1996.10.26 - Matematyka Ubezpieczeń Maj¹tkowych

Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.
Matematyka Ubezpieczeń Majątkowych
Zadanie 1
(
)
Z teorii uŜyteczności wybierze tak by: EX − E I (1) ( x) min
EX = 0,08 + 2 ⋅ 0,08 + 3 ⋅ 0,04 = 0,36
(
E (I
)
( x) ) = E (I
E I (1) ( x) = 0,36
( 2)
( 3)
)
( x) = 0,24 → I (1) ( x)
Zadanie 2
Z Panjera
P ( S ≥ 3) = 1 − P ( S = 0) − P ( S = 1) − P ( S = 2)
k
λj
P(Y = j ) P( S = k − j )
j =1 k
P( S = k ) = ∑
P ( S = 0) = e − 0 , 2
P ( S = 1) = 0,2 ⋅ 0,5e −0, 2
0,2
P ( S = 2) =
0,5 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5e −0, 2 + 0,2 ⋅ 0,3e −0, 2
2
ODP = 1 − e −0, 2 − 0,1e −0, 2 − 0,005e −0, 2 − 0,06e −0, 2 = 1 − 1,165e −0, 2
Zadanie 3
Tabela zmienia się:
0
0,5
1
0,3
2
0,1
3
0,1
P ( S = 0) = P ( N = 0) + P ( N = 1)0,5 + P ( N = 2)0,5 2 + ... =
 0,2 0 −0, 2 0,2 ⋅ 0,5 −0, 2 (0,2 ⋅ 0,5)2 −0, 2

1
=
e
+
e
+
e
+ ... e 0, 2⋅0,5 0, 2⋅0,5 = e −0, 2⋅0,5 = e −0,1
1!
2!
e
 0!

14444444444244444444443
1
Z Panjera:
P ( S = 1) = 0,2 ⋅ 0,3e −0,1
0,2
0,2 ⋅ 2
P ( S = 2) =
0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3e −0,1 +
0,1e −0,1 = 0,0218e −0,1
2
2
Zadanie 4
E (max(Y − Z ;0)) = ∫
∞
y−2
⋅ 3dy = 1 + y = t = ∫
(1 + y )
1
1
ODP = E ( N ) E ( Z ) = 0,1 =
18 180
4
2
∞
3
(t − 3)3 dt =
t
4
∞
∫3
3
t
3
−
9
t
4
=
1
18
Zadanie 5
C N (t ) = C K (C M (t ) )
′ (t )
C N′ (t ) = C K′ (C M (t ) )C M
′ (t )] + C K′ (C M (t ) )C M
′′ (t )
C ′N′ (t ) = C K′′ (C M (t ) )[C M
2
2
var N = C N′′ (0) = var K [E ( M )] + E ( K ) var M = 0,3 ⋅ 0,5 2 + 0,3 ⋅ 0,5 = 0,225
EN = C ′N (0) = EKEM = 0,5 ⋅ 0,3 = 0,15
C S (t ) = C N (CY (t ) )
C S′ (t ) = C N′ (CY (t ) )CY′ (t )
C S′′ (t ) = C N′′ (CY (t ) )[CY′ (t )]2 + C N′ (CY (t ) )CY′′ (t )
(
)
(
var S = C S′′ (0) = var N ( EY ) 2 + EN var Y = 0,225 p12 + 0,15 p 2 − p12 = 0,15 p 2 + 0,5 p12
)
Zadanie 6
( )
( )
( )
(
)
var θˆ3 = z 2 var θˆ1 + (1 − z ) 2 var θˆ2 + 2 z (1 − z ) cov θˆ1 ; θˆ2 =
(
= 2 z + 4(1 − z ) + 2 2 z − 2 z
b
4
= =1
z min = −
2a 4
2
2
2
) = 2z
2
− 4z + 4
Zadanie 7
0 x < 0

F1 ( x) = 0,8 + 0,1x x ∈ [0;1)
1 x ≥ 1

0 x < 0

F2 ( x) = 0,7 + 0,1x x ∈ [0;2)
1 x ≥ 2

∞
P( X 1 + X 2 ≤ w) = ∫ F1 ( w − x)dF2 ( x) = F1 ( w − 0)0,7 + F1 ( w − 2)0,1 + ∫ F1 ( w − x)0,1dx
2
−∞
0
P( X 1 + X 2 ≤ 2) = 0,7 + 0,8 ⋅ 0,1 + ∫ 0,1 + ∫ [0,8 + 0,1(2 − x)]0,1 = 0,965
1
0
dla w ∈ [0;1)
2
1
0,01w 2
(0,8 + 0,1w)0,7 + ∫ [0,8 + 0,1( w − x)]0,1dx = 0,56 + 0,07 w + 0,08w + 0,01w −
=
0
2
= 0,56 + 0,15w + 0,005w 2
w
ODP = F () − F (1− ) = 0,965 − 0,56 − 0,15 − 0,005 = 0,25
2
Zadanie 8
(
= (800 ⋅ 2 + 3
)
Π 1 = 900 + 3 900 ⋅ 4 / 900 = 1,2
Π2
Π 1*
Π 1*
< 1,2 ∧ Π *2
)
800 ⋅ 8 / 800 = 2,3
< 2,3
min gdy Π *2 i na odwrót
( ) (
( ))
inf (Π ) = (skl.calk − 900 sup (Π ))/ 800
skl.calk = (900 + 800 ⋅ 2 + 3 900 ⋅ 4 + 800 ⋅ 8 ) = 2800
inf (Π ) = (2800 − 800 sup(Π ))/ 900
inf (Π ) = (2800 − 900 sup(Π ))/ 800
inf Π 1* = skl.calk − 800 sup Π *2 / 900
*
2
*
1
*
1
*
2
*
2
*
1
Z tego wynika:
Π *2 ∈ (2,15;2,3)
Zadanie 9
Bowers:
[
]
1. M L (r ) = M N log M L1 (r ) =
( )
2
θ
1 + θ − M L1 (r )
1.=
0
(
)
1 2r
e −1
2r
2 rθ
M L1 (r ) = E e rL1 = ∫ e rt 0,5dt =
θ
2rθ
=
=
2
r
2r
1 2r
1+ θ −
e − 1 2r + 2rθ − e + 1 1 + 2r (1 + θ ) − e
2r
(
)
Zadanie 10
M W (r ) = e cr
6
1
E e rW = e r + e 4 r = e 2 r
7
7
r
4r
2r
6e + e − 7e = 0 e r = x
6x + x 4 − 7 x 2 = 0
( )
x ( x 3 − 7 x + 6) = 0
x = 0 odpada
x 3 − 7 x + 6 = x 3 − x − 6 x + 6 = x( x 2 − 1) − 6( x − 1) = ( x − 1)[x( x + 1) − 6] = 0
x=1 odpada bo r=0
x2 + x − 6 = 0
∆ = 25
−1− 5
odpada
x1 =
2
−1+ 5
x2 =
=2
2
er = 2
R = ln 2