Zadanie 1. Znaleźć minimalną wartość wyrażenia f(x,y,z)=2x-3y

Zadanie 1.
Znale minimaln warto wyra enia f(x,y,z)=2x-3y-5z+2 przy zadanych ograniczeniach:
x+y-z-2>=0, -x>=3+z+y, 2x+y=4+z, x>=0.
Podstawi po zmienna "x_opt" punkt w którym znajduje si warto najmniejsza, pod zmienn
"w_opt" warto funkcji f(x,y,z) w tym punkcie
Do rozwi zania zadania wykorzystujemy funkcj SciLaba linpro(), funkcja f(x,y,z) jest bowiem
wyra eniem liniowym. linpro() znajdzie warto najmniejsz wyra enia f1(x,y,z)=2x-3y-5z.
Funkcj celu zapisujemy w postaci macierzowej jako:
x
T
f ( x, y , z ) = p * y ,
z
Ograniczenia zapisujemy jako:
2
p = −3
−5
2x + y − z = 4
− x − y + z ≤ −2
x + y + z ≤ −3
Polecenia zapisujemy jako:
// parametr m okre la liczb ogranicze równo ciowych
p=[2;-3;-5], C=[2,1,-1;-1,-1,1;1,1,1], b=[4;-2;-3], m=1
// okre lenie zakresu w którym poszukujemy warto ci zmiennych x,y,z
ci=[0;-100000;-100000], cs=[100000;100000;100000]
[x_opt,lagr,f]=linpro(p,C,b,ci,cs,m)
w_opt= f+2
// uzyskane rozwi zanie: x_opt=[0;0.5;-3.5], w_opt=18
Zadanie 2.
Obliczy pole figury ograniczonej krzywymi: y = cos(x)+8; y = x^2+2*x+4
39
35
31
27
23
19
15
11
7
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Jeden ze sposobów rozwi zania polegałby na znalezieniu punktów przeci cia si wykresów obu
funkcji, obliczenia dwóch całek pojedynczych, oraz ich ró nicy.
Polecenia zapisujemy jako:
// znalezienie punktów przeci cia – wykorzystanie funkcji SciLaba
// fsolve() – tworzymy układ równa :
// y - cos(x)- 8 = 0
// y - x^2-2*x-4 = 0
function [y]=fst(z)
// w definiowanej funkcji przyjmujemy z=[x;y]
a=[0,0;-1,0]; b=[0,1;-2,1]; c=[-8;-4]; d=[-1,0;0,0]
y=a*z^2+b*z+c+d*cos(z)
endfunction
// u ycie funkcji fsolve() – pocz tkowym rozwi zaniem punkt (0,0)
xy1=fsolve([0;0],fst);
// znalezione rozwi zanie: xy1=[ 1.2959523; 8.2713968]
xy2=fsolve([-3;0],fst);
// znalezione rozwi zanie: xy2=[ - 3.0024159; 7.0096695]
// obliczenie całek pojedynczych
c1= integrate('cos(x)+8','x',xy1(1),xy2(1))
c2= integrate('x^2+2*x+4','x',xy1(1),xy2(1))
pole = c1-c2
// znalezione rozwi zanie: pole = 15.882402
Zadanie 3.
Zapisz funkcj o nazwie "styczne(x0,f,g)" która oblicza przybli one rozwi zanie równania f(x)=0
wykorzystuj c algorytm metody stycznych (patrz prezentacja Laboratorium nr 2) wykonuj c 10
iteracji. Punktem startowym jest argument "x0", funkcj argument "f" , argument "g" oznacza
funkcj b d c pochodn funkcji "f"
Algorytm metody stycznych:
xi +1 = xi −
f ( xi )
f ' (xi )
Polecenia zapisujemy jako:
function x=styczne(x0,f,g)
for i=1:10
x=x0-f(x0)/g(x0)
x0=x
end
endfunction
Zadanie 3a.
Zapisz funkcj o nazwie "sieczne(x0,x1,f)" która oblicza przybli one rozwi zanie równania f(x)=0
wykorzystuj c algorytm metody siecznych (patrz prezentacja Laboratorium nr 2) wykonuj c 10
iteracji. Punktami startowymi s argumenty "x0,x1", funkcj argument "f"
Algorytm metody siecznych:
xi +1 = xi −
(xi − xi−1 )
f ( xi )
f ( xi ) − f ( xi −1 )
Polecenia zapisujemy jako:
function x=sieczne(x0,x1,f)
for i=1:10
x=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0))
x0=x1
x1=x
end
endfunction
Zadanie 4.
Oblicz przybli on warto całki z funkcji f(x) = sin(2x)+x-3 na [0,10] przy u yciu kwadratury
zło onej - wzoru trapezów, dziel c przedział całkowania na 5 cz ci (np. wykorzystuj c funkcj
inttrap()).
Polecenia zapisujemy jako:
// u ycie funkcji linspace():
// wygenerowanie wektora 6 punktów dziel cych [0,10] na 5 cz
x=linspace(0,10,6)
y=sin(2*x)+x-3
c=inttrap(x,y)
ci
// otrzymany wynik c=19.729104
Zadanie 4a.
Oblicz przyblizon warto całki z funkcji f(x) = sin(2x)+x-3 na [0,10] przybli aj c j funkcj
sklejan w oparciu o punkty w złowe {0,2,4,6,8,10} (wykorzystuj c funkcj intsplin()).
Polecenia zapisujemy jako:
x=[0,2,4,6,8,10]
y=sin(2*x)+x-3
c=intsplin(x,y)
// otrzymany wynik c= 18.784725