Zadania z ekonomii matematycznej 3 Wybrane rozwi¡zania

Zadania z ekonomii matematycznej 3
Wybrane rozwi¡zania
Michaª Ramsza
Wersja z dnia 4 grudnia 2011
Zadanie 1.
Dla funkcji f : Rn → R deniujemy zbiór
Funkcja
f : Rn → R jest wypukªa je»eli
x1 6= x2 i dowolnego θ ∈ (0, 1)
dowolnych
n
epi(f ) = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ f (x)}.
Pokaza¢, »e dla funkcji wypukªej f zbiór epi(f ) jest zbiorem wypukªym.
n
Zadanie 2. Niech b¦d¡ dane funkcje f, g : R → R wypukªe. Pokaza¢,
»e funkcja (f + g)(x) jest wypukªa.
n
Zadanie 3. Niech dana b¦dzie funkcja wypukªa f : R → R ró»niczkowalna. Pokaza¢, »e warunkiem wystarczaj¡cym na istnienie minimum jest zerowanie si¦ gradientu.
n
Zadanie 4. Niech dana b¦dzie funkcja ±ci±le wypukªa f : R → R z
minimum x0 . Pokaza¢, »e minimum x0 jest wyznaczone jednoznacznie.
Zadanie 5. Firma produkuje jedno dobro na dwa rynki, które charakteryzuj¡ si¦ odwrotnymi funkcjami popytu odpowiednio p1 (q1 ) i
p2 (q2 ), gdzie q1 to wielko±¢ produkowana na pierwszy rynek a q2
to wielko±¢ produkowana na drugi rynek. Koszt produkcji wynosi
c(q1 + q2 ).
(a) Wyprowadzi¢ warunki optymalno±ci pierwszego rz¦du i poda¢ interpretacje w terminach elastyczno±ci funkcji popytu.
(b) Rozwi¡za¢ je»eli p1 (q1 ) = A − q1 , p2 (q2 ) = B − 2q2 oraz c(q) =
q + q2 .
Zadanie 6. Narysuj wykres funkcji, która jest quasi-wkl¦sªa i
f (θx1 + (1 − θ)x2 ) ≤ θf (x1 ) + (1 − θ)f (x2 ).
Funkcja
f
jest ±ci±le wypukªa je»eli powy»sza
nierówno±¢ jest ostra.
Dowód przeprowadzi¢ przez zaprzeczenie korzystaj¡c z epigrafu lub wprost korzystaj¡c
z faktu, »e dla funkcji wypukªej pªaszczyzna
styczna do wykresu nie mo»e znajdowa¢ si¦
powy»ej wykresu funkcji.
Elastyczno±¢ cenowa popytu
Q jest zadana for-
muª¡
=−
Funkcja
f : Rn → R
S
2. nie jest quasi-wypukªa,
za-
chodzi
dQ p
.
dp Q
jest quasi wkl¦sªa wtedy
i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
1. jest quasi-wypukªa,
dla
≥
k∈R
zbiór
n
= {x ∈ R : f (x) ≥ k}
jest wypukªy.
3. nie jest wypukªa,
4. nie jest wkl¦sªa,
5. nie jest ani wkl¦sªa ani wypukªa,
6. jest wkl¦sªa i wypukªa.
Ile razy wykres funkcji mo»e przeci¡¢ prost¡ poziom¡?
Zadanie 7. Sprawdzi¢ czy poni»sze funkcje s¡ quasi-wkl¦sªe, quasiwypukªe, speªniaj¡ oba warunki czy te» »adnego.
1
Równowa»na dencja dla funkcji ró»niczkowalnych. Funkcja
f : Rn → R jest quasi-wkl¦sªa
u 6= v zachodzi
je»eli dla dowolnych
f (v) ≥ f (u) ⇒ ∇f (u)(v − u) ≥ 0,
oraz quasi-wypukªa je»eli
f (v) ≥ f (u) ⇒ ∇f (v)(v − u) ≥ 0.
2
(1) f (x, y) = ax + by
(3) u(x, y) =
√
(2) f (x, y) = x − ln y
xy
(4) u(x, y) = xy
Niech dana b¦dzie funkcja produkcji Q = f (K, L) jednorodna stopnia 1. Pokaza¢, »e Q/L i Q/K s¡ funkcjami kapitaªu per
capita k = K/L.
Zadanie 9. Niech dana b¦dzie funkcja produkcji Q = f (K, L) jednorodna stopnia 1.
(a) Udowodnij, »e
Zadanie 8.
K
∂Q
∂Q
+L
= Q.
∂K
∂L
Wªasno±¢ ta jest nazywana tw. Eulera.
(b) Pokaza¢, »e kra«cowe produktywno±ci MPPL = ∂Q/∂L i MPPK =
∂Q/∂K mo»na przedstawi¢ jako funkcj¦ kapitaªu per capita k = K/L.
(c) Sprawd¹ czy w/w wªasno±ci zachodz¡ dla funkcji produkcji CobbaDouglasa f (Q, L) = AQα L1−α , α ∈ (0, 1).
Rozwi¡zanie. Zaczynamy od punktu (a). Wiemy, »e Q = f (K, L)
jest jednorodna stopnia 1 wi¦c zgodnie z denicj¡ zachodzi
rf (K, L) = f (rK, rL).
Ró»niczkuj¡c obie strony powy»szego równania wzgl¦dem r otrzymujemy
f (K, L) =
∂f (rK, rL)
∂f (rK, rL)
K+
L,
∂K
∂L
sk¡d podstawiaj¡c r = 1 otrzymujemy
f (K, L) =
∂f (K, L)
∂f (K, L)
K+
L,
∂K
∂L
co trzeba byªo pokaza¢.
Punkt (b) jest prost¡ konsekwencj¡ punktu (a). Mamy
∂Q
∂Q
+L
∂K
∂L
K ∂Q
∂Q
=
+
L ∂K
∂L
Q
∂Q
=
−k
L
∂K
∂f (K, L)
= f (k, 1) − k
.
∂K
Q=K
Q
L
∂Q
∂L
∂Q
∂L
Poniewa» f jest jednorodne stopnia 1 wi¦c ∂Q/∂K jest jednorodne
stopnia 0 sk¡d mo»emy ostatecznie zapisa¢
∂f (k, 1)
∂Q
= f (k, 1) − k
∂L
∂K
co ko«czy zadanie.
Funkcja
jest
f (γx) = γ r f (x)
jednorodna
stopna
dla dowolnego
x.
r
je»eli
3
Uogólnij twierdzenie Eulera do przypadku funkcji n
zmiennych, gdzie funkcja f jest jednorodna stopnia r, tj. wyka», »e
zachodzi równo±¢
n
Zadanie 10.
X
i=1
Rozwi¡zanie.
xi
∂f
= rf.
∂xi
Korzystaj¡c z denicji jendorodno±ci mamy
k r f (x1 , . . . , xn ) = f (kx1 , . . . , kxn ).
Ró»niczkuj¡c obie strony powy»szego równania wzgl¦dem k otrzymujemy
rk r−1 f (x1 , . . . , xn ) =
n
X
∂f (kx1 , . . . , kxn )
`=1
∂x`
x` .
Przyjmuj¡c w powy»szym równaniu k = 1 otrzymujemy tez¦.
Zadanie 11. Niech b¦dzie dana jednorodna funkcja produkcji q stopnia r. Pokaza¢, »e ∂q/∂xi jest funkcj¡ jednorodn¡ stopnia r − 1.
Rozwi¡zanie. Niech q(x1 , . . . , xn ) b¦dzie jednorodn¡ funkcj¡ produkcji stopnia r. Zgodnie z denicj¡ mamy
k r q(x1 , . . . , xn ) = q(kx1 , . . . , kxn ).
Ró»niczkuj¡c obie strony powy»szego równania wzgl¦dem x` otrzymujemy
kr
∂q(x1 , . . . , xn )
∂q(kx1 , . . . , kxn )
=
k
∂x`
∂x`
sk¡d otrzymujemy
k r−1
∂q(kx1 , . . . , kxn )
∂q(x1 , . . . , xn )
=
∂x`
∂x`
co ko«czy zadanie.
Zadanie 12. Pokaza¢, »e dla ka»dej jednorodnej funkcji u»yteczno±ci stopnia r ≥ 1 wealth expansion path jest lini¡ prost¡. Czy jest
to prawda dla homotetycznych funkcji u»yteczno±ci, tj. funkcji u»yteczno±ci postaci f (x) = H(q(x)), gdzie q jest jednorodn¡ funkcj¡
u»yteczno±ci, a H jest funkcj¡ rosn¡c¡?
Rozwi¡zanie. Niech q(x1 , . . . , xn ) b¦dzie jednorodn¡ funkcj¡ u»yteczno±ci stopnia r, tj. speªnia
q(kx1 , . . . , kxn ) = k r q(x1 , . . . , xn ).
Krzywa wealth expansion path jest to zadana parametrycznie krzywa
x̂(w) = (x̂1 (w), . . . , x̂n (w)), gdzie x̂l , l = 1, . . . , n s¡ popytami Warasa
a w to bogactwo. Zatem x̂ = (x̂1 , . . . , x̂n ) jest rozwi¡zaniem zadania
optymalizacji postaci
max q(x),
x∈B
gdzie B = {x : hp|xi = w}.
Warunki pierwszego rz¦du dla powy»szego zadania s¡ postaci
∇q(x̂) = λ · p
hp|x̂i = w
4
A wi¦c pierwszy warunek optymalno±ci oznacza, »e dla dowolnych l, s
zachodzi
∂q ∂q
pl
/
= .
(1)
∂xl ∂xs
ps
Niech x̂ b¦dzie rozwi¡zaniem optymalnym dla bogactwa w. Zmieniamy teraz bogactwo konsumenta mno»¡c je przez k, tj. bogactwo
konsumenta wynosi kw. Jest jasne, »e koszyk kx̂ speªnia równanie
bud»etowe, ale na mocy tw. Eulera speªnia równie» warunek (1) a
wi¦c pierwszy warunek optymalno±ci i konsekwentnie jest koszykiem
optymalnym. Zatem koszyki optymalne zakre±laj¡ prost¡ kx̂.
Dla dowolnego k > 0 rozwi¡zanie optymalne x̂ speªnia
∀
q(x̂) ≥ q(x).
x∈B
Powy»szy warunek pozostaje prawdziwy równie» dla funkcji H ◦ q ,
±ci±le
∀
H(q(x̂)) ≥ H(q(x))
x∈B
co ko«czy dowód.
Zadanie 13. Oblicz elastyczno±¢ skali dla uogólnionej funkcji produkcji Cobba-Douglasa f (x1 , x2 ) = Axα1 xβ2 .
α 1−α
Zadanie 14. Dla funkcji produkcji f (x1 , x2 ) = Ax1 x2
obliczy¢
expansion path. Obliczy¢ elastyczno±¢ substytucji.
Zadanie 15. Niech dana b¦dzie funkcja produkcji f postaci
f (x1 , x2 ) = A ·
(σ−1)/σ
ax1
+ (1 −
(σ−1)/σ
a)x2
σ/(σ−1)
,
gdzie
∂f /∂x1
∂f /∂x2
jest kra«cow¡ stop¡ substytucji (technical rate of substitution ).
TRS = −
Tak uzbrojeni mo»emy policzy¢
x2
x1
1/σ
sk¡d
ln TRS = ln
a
a−1
x2
x1
1/σ !
= ln
a
a−1
1
+ ln
σ
x2
x1
df (tx) t .
dt f (x) t=1
Elastyczno±¢ substytucji
σ
jest zdeniowana
jako:
d(x̄2 /x̄1 )/d(p1 /p2 )
.
(x̄2 /x̄1 )/(p1 /p2 )
Elastyczno±¢ substytucji mo»na równie» obli-
d ln(x2 /x1 )
TRS d(x2 /x1 )
=
,
d ln |TRS|
x2 /x1 dTRS
=
σ=
gdzie A > 0, a ∈ [0, 1] i σ ∈ (−∞, 1).
(a) Obliczy¢ elastyczno±¢ substytucji. Jak¡ interpretacj¦ ma parametr σ ?
(b) Poka», »e funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest granicznym przypadkiem funkcji f (x1 , x2 ) gdy σ → 1− . Jak¡ interpretacj¦ ma parametr a?
(c) Jak¡ funkcj¦ produkcji uzyskuje si¦, gdy σ → −∞ a jak¡ gdy
σ → 0− i jak¡ gdy σ → 0+ ?
Rozwi¡zanie. (a) Aby obliczy¢ elastyczno±¢ substytucji mo»emy skorzysta¢ ze wzoru
a
TRS =
a−1
Elastyczno±¢ skali jest zdeniowana jako:
.
czy¢ korzystaj¡c ze wzoru
σ=
gdzie
Napis
TRS d(x2 /x1 )
,
x2 /x1 dTRS
TRS = −(∂f /∂x1 )/(∂f /∂x2 ).
dg(x)
oznacza
g 0 (x)dx
st¡d mamy
d(x2 /x1 )
d ln(x2 /x1 ) =
.
x2 /x1
5
Mamy zatem wyra»enie
d ln
d ln
a
a−1
x2
x1
+
1
σ
ln
x2
x1
gdzie przyjmuj¡c θ = ln(x2 /x1 ) mo»emy zapisa¢
d ln
dθ
a
a−1
+ σ1 θ
=
1
= σ.
1/σ
Zatem parametr σ jest elastyczno±ci¡ substytucji.
(b) Musimy policzy¢ nast¦puj¡c¡ granic¦
σ/(σ−1)
(σ−1)/σ
(σ−1)/σ
lim− A · ax1
+ (1 − a)x2
.
σ→1
Mamy jednak
σ/(σ−1) σ/(σ−1)
(σ−1)/σ
(σ−1)/σ
(σ−1)/σ
(σ−1)/σ
= exp lim− ln A · ax1
+ (1 − a)x2
lim− A· ax1
+ (1 − a)x2
σ→1
σ→1
je»eli granica po prawej stronie istnieje. Przyjmuj¡c θ = (σ − 1)/σ
obliczamy zatem granic¦
1/θ 1
lim− ln A · axθ1 + (1 − a)xθ2
= lim− ln A + ln axθ1 + (1 − a)xθ2
θ
θ→0
θ→0
1
= ln A + lim− ln axθ1 + (1 − a)xθ2
θ→0 θ
(korzystaj¡c z tw. de l'Hopital'a)
a ln x1 xθ1 + (1 − a) ln x2 xθ2
axθ1 + (1 − a)xθ2
a ln x1 + (1 − a) ln x2
= ln A +
a + (1 − a)
= ln A + lim
θ→0−
= ln A + ln xa1 + ln x1−a
2
a 1−a
= ln Ax1 x2
Wracaj¡c do oryginalnego sformuªowania otrzymujemy
σ/(σ−1)
(σ−1)/σ
(σ−1)/σ
lim− A· ax1
+ (1 − a)x2
= exp ln Axa1 x1−a
= Axa1 x1−a
.
2
2
σ→1
Tak wi¦c parametr a jest elastyczno±ci¡ czynnika produkcji x1 i odpowiednio 1 − a jest elastyczno±ci¡ czynnika produkcji x2 . Poniewa»
a + (1 − a) = 1 wi¦c taka funkcja produkcji ma elastyczno±¢ skali
równ¡ 1.
(c) Obliczenie granicy funkcji f gdy σ → −∞ jest trywialne. Dla
σ → 0− przyjmuj¡c θ = (σ − 1)/σ mamy dla x1 > x2
lim A
θ→∞
axθ1
+ (1 −
1/θ
a)xθ2
"
= lim A
θ→∞
axθ1
= lim Aa1/θ x1
θ→∞
(1 − a)
1+
a
(1 − a)
1+
a
x2
x1
θ !#1/θ
x2
x1
θ !1/θ
.
6
Wyra»enie a1/θ → 1 przy θ → ∞ a wyra»enie w nawiasach to przy
θ → ∞ wyra»enie zbiegaj¡ce do 10 = 1. A zatem granica wynosi
lim A axθ1 + (1 − a)xθ2
θ→∞
1/θ
= Ax1 ,
co przy zaªo»eniu x1 > x2 mo»na zapisa¢ max(x1 , x2 ). W sytuacji gdy
x1 < x2 wyci¡gamy przed nawias (1 − a)x2 i otrzymujemy granic¦ x2 .
Tak wi¦c granica funkcji f (x1 , x2 ) przy σ → 0− wynosi max(x1 , x2 ).
W przypadku granicy σ → 0+ , tj. θ → −∞, obliczenia s¡ identyczne
ale przed nawias wyci¡gamy nie max(x1 , x2 ) a min(x1 , x2 ) i otrzymujemy wynik
lim f (x1 , x2 ) = min(x1 , x2 ).
σ→0+
Tablica 1: Wyniki zbie»no±ci funkcji f (x1 , x2 ).
Granica σ
σ
σ
σ
σ
→ −∞
→ 0−
→ 0+
→ 1−
Granica θ
Funkcja graniczna
→1
→∞
→ −∞
→ 0−
A(ax1 + (1 − a)x2 )
max(x1 , x2 )
min(x1 , x2 )
Axa1 x1−a
2
θ
θ
θ
θ
Tablica 1 zbiera uzyskane wyniki zbie»no±ci. Odpowiednie interpretacje wynikaj¡ bezpo±rednio albo z przeliczenia (σ ) albo z granicy
i odpowiedniego przeliczenia (a). Tablica ta mówi równie» jakie elastyczno±ci substytucji maj¡ funkcje graniczne.