocy kamery CCD.
Literatura:
1.
2.
3.
Goodman, "Introduction to Fourier Optics", Mc Graw-Hill Co.
T. Cathey "Optyczne przetwarzanie informacji i holografia" PWN 1978
(tłumaczenie).
Gniadek "Optyczne przetwarzanie Informacji", PWN.
7
4.
"Encyklopedia fizyki współczesnej" PWN W-wa 1983 - strony 389-395
opracowane przez A. Kalestyńskiego
Pracownia Informatyki Optycznej IF PW
Warszawa marzec 2009
8