m mn n n ng
Transkrypt
m mn n n ng
D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\86_SPRAWDZIANY\0109_0022_35\AB54I.doc Kod zestawu: 0 1 0 9 A B 2005-lut-03, 22:19 5 4 I 0 0 2 2 Zadanie 1. SŁOWNIE Granica iloczynu ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera jest zerem SYMBOLICZNIE ∀ X ,Y ⊂ R ∀ f ∈ SEQ( X ), g ∈ SEQ(Y ) (LIM( f ,0) ∧ g (N ) ∈ BND(R )) ⇒ LIM( f ⋅ g ,0) Zadanie 2. Postać słowna ∀ Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny. ∃ Postać symboliczna f ∈ SEQ↑ (R ) ∩ BND(R ) a∈R f ∈ CNVa (R ) Zasady: a) dowód każdego z powyższych twierdzeń może zawierać wyłącznie poniższe wiersze bez jakichkolwiek zmian, b) wszystkie wiersze powinny być wykorzystane, c) każdy wiersz może być użyty wielokrotnie, d) numery (W1, (W2), … w każdym dowodzie muszą wzrastać (tzn., numer (Wm) nie może pojawić się przed pierwszym wystąpieniem (Wn), jeśli m>n). 14 17 USTALMY (W8) ε > 0 ; USTALMY X , Y ⊂ R , 41 ∀ ε>0 ∃ δ∈ R ; (W4) ∀ n≥δ ( f ⋅ g )(n ) ≤ ε f ∈ SEQ( X ) , g ∈ SEQ(Y ) ; 18 USTALMY f ∈ SEQ(R ) TAKIE, ŻE (W1) f ∈SEQ↑ (R ) I 21 23 24 28 32 (W2) f ∈ BND(R ) SPRAWDZENIE FORMUŁY (W11) f (m ) − a ≤ ε { Z ROZWINIĘCIA (W1): ∀ m, n ∈ N (W12) ; n ≤ m ⇒ f (n ) ≤ f (m ) ∀ n∈N WŁASNOŚCI: (W4) , f (n ) ≤ a ∀ ε>0 (W5) ∃ n ∈ N ;} f (n ) ≥ a − ε WYMAGANIE (W3) WYNIKA Z (W2); W (W8) PODSTAWIAMY n := m ; OTRZYMUJEMY (W12) g (m ) ≤ M ; 33 43 44 36 OZNACZMY (W1) LIM ( f ,0 ) , (W2) g ∈ BND(N , Y ) , (W3) LIM ( f ⋅ g ,0 ) ; 46 KONSTRUKCJA δ ∈ R { 48 USTALMY (W10) m ≥ δ ; 49 SPRAWDZENIE FORMUŁY (W11) 50 51 52 58 (W11) WYNIKA Z (W12) W (W5) PODSTAWIAMY ε := ε I BIERZEMY n1 ∈ N O WŁASNOŚCI (W9) f (n1 ) ≥ a − ε ; USTALMY (W10) m ≥ n1 ; OKREŚLAMY a := sup f (n ) ; n∈N I (W13);}} 34 Z ROZWINIĘCIA (W3): ( f ⋅ g )(m ) ≤ ε { W (W4) PODSTAWIAMY n := m I OTRZYMUJEMY (W15) f (m ) ≤ a ; KONSTRUKCJA n ∈ N { KONSTRUKCJA (W3) a ∈ R { Z ROZWINIĘCIA (W6): ∀ ε>0 ∃ n∈N (W7) ; ∀ m≥n f (m ) − a ≤ ε 59 OKREŚLAMY δ := δ1 ;} 60 (W11) WYNIKA Z (W14), (W15) I (W8);}} D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\86_SPRAWDZIANY\0109_0022_35\AB54I.doc 62 DZIĘKI (W10) MOŻNA W (W9) 80 PODSTAWIĆ n := m ; OTRZYMUJEMY (W13) 63 f (m ) ≤ DZIĘKI (W7) MOŻNA W (W6) ε ; BIERZEMY M δ1 ∈ R O WŁASNOŚCI ∀ n ≥ δ1 (W9) ε ; f (n ) ≤ M 69 77 78 Z (W9) I (W13) WYNIKA (W14) f (m ) ≥ a − ε ; SPRAWDZENIE FORMUŁY (W6) f ∈ CNVa (R ) { W (W12) PODSTAWIAMY m := m , n := n1 I DZIĘKI (W10) OTRZYMUJEMY (W13) f (n1 ) ≤ f (m ) ; Wykorzystane fakty W zadaniu 1 Z ROZWINIĘCIA (W1): ∀ ε>0 ∃ δ∈ R ; (W6 ∀ n≥δ f (n ) ≤ ε ε ; M PODSTAWIĆ ε := 2005-lut-03, 22:19 84 SPRAWDZENIE FORMUŁY (W1) ∧ (W2) ⇒ (W3) { 87 90 OKREŚLAMY n := n1 ;} Z ROZWINIĘCIA (W2) BIERZEMY (W7) M > 0 O WŁASNOŚCI (W8) 98 ∀ n∈N g (n ) ≤ M ; USTALMY (W5) ε > 0 ; W zadaniu 2