Przestrzenie zupełne. W całym rozdziale napis oznacza dowolną

G:\dydaktyka\MaterialyA\Prog_Uzyt\PRACMAG\5prze.doc
2009-lis-06, 19:31
W całym rozdziale napis , oznacza dowolną przestrzeń metryczną. Dla skrócenia zapisu
będziemy go pomijać w sformułowaniach wszystkich twierdzeń i definicji.
DEFINICJA 5.1 (ciągu Cauchy’ego)
Niech oraz będzie ciągiem
o wyrazach w zbiorze . Ciąg nazywamy ciągiem Cauchy’ego, jeżeli
SEQ
dla dowolnej liczby rzeczywistej
: 0
dodatniej istnieje liczba naturalna "
#
CAU taka, że dla dowolnych dwóch liczb
$
, #: , naturalnych , takich, że , , zachodzi
, OZNACZENIE: CAU - zbiór wszystkich ciągów Cauchy’ego w zbiorze .
PRZYKŁAD 1
(
Niech % z metryką z przykładu 2. i określamy ciąg & ∑)+, . Obliczmy trzy
)!
pierwsze wyrazy tego ciągu:
Przestrzenie zupełne.
(
&( 2
&2 3
&3 )+,
)+,
)+,
1 1 1
0 1012
/! 0! 1!
1 1 1 1
1
1
0 0 1010 2
/! 0! 1! 2!
2
2
1 1 1 1 1
1 1
2
0 0 0 1010 0 2
/! 0! 1! 2! 3!
2 6
3
Jest widoczne, że wszystkie wyrazy są liczbami wymiernymi. Można udowodnić zbieżność
tego ciągu w . Jest to ciąg Cauchy’ego, co będzie później wykazane (twierdzenie 5.3).
Z drugiej strony można pokazać, iż granicą tego ciągu jest niewymierna liczba 6. Nie jest to
więc ciąg zbieżny w %.
PRZYKŁAD 2.
Niech % z metryką z przykładu 2. (z rozdziału 1) i określamy ciąg & 72 .
Obliczmy trzy pierwsze wyrazy tego ciągu:
&( 72( 72
&2 722 4
&3 723 78
-1-
G:\dydaktyka\MaterialyA\Prog_Uzyt\PRACMAG\5prze.doc
2009-lis-06, 19:31
4
–8
Rys.1
Nie jest to ciąg Cauchy’ego.
LEMAT 5.1 (techniczny)
, : : ; CAU CAU :
Dowód:
1) Ustalmy , : .
2) Sprawdzenie formuły:
a) Z rozwinięcia tezy: <=>?@ABC CAU :
b) Ustalmy CAU .
c) Sprawdzenie formuły: CAU ::
i) Z rozwinięcia tezy: <HI, DFG <,EF , .
ii) Ustalmy 0.
iii) Konstrukcja #:
(1) Z rozwinięcia b) wynika, że <HK I, DMG <K ,K EF JK , K L ( .
(2) Podstawiamy ( i otrzymujemy O # takie, że <K ,KEM JK , K L .
(3) Określamy O.
iv) Ustalmy , .
v) Sprawdzenie formuły:
(1) W iii)(1) podstawiamy O i O i otrzymujemy , .
Rys. 2
-2-
G:\dydaktyka\MaterialyA\Prog_Uzyt\PRACMAG\5prze.doc
2009-lis-06, 19:31
LEMAT (o zbieżności ciągu zawierającego podciąg zbieżny)
& CAU Dany jest ciąg Cauchy’ego & .
Q
Wiadomo, że pewien jego podciąg J&P L
" FUN UU #, #
jest zbieżny do Q. Wówczas ciąg & jest
R
X ; & CNVW zbieżny do Q.
J&F> L CNVW Rys. 3
Dowód:
1) Ustalmy
a) Q ;
b) & CAU ;
" FUNUU #, #
X, (W2) & CNVW . Sprawdzenie
2) Oznaczmy: (W1) R
J&F> L CNVW formuły (W1) ; (W2):
a) Z rozwinięcia (W2) wynika <HI, DFG <EF & , ;
b) Ustalmy 0.
c) Konstrukcja #:
i) Z (W1) bierzemy FUNUU #, # takie, że (W3) J&F> L CNVW ;
ii) Z rozwinięcia (W3) mamy (W4) <HK I, DFK G <EFK J&F> , L ( ;
iii) W (W4) podstawiamy ( i bierzemy ( # takie, że (W5) <EFK J&F> , L (
2
;
2
iv) Z rozwinięcia 1)b) mamy <HZ I, DFZ G <,EFZ & , & 2 ;
(
v) W iv) podstawiamy 2 i bierzemy 2 # takie, że <,EFZ & , & ;
2
2
vi) Określamy &[( , 2 \.
d) Ustalmy .
e) Sprawdzenie formuły:
i) Ponieważ ( , więc w c)iii) podstawiamy i otrzymujemy J&F> , L (
.
ii) Z c)vi) i d) mamy 2 oraz z faktu 3 (z preliminariów) mamy: .
(
2
-3-
(
G:\dydaktyka\MaterialyA\Prog_Uzyt\PRACMAG\5prze.doc
2009-lis-06, 19:31
iii) W c)v) podstawiamy , i otrzymujemy J& , &F> L .
iv) Szacujemy: & , J& , &F> L 0 J &F> , L 0 .
(
2
(
2
(
2
TWIERDZENIE 5.1 (warunek równoważny Cauchy’ego)
Niech oraz jest ciągiem
o wyrazach w zbiorze . Ciąg jest
SEQ
ciągiem Cauchy’ego w wtedy i tylko
: 0
wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej
"
#
d
dodatniej , istnieje liczba naturalna taka,
CAU ` b
]#
że dla dowolnej liczby naturalnej ] zachodzi:
aJ , ^_ L c
J , ^_ L .
-4-