Dynamika gazów

1
WYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI GAZÓW
Poprzednio omawialiśmy zagadnienia przepływu płynów nieściśliwych, które doprowadziły
nas do równań Naviera- Stokes’a opisujące ruch płynu ściśliwego i nieściśliwego oraz inne dla
stałej gęstości: Eulera, Bernoulli’ego, reakcje ścianki na płyn.
1. Ocena wpływu pominięcia ściśliwości płynu na dokładność obliczeń
Rozważmy ruch płynu nielepkiego, ale ściśliwego o parametrach początkowych: p1, t1, v1,
który zostanie izentropowo opóźniony do prędkości zerowej, gdzie przyjmuje parametry:
p2, t2, v2=0. Otrzymamy wzór na izentropowy przyrost entalpii:
is ,12
 1





1 2

p

2
 v1 
 RT1    1 jest to zamiana energii kinetycznej na ciśnienie
 p1 

2
 1


Po przekształceniu otrzymamy:

p2
p  p1 p12
1  2

p1
p1
p1
 1 2   1   1
 2 v1  


 1  1
RT1




A wprowadzając liczbę Macha:
v
M 1  1 , gdzie prędkość rozchodzenia się drobnych zaburzeń:
a1
 dp 
p
a       RT

 d  s
Otrzymamy:
1
 1
 v2

p12 2 1 1
p12  2    1



 M1  
 ( M 12  1)  1.
1
1
p1
 

1v12
1v12 2
2
2
Rozwijając nawias w szereg i po przekształceniu otrzymamy:
p12
1
2   4 (2   )(3  2  ) 6
 1  M 12 
M1 
M 1 ...
1
4
3  23
3  4  24
2
1v1
2
dalsze wyrazy tego szeregu nie odgrywają już
większej roli więc można je pominąć.
Jeżeli płyn potraktujemy jako nieściśliwy, to różnica będzie wynosić:
p12 (p12 )   const 1 2 2   4 (2   )(3  2  ) 6


 M1 
M1 
M1
1
1
4
3  23
3  4  24
2
1v1
v1
2
2
JB semestr II 2013/2014
2
Co dla powietrza czyli mieszaniny gazów o   1,4 da nam
M1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
δ [%]
0
0,25
1,004
2,27
4,066
6,406
9,113
12,856
2. Jednowymiarowy ustalony przepływ płynu ściśliwego przez kanał o stałym przekroju.
Zasady zachowania:

m  1 A1v1  Av
zasada zachowania masy.
1
1
entalpia całkowita.
ic  i1  v12  i  v 2
2
2
Analiza zostanie przedstawiona na wykresie i-s , dlatego należy wprowadzić II zasadę
termodynamiki w postaci:
1
du  pd  
    c dT  R d  c di  R d
ds 
v
v
T
T

i

Po scałkowaniu i przekształceniu otrzymamy:
1
1
 1
 1
i1
1  e
s1
R

i
 e
s
R
 C  const
Wprowadźmy również parametry odniesienia: p0  9,8110 4 Pa i T0  273,15K , wówczas
otrzymamy:
2
i0  i i
2
 1
   2s
1 2 m  R
 C   e jest to równanie linii Fanno.
2  A
 

m
Zapiszmy dwa przypadki o tych samych entalpiach i0 i różnych stosunkach :
A
2
i0  ia ia
JB semestr II 2013/2014
2
 1
   2s
1 2  m  Ra
 C   e
2  A
 a
3
2
i0  ib ib
2
 1
   2s
1 2  m  Rb
 C   e
2  A
 b
Dzieląc stronami i przekształcając otrzymamy:
   
   
m
m


sb  sa  s  R ln    ln   
  A
 A 
 b 
   a
Widać, że wartość wyrażenia nie zależy od i czyli linie są równolegle przesunięte
Lokalne maksimum „W” otrzymamy, gdy ds=0, czyli
iW TW
2
, gdzie iW to entalpia w punkcie W.


i0 T0   1
Co oznacza, że w wierzchołku panują parametry krytyczne M W 
va
 1 , w górnej
aW
parametry podkrytyczne (M<1), a w dolnej nadkrytyczne (M>1).
Rozprężając gaz wzdłuż linii Fanno uzyskujemy spadek prędkości i entalpii, aż do M=1 i
analogicznie, jeżeli mamy wypływ naddźwiękowy to możemy go opóźnić jedynie do M=1
gdy kanał ma stały przekrój.
Rozprężanie ma charakter ciągły, ale sprężanie może być skokowe (nieciągłe), czyli w
pewnym przekroju może dojść do skokowej zmiany parametrów (fala uderzeniowa).
Przebieg na wykresie może zachodzić tylko na linii CD; AB-nie zachodzi.
JB semestr II 2013/2014
4
Linia Fanno ma 2 asymptoty: i=i0 oraz i=0
W kanale o stałym przekroju prędkość naddźwiękową uzyskujemy, gdy pojawi się fala
uderzeniowa.
3. Przepływ przez kanał o zmiennym przekroju
Zakładając, że w przepływie nie ma strat (przemiana jest izentropowa) zasady zachowania
mają postać:
 1
 -bilans energii





dp

p
1
i0  i   

RT0 1      v 2 
  p0   2
p


1
p0



 -bilans masy


m  Av


p0
p
 -równanie przemiany izentropowej


C

const


0 



p
"0" oznacza v=0, różniczkując otrzymamy
𝑑𝑝
1
−𝑑𝑖 = −
= 𝑑 ( 𝑣 2 ) = 𝑣𝑑𝑣
𝑝
2
𝑑𝐴 𝑑𝜌 𝑑𝑣 𝑑𝑚̇
+
+
=
=0
𝐴
𝜌
𝑣
𝑚̇
𝑑𝑝
𝑑𝑝
− 
=0
}
𝑝
𝑝
 dp 
  a 2 w pierwszym
Te trzy równania tworzą układ równań. Wykorzystując związek 
d


s
równaniu otrzymamy:
JB semestr II 2013/2014
5

dp


dp d
d

 a 2
 vdv
d 

d
i wstawiając do drugiego układu otrzymamy:

dA vdv dv


0
A a2
v
Skąd po przekształceniu otrzymamy:
Wyznaczając
 dv
dA dv  v 2
  2  1 
M 2 1 .
A
v a
 v


Jest to związek pomiędzy zmianą prędkości dv, zmianą przekroju dA i liczbą Macha.
Widać, że gdy M<1 to dv>0 dla dA<0 i odwrotnie.
v
M<1
dv>0
dv<0
4. Charakterystyka przelotowości kanału
JB semestr II 2013/2014
M>1
6
W przekroju początkowym mając stan poddźwiękowy, a w przekroju wylotowym może
dojść do krytycznego. Strumień masy dany jest wówczas związkiem:
2
 p   p 
m  A
  A    A 
RT0  p0 
 p0 

p0
 1

gdzie parametry „0” to parametry początkowe
a parametry „A” to parametry dla konkretnego przekroju.

Co oznacza, że w miarę obniżania ciśnienia pA do wartości krytycznej pkr, strumień masy m


rośnie do wartości m max . Dalsze obniżanie ciśnienia nie powoduje wzrostu m , pozostawia
on straty- przepustowości kanału o przekroju A (oscylujące ustalenie ciśnienia pkr>p2).
5. Fala uderzeniowa prostopadła
JB semestr II 2013/2014
7
Fala jest prostopadła, gdy powierzchnia nieciągłości parametrów jest prostopadła do
wektora prędkości.
Rozważmy układ tłoka w kanale:
- ruch tłoka wywołuje przesunięcie się zaburzenia o wartości Δp1, Δρ1, ΔT1 z
prędkością a1 co odpowiada prędkości tłoka v1;
- wzrost prędkości do v2 powoduje pojawienie się dodatkowego impulsu Δp2, Δρ2, ΔT2
o prędkości a2, która jest większa od a1;
- kolejne zwiększenia prędkości Δp,, Δρ, ΔT kumulują się gdyż każde następne
zaburzenie przemieszcza się szybciej od poprzedniego;
- sumujące się fale zagęszczeniowe potęgują się tworząc falę o prędkości krytycznej
dla danego przekroju kanału.
Ponieważ:
akr2  RTW  v1  v2 , gdzie v1 to prędkość przed falą, a v2 prędkość za falą.
Oznacza to, że przy przepływie naddźwiękowym za falą musi panować prędkość
poddźwiękowa, a stosunek ciśnienia jest równy:

(   1) 2  (   1)
p2
1
jest to tzw. Adiabata uderzeniowa (adiabata Hugoinota)


p1
(   1)  (   1) 2
1
    1
p
Funkcja ta ma asymptotę  2  
dla której 2   .
p1
 1    1
FALA UDERZENIOWA
Fala uderzeniowa skośna powstaje gdy α<αkr
JB semestr II 2013/2014
8
Gdy α>αkr powstaje fala odsunięta, która charakteryzuje się spadkiem współczynnika
cx.
Przykład: fala lambda jako złożenie fali skośnej i prostopadłej:
JB semestr II 2013/2014