Rozważania na temat torów planet ( )

Ryszard Chybicki
TORY PLANET
(Rozważania na temat kształtów torów ruchu planety wokół stacjonarnej gwiazdy)
(Posługiwanie się przez osoby trzecie tym artykułem lub jego istotnymi fragmentami bez wiedzy autora jest wzbronione)
MIELEC 2002
Planecie o masie m, znajdującej się w odległości a od gwiazdy o masie M nadano prędkość
V0 (jak na rysunku 1.)
Należy wyznaczyć równania możliwych torów, po których będzie poruszać się ta planeta (w
zależności od V0 i a).
Przyjąć, ze gwiazda jest masą stacjonarną.
Równanie ruchu planety o masie m obiegającej gwiazdę o masie M we
współrzędnych biegunowych ma postać:
d 2r
Mm mV
m 2 = −G 2 +
r
dt
r
2
Równanie to mówi, że siła wypadkowa działająca na m jest sumą sił grawitacji i siły
odśrodkowej. Sytuację tę przedstawia rysunek:
Rys.1
Ponieważ w dalszym ciągu zamierzamy posługiwać się współrzędnymi biegunowymi,
gdzie zmiennymi są długość promienia wodzącego (r) i kąt, jaki tworzy on z osią x (ϕ), wobec
tego wyraźmy siłę odśrodkową w funkcji prędkości kątowej ω:
V =ω ⋅r
Wtedy otrzymamy:
m
W tym równaniu zarówno
d 2r
mM
= −G 2 + mω 2 r
2
dt
r
(1)
r = r(t) jak i ω = ω(t)
W tego typu ruchu planety względem gwiazdy wiadomo, że pęd planety J w każdym
punkcie toru ruchu jest wielkością stałą, czyli
J = const
Ponieważ wiadomo, że w ruchu obrotowym
J = m ⋅ V⊥ r ⋅ r = m ⋅ ω ⋅ r ⋅ r = m ⋅ ω ⋅ r 2
więc
ω2 =
J2
m2 ⋅ r 4
(2)
( V⊥r oznacza prędkość „prostopadłą” do promienia r.)
Podstawiając wyrażenie (2) do wzoru (1) otrzymujemy:
d 2r
mM
J2
m 2 = −G 2 +
dt
r
mr 3
(2’)
( J = const )
Jak się okazało w praktyce, powyższe równanie będzie łatwiej rozwiązać, jeżeli
zmienną r wyrazimy nie w funkcji czasu (t) lecz w funkcji kąta (ϕ). Można tego dokonać
poprzez następujące przekształcenia:
dr dr ⋅ dϕ dr
=
=
⋅ω ,
dt dϕ ⋅ ⋅dt dϕ
lecz uwzględniając wzór (2) otrzymamy:
dr dr J
=
⋅
.
dt dϕ mr 2
Obliczmy drugą pochodną tego wyrażenia względem czasu:
d 2 r d ⎛ dr ⎞ J
dr d ⎛ J ⎞
⎟⎟ ⋅ 2 +
= ⎜⎜
⋅ ⎜
⎟
2
dt ⎝ dϕ ⎠ mr
dϕ dt ⎝ mr 2 ⎠
dt
⎛ J 2 dr dϕ ⎞ dr
d 2 r ⎛ d 2 r dϕ ⎞ J
⎟⎟ 2 − ⎜⎜ ⋅ 3 ⋅
⎟⎟
= ⎜⎜ 2 ⋅
⋅
;
2
dt
⎝ m r dϕ dt ⎠ dϕ
⎝ dϕ dt ⎠ mr
[wzór (2)] więc:
2
ale
czyli:
dϕ
J
=ω =
dt
mr 2
2
d 2r d 2r ⎛ J ⎞
2 J ⎛ dr ⎞
J
⎟⎟ ⋅ 2
=
⋅
− 3 ⋅ ⋅ ⎜⎜
2
2 ⎜
2 ⎟
dt
dϕ ⎝ mr ⎠
r m ⎝ dϕ ⎠ mr
(3)
Jest to nadal nasze równanie wyjściowe, lecz nieco przekształcone i obustronnie
podzielone przez m. Zauważmy, że po prawej stronie nie występuje czas t, ponieważ
„zniknął” w wyrażeniu dϕ/dt. Aby je rozwiązać, wprowadźmy następujące oznaczenie:
w(ϕ ) =
1
r (ϕ )
(3’)
Obliczmy drugą pochodną tej nowej zmiennej względem kąta ϕ :
dw
1 dr
=− 2
,
dϕ
r dϕ
zatem druga pochodna względem kąta ϕ ma postać:
1 d 2 r ⎛ 2 dr ⎞ dr
1 d 2r
2 ⎛ dr ⎞
d 2w
⎟⎟ ⋅
⎟
=− 2
+ ⎜⎜ 3
=− 2
+ 3 ⎜⎜
2
2
2
dϕ
r dϕ
r dϕ
r ⎝ dϕ ⎟⎠
⎝ r dϕ ⎠ dϕ
2
(4)
2
⎛ J ⎞
Wyciągnijmy we wzorze (3) przed nawias czynnik ⎜
⎟ ; otrzymamy wówczas:
⎝ mr ⎠
d 2r ⎛ J ⎞
=⎜
⎟
dt 2 ⎝ mr ⎠
2
⎡ 1 d 2 r 2 ⎛ dr ⎞ 2 ⎤
⎟ ⎥
− 3 ⎜⎜
⎢ 2
2
r ⎝ dϕ ⎟⎠ ⎥⎦
⎢⎣ r dϕ
⎛ d 2w ⎞
⎟,
ale wyrażenie w nawiasie kwadratowym to wyznaczone równaniem (4) ⎜⎜ −
2 ⎟
⎝ dϕ ⎠
czyli można zapisać, że:
2
2
2
1 ⎛ J ⎞ d 2w
d 2r
⎛ J ⎞ d w
=− 2⎜ ⎟
= −⎜
⎟
2
dt 2
r ⎝ m ⎠ dϕ 2
⎝ mr ⎠ dϕ
Powyższe równanie wstawimy do wzoru (2’), zapisanego w ten sposób:
2
d 2r
GM ⎛ J ⎞ 1
= − 2 +⎜ ⎟ ⋅ 3
2
dt
r
⎝m⎠ r
Otrzymujemy w efekcie:
1
r2
2
2
1 ⎛J⎞
⎛J⎞ d w 1
= 2 GM − 3 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
2
r
r ⎝m⎠
⎝ m ⎠ dϕ
2
czyli
2
2
⎛J⎞
⎛J⎞ d w
= w 2 GM − w 3 ⎜ ⎟
w2 ⎜ ⎟
2
⎝m⎠
⎝ m ⎠ dϕ
2
/: w2
otrzymujemy ostatecznie:
d 2w
GM
+w=
2
2
dϕ
⎛J⎞
⎜ ⎟
⎝m⎠
Wiadomo jednak, że pęd J jest stały w każdym punkcie toru, czyli także w
punkcie najbliższym gwiazdy, czyli :
J = m ⋅ V0 ⋅ a
zatem ostatecznie:
GM
d 2w
+w=
2
dϕ
(a ⋅ V0 )2
(patrz rysunek wyżej)
Rozwiązaniem tego równania II-go stopnia jest funkcja:
w = A cos ϕ +
GM
czyli
(aV0 )2
1
GM
= A cos ϕ +
r
(aV0 )2
r=
1
GM
(aV0 )
2
+ A cos ϕ
=
(aV0 )2
1
⎤
GM ⎡ A(aV0 )
1+
cos ϕ ⎥
2 ⎢
GM
(aV0 ) ⎣⎢
⎦⎥
2
Otrzymaliśmy ostatecznie wyrażenie na r :
(aV0 )2
r=
GM
2
A(aV0 )
1+
cos ϕ
GM
=
GM
2
A(aV0 )
1+
cos ϕ
GM
Wyrażenie to jest uniwersalnym wzorem krzywych stożkowych o parametrze skali p :
p=
(aV0 )2
GM
i parametrze kształtu (mimośrodzie) ε :
A(aV0 )
ε=
= A⋅ p
GM
2
W tej sytuacji pozostaje wyznaczyć stałą A na podstawie założenia, że dla ϕ = 0ο
masa m znajduje się w odległości a od masy M czyli:
(
)
r ϕ = 0o = a =
p
p
=
o
1 + Ap
1 + Ap cos 0
A=
a stąd :
1 1
−
a p
Zatem ostateczne wyrażenie określające zależność r(ϕ, a, Vo) wyraża się wzorem :
r=
p
p
=
⎛1 1⎞
⎛p ⎞
1 + ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ p ⋅ cos ϕ 1 + ⎜ − 1⎟ ⋅ cos ϕ
⎝a
⎠
⎝a p⎠
a dokładnie :
(aV0 )2
r (ϕ , a, V0 ) =
GM
⎛ aV02
⎞
⎜
1+ ⎜
− 1⎟⎟ ⋅ cos ϕ
⎝ GM
⎠
Poniższy rysunek obrazuje oznaczenia użyte w tym wzorze
( G – stała grawitacji)
(5)
Sprawdźmy, czy dla przypadku, w którym siła odśrodkowa, działająca na masę M
jest równa sile dośrodkowej, działającej na masę m, wyrażenie (5) przedstawia sobą okrąg
(bo jest to przypadek ruchu po okręgu)?
Wiadomo, że w ruchu po okręgu o promieniu a z prędkością V0 mamy zależność:
mV02 GmM
=
a
a2
V02 =
czyli
GM
a
Postawmy tę wartość V02 do wzoru (5) – otrzymamy wówczas:
r=a
czyli rzeczywiście mamy do czynienia z ruchem po okręgu o promieniu a.
Wyrażenie (5) jest wzorem określającym w sposób ogólny krzywą stożkową,
co oznacza, że w zależności od parametrów p i ε może to być okrąg, elipsa, parabola
lub hiperbola. Sprawdźmy, w jaki sposób zależy to od prędkości V0 ?
Przepiszmy jeszcze raz równanie uniwersalne w postaci uproszczonej:
r=
p
⎛p ⎞
1 + ⎜ − 1⎟ ⋅ cos ϕ
⎝a ⎠
p
−1
a
Mamy zatem do czynienia z następującymi przypadkami:
W wyrażeniu tym ε =
ε <0
Przypadek 1:
p
−1 < 0
a
p
<1
a
p<a
(aV0 )2
GM
<a
ostatecznie otrzymujemy, że
GM
czyli ruch po elipsie
V02 =
GM
a
czyli mamy do czynienia z
=a
ostatecznie dostajemy, że
ruchem po okręgu
Przypadek 2:
p
0 < −1 < 1
a
p
1< < 2
a
a < p < 2a
a<
GM
a
ε =0
Przypadek 1:
p
−1 = 0
a
p
=1
a
p=a
(aV0 )2
V02 <
(aV0 )2
GM
0 〈 ε 〈1
< 2a
w tym przypadku otrzymujemy
GM
GM
czyli ruch po elipsie
〈 V02 〈 2
a
a
Przypadek 3: ε = 1
p
−1 = 1
a
p
=2
a
p = 2a
(aV0 )2
GM
= 2a
w tym przypadku otrzymujemy
V02 = 2
GM
a
czyli ruch po paraboli
Przypadek 4:
p
−1 > 1
a
p
>2
a
p > 2a
(aV0 )2
GM
ε 〉1
> 2a
teraz otrzymujemy
V02 〉 2
GM
czyli ruch po hiperboli.
a
Dla ε < 0 przyjmijmy p = 0.5a wtedy
(elipsa mniejsza)
0.5a
r=
1 − 0.5 cos ϕ
Dla ε = 0 przyjmijmy p = a wtedy
(okrąg)
r=a
Dla 0 < ε < 1 przyjmijmy p = 1.5a
(elipsa większa)
1.5a
r=
1 + 0.5 cos ϕ
Dla ε = 1 przyjmijmy p = 2a
(parabola)
2a
r=
1 + cos ϕ
Dla ε > 1 przyjmijmy p = 3a
(hiperbola)
3a
r=
1 + 2 cos ϕ
Wszystkie powyższe przypadki przedstawiono na rysunku poniżej:
Wyznaczone kształty torów ruchu planety
(opr. Ryszard Chybicki)