Zadania kwalifikacyjne na obóz w Pasterce 2014

Zadania kwalikacyjne na obóz w Pasterce 2014
Spo±ród poni»szych zada« wybierz i rozwi¡»
pi¦¢.
Je±li obawiasz si¦ bª¦du, mo»esz przygotowa¢ sze±¢ (ale nie wi¦cej)
rozwi¡za« we¹miemy pod uwag¦ pi¦¢ najlepszych.
Ilo±¢ gwiazdek w nawiasach informuje o trudno±ci zada«. Šatwe zadania s¡ wprowadzeniem do niektórych trudniejszych. Oczywi±cie opªaca si¦ rozwi¡za¢ trudniejsze zadania (ile gwiazdek, tyle punktów). Mo»na dosta¢ dodatkowy
punkt za elegancj¦ rozwi¡zania (np. ªadn¡ interpretacj¡ kombinatoryczn¡).
Uwaga!
Zadania z du»¡ ilo±ci¡ gwiazdek stanowi¡ pewne wyzwanie i prawie na pewno nie rozwi¡»esz ich od razu.
Je±li nie poddadz¡ si¦ wcale, nie zaªamuj si¦ i wybierz prostsze! W poprzednich latach próg kwalikacji znajdowaª si¦
poni»ej 15 punktów (cho¢ oczywi±cie nie wiem, jak b¦dzie w tym roku).
Twoje rozwi¡zania powinny by¢
dobrze uzasadnione oraz kompletne. Nie powoªuj si¦ na fakty, które nie s¡ dla
Ciebie oczywiste je±li chcesz skorzysta¢ z jakiego± twierdzenia, podaj
zrozumiaªy
dla Ciebie dowód albo napisz,
gdzie mo»na go znale¹¢.
Swoje rozwi¡zania mo»esz przesªa¢ do mnie e-mailem (wówczas potwierdz¦ odbiór), lub do biura Funduszu. Termin
nadsyªania rozwi¡za« b¦dzie podany na stronie Funduszu:
www.fundusz.org.
Je±li nie udaªo mi si¦ sformuªowa¢ w zrozumiaªy sposób jakiego± zadania, lub je±li chciaª(a)by± spyta¢ mnie o cokolwiek, pisz ±miaªo na mój adres e-mail.
Powodzenia,
Aleksander Zabªocki
[email protected]
Zadanie 1
(?
? ?).
Cz¡steczka w¦glowodoru skªada si¦ z atomów w¦gla (maj¡cych zawsze 4 wi¡zania z innymi ato-
mami) oraz wodoru (maj¡cych 1 wi¡zanie). Rozwa»amy takie w¦glowodory, w których wszystkie wi¡zania s¡ pojedyncze, ale mog¡ wyst¦powa¢ rozgaª¦zienia, a nawet cykle:
H
H
H
H
C
C
C
H
H
H
H
H
C
H
H
H
H
C
C
C
C
H
H
H
H
H
C4 H10 (bez cykli)
H
C
C
H
H
H
C6 H12 (zawiera cykl)
Sam wzór sumaryczny postaci Ca Hb nie daje peªnej wiedzy o ksztaªcie cz¡steczki, ale znaj¡c
czy zawiera ona cykle. Znajd¹ t¦ reguª¦ i przedstaw matematyczny
aib
dowód jej poprawno±ci.1
mo»na stwierdzi¢,
W poni»szych dwóch zadaniach rozwa»amy turnieje siatkówki, w których ka»da dru»yna gra jeden raz z ka»d¡ inn¡,
a o wyniku decyduje wyª¡cznie sumaryczna liczba punktów (1 za zwyci¦stwo, 0 za przegran¡, nie ma remisów).
Zadanie 2 (? ? ?).
Udowodnij, »e je±li w turnieju uczestniczyªo
n
dru»yn, to mo»na je ustawi¢ w ci¡g w taki sposób,
»e pierwsza dru»yna w ci¡gu wygraªa swój mecz z drug¡, druga z trzeci¡ itd., wreszcie
z
(n − 1)-sza
wygraªa swój mecz
n-t¡.
Bonus (?).
Czy
n-ta
dru»yna w powy»szym ci¡gu musi by¢ ostatnia wg ª¡cznej punktacji? Czy mo»e by¢ (jedynym)
zwyci¦zc¡ turnieju?
Zadanie 3 (??).
Na koniec pewnego turnieju okazaªo si¦, »e nie byªo »adnych remisów równie» pod wzgl¦dem ª¡cznej
punktacji. Udowodnij, »e dla ka»dych
z dru»yn¡ zajmuj¡c¡
Zadanie 4 (? ? ?).
ª¡cznie maj¡
j -te
i < j,
dru»yna zajmuj¡ca w klasykacji ko«cowej
i-te
miejsce wygraªa mecz
miejsce.
Mapa pewnego miasta przypomina szachownic¦: jest 75 ulic poziomych i 75 pionowych, które
75 × 75
skrzy»owa«. Odlegªo±¢ mi¦dzy dwoma s¡siednimi skrzy»owaniami wynosi zawsze 100 metrów.
Na ka»dym skrzy»owaniu stoi skrzynka pocztowa. Listonosz chce przej±¢ obok ka»dej z nich; ponadto chce wyruszy¢
ze swojego domu (stoj¡cego tu» obok pewnego skrzy»owania) i tam te» zako«czy¢ obchód. Jaka jest minimalna dªugo±¢
ª¡cznej drogi listonosza? Czy odpowied¹ zale»y od tego, przy którym skrzy»owaniu stoi jego dom?
1 Cho¢by
Ci¦ korciªo, nie opisuj 15 rodzajów w¦glowodorów spotykanych najcz¦±ciej w przyrodzie. Taki opis nie tworzy dowodu.
1
W poni»szych zadaniach zakªadamy, »e
Zadanie 5
.
(??)
Na przyj¦ciu byªo
znajomo±¢ jest relacj¡ symetryczn¡ (je±li A zna B, to B zna A).
100
osób. Udowodnij, »e w±ród nich musz¡ znale¹¢ si¦ albo trzy takie, które si¦
wszystkie znaj¡, albo trzy takie, w±ród których »adne dwie si¦ nie znaj¡.
Bonus (?).
Podan¡ powy»ej liczb¦
100
mo»na by znacznie zmniejszy¢. Znajd¹ najmniejsze
musi by¢ speªniona na dowolnym spotkaniu
Zadanie 6 (??).
n
n
takie, »e teza zadania
osób.
Na przyj¦ciu byªo 60 osób. Okazaªo si¦, »e ka»de dwie osoby (znaj¡ce si¦ lub nie) miaªy przynajmniej
jednego wspólnego znajomego. Udowodnij, »e na przyj¦ciu byªa osoba maj¡ca przynajmniej o±mioro znajomych.
W poni»szych zadaniach zakªadamy, »e
województwa
s¡ spójne (nie skªadaj¡ si¦ z osobnych cz¦±ci).
Graniczenie
oznacza posiadanie wspólnego odcinka, nie wystarczy punkt (np. czarne pola na szachownicy nie granicz¡ ze sob¡).
Zadanie 7 (??). Czy Polsk¦ da si¦ podzieli¢ na 37 województw tak, »eby ka»de graniczyªo dokªadnie z trzema innymi?
Zadanie 8 (? ? ??). Czy Polsk¦ da si¦ podzieli¢ na 16 województw tak, »eby ka»de graniczyªo dokªadnie z pi¦cioma
innymi i »eby granica pa«stwa przebiegaªa przez dokªadnie 9 z nich?
Denicja.
X
Niech
b¦dzie zmienn¡ losow¡ o warto±ciach naturalnych (np. wynik rzutu ko±ci¡). Zachowanie takiej
k jej prawdopodobie«stwo pk (np. »eby opisa¢
p1 = . . . = p6 = 61 , za± dalsze pk wynosz¡ 0).
p1 + 2 · p2 + 3 · p3 + . . .. Intuicyjnie, jest to ±rednia warto±¢
zmiennej mo»emy opisa¢, podaj¡c dla ka»dej potencjalnej warto±ci
zachowanie zwykªej ko±ci do gry, wystarczy wiedzie¢, »e
Warto±ci¡ oczekiwan¡
zmiennej
X,
zmiennej
X
nazywamy sum¦
gdyby spyta¢ o t¦ warto±¢ w sposób losowy i niezale»ny bardzo wiele razy.
3 21 . Warto±¢ oczekiwana czasu jazdy poci¡giem z Warszawy
1
do Krakowa (zwykle 3 godziny, ale
4 szansy na godzinne opó¹nienie) to 195 minut.
Na przykªad warto±¢ oczekiwana wyniku rzutu ko±ci¡ to
Zadanie 9 (? ? ?).
Adam rzuca monet¡ tak dªugo, a» otrzyma po kolei dwa ró»ne wyniki. Nast¦pnie rzuca tak dªugo,
a» wypadnie ponownie pierwszy z tamtych wyników. Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ ª¡cznej liczby rzutów.
Zadanie 10
(?
? ??).
Adam i Bartek rzucaj¡ na przemian monet¡; mo»liwe wyniki to O (orzeª) i R (reszka). Gra
zako«czy si¦, gdy w trzech kolejnych rzutach wypadnie OOO (wtedy wygrywa Adam) lub RRO (wtedy wygrywa
Bartek). Oblicz prawdopodobie«stwo wygranej dla ka»dego z graczy.
Denicja.
Peªnym drzewem binarnym wysoko±ci n nazywamy graf posiadaj¡cy jeden korze«, który ma dwóch synów,
n-tym pokoleniu wª¡cznie. Graf ten b¦dziemy
B3 . Odlegªo±ci¡ mi¦dzy dwoma wierzchoªkami jest
odlegªo±¢ mi¦dzy wyró»nionymi poni»ej wierzchoªkami wynosi 5. Gª¦boko±ci¡
oni maj¡ z kolei po dwóch synów i tak dalej, a» do potomków w
Bn .
oznacza¢ symbolem
Poni»sze rysunki przedstawiaj¡
ilo±¢ kraw¦dzi na ª¡cz¡cej je ±cie»ce; np.
B1
oraz
wierzchoªka jest jego odlegªo±¢ od korzenia.
•
•
•
•
•
•
•
Zadanie 11 (? ? ?).
W grae
•
B100
•
◦
•
•
•
•
◦
•
•
•
wybrano 2012 wierzchoªków maj¡cych gª¦boko±¢ mniejsz¡ ni»
100
i pokolorowano
je na czerwono. Udowodnij, »e istnieje co najmniej 2012 kraw¦dzi ª¡cz¡cych wierzchoªek czerwony z czarnym.
Zadanie 12
(? ? ??). Oblicz sum¦ gª¦boko±ci wszystkich wierzchoªków w grae Bn . (Chodzi o wynik w zwartej
P
bez dªugich sum, wielokropków, symboli itp.)
Zadanie 13 (? ? ? ? ?). Oblicz sum¦ odlegªo±ci pomi¦dzy wszystkimi mo»liwymi parami wierzchoªków w grae Bn .
postaci, tzn.
Przykªadowo, dla
Zadanie 14
(?
n=1
? ? ? ?).
jest to
1 + 1 + 2 = 4.
(Chodzi o zwarty wynik patrz poprzednie zadanie)
Po powierzchni sze±cianu chodzi mrówka. Jej podró» rozpoczyna si¦ z pewnego wierzchoªka,
ale nie wzdªu» kraw¦dzi.
Id¡c po jednej ±cianie mrówka porusza si¦ na wprost.
Kiedy ±ciana si¦ ko«czy i mrówka
dochodzi do kraw¦dzi, przechodzi na wprost na nast¦pn¡ ±cian¦ (je±li to jest dla Ciebie niezrozumiaªe, usu« cztery
pozostaªe ±ciany, za± dwie rozwa»ane ±ciany rozªó» wzdªu» przekraczanej kraw¦dzi na pªasko wówczas tor ruchu
mrówki b¦dzie fragmentem linii prostej). Doj±cie do któregokolwiek wierzchoªka oznacza koniec w¦drówki.
Czy jest mo»liwe, »e mrówka wróci do wierzchoªka, z którego wyruszyªa?
Denicja. Zapis a ≡ b
Zadanie 15 (? ? ? ? ?).
a1 , . . . , a2n
(mod n)
Niech
n
oznacza, »e
daj¡ t¦ sam¡ reszt¦ z dzielenia przez
b¦dzie liczb¡ naturaln¡.
Udowodnij, »e liczby
n.
1, 2, . . . , 2n
tak, »e
ak+1 ≡ 2ak
dla
aib
k = 1, 2, . . . , 2n
(przyjmujemy, »e
(mod 2n)
lub
a2n+1 = a1 ).
2
ak+1 ≡ 2ak − 1
(mod 2n)
mo»na ustawi¢ w ci¡g