Mechanika Teoretyczna A

Mechanika Teoretyczna A
Lista nr 8
Zadanie 1.
Po powierzchni sto»ka o k¡cie wierzchoªka 2Θ porusza si¦, bez tarcia, koralik
o masie m. O± obrotu sto»ka jest równolegªa do kierunku siªy ci¡»enia, a wierzchoªek wskazuje jej kierunek. Wyznaczy¢:
• hamiltonian ukªadu oraz odpowiednie równania Hamiltona,
• wyznaczy¢ równania ruchu,
• udowodni¢, »e dla ka»dego rozwi¡zania równa« Hamiltona istnieje para
warto±ci zmin i zmax , dla których ruch w tej osi jest ograniczony, tzn.
z ∈ [zmin , zmax ],
• porównaj otrzymane rozwi¡zanie z rozwi¡zaniem zadania 2 z listy 6.
Zadanie 2.
Obecnie bardzo popularne s¡ skoki na bungee. Liny, na jakich s¡ zwieszeni
±miaªkowie, s¡ bardzo spr¦»yste i z tego te» wzgl¦du pr¦dko±¢ jest wytracana
stopniowo, nie zabijaj¡c skoczków. Tu» po skoku skoczek zaczyna wpada¢ w
oscylacje na takiej linie. Prosz¦ wyznaczy¢ okres tych oscylacji dla skoczka o
masie m, skacz¡cego na linie o dªugo±ci L (lina ma staª¡ materiaªow¡ równ¡ k
i zakªadamy jedynie oscylacje w osi pionowej tzn. góra-dóª). Jednak w obawie
o bezpiecze«stwo skoczka uwzgl¦dnimy mas¦ liny. Zakªadamy, »e lina ma mas¦
M rozªo»on¡ równomiernie na caªej swojej dªugo±ci oraz rozci¡ga si¦ równie»
równomiernie. Wyznaczy¢ hamiltonian ukªadu oraz równania Hamiltona.
Zaªó»my, »e przeci¦tny czªowiek (m = 75kg ) potra znie±¢ bez kªopotów
»oª¡dkowych i z determinacj¡ do skoku, przeci¡»enie do 4g . Wyznaczy¢ staª¡
materiaªow¡ k jak¡ musi mie¢ lina o dªugo±ci L = 8m, aby ±miaªek wróciª po
skoku z obiadem w »oª¡dku.
Zadanie 3.
Sprawd¹, »e nawias Poissona
[f, g] =
X ∂f ∂g
∂f ∂g −
∂qj ∂pj
∂pj ∂qj
j
speªnia to»samo±¢ Jacobiego:
[f, g], h + [g, h], f + [h, f ], g = 0
oraz »e zachodz¡ zwi¡zki przemienno±ci
[qi , qk ] = 0,
[pi , pk ] = 0
1
i podstawowe nawiasy Poissona (NP):
[qi , pk ] = δik .
Udowodnij, »e przeksztaªcenie
Qi = ln(1 +
√
q i cos pi ),
Pk = 2(1 +
√
√
q k cos pk ) q k sin pk
jest kanoniczne, tzn. »e Qi , Pk speªniaj¡ podstawowe NP.
Zadanie 4.
Przeksztaªcenie zmiennych q i p dane jest wzorami
Q=
p
1 + qκ ,
P =p
p
1 + q −λ .
Dla jakich warto±ci parametrów κ > 0, λ > 0 jest ono przeksztaªceniem kanonicznym?
Zadanie 5.
Czy przeksztaªcenie o funkcji tworz¡cej
F (q, P, t) = qP −
P 2t
2m
jest przeksztaªceniem kanonicznym hamiltonianu H = p2 /2m − V (q)?
Zadanie 6.
Rozwa»my ukªad z jednym stopniem swobody, hamiltonianem H = H(p, q)
oraz now¡ par¡ zmiennych P, Q zwi¡zanych ze starymi w nast¦puj¡cy sposób:
√
q=
√
2P sin Q
p=
2P cos Q
1. udowodnij, »e je»eli ∂H/∂q = −ṗ i ∂H/∂p = q̇ , to wynika st¡d ∂H/∂Q =
−Ṗ i ∂H/∂P = Q̇. Co z tego wynika?
2. udowodnij, »e hamiltonian jednowymiarowego oscylatora z mas¡ m = 1 i
staªa k = 1 wynosi H = 12 (p2 + q 2 )
3. udowodnij, »e je»eli przepiszemy hamiltonian za pomoc¡ nowych zmiennych P, Q, to wtedy Q mo»emy pomin¡¢ w dalszych rozwa»aniach. Co to
wtedy b¦dzie P ?
4. rozwi¡» równanie hamiltona dla Q(t) i sprawd¹, »e rozpisane przy pomocy
q daje spodziewane zachowanie.
2