zaoczne Slajdy I Modele dyskretnego wyboru - e

Jerzy Marzec, UEK
Modele dyskretnego wyboru - plan zajęć
1.
2.
3.
4.
5.
Literatura
Amemiya T.,1985, Advanced Econometrics, Harvard University Press, Cambridge
(Massachusetts).
Greene W.H., 2003, Econometric Analysis, Prentice Hall, New York.
Wprowadzenie – pojęcie zmiennych
jakościowych
Klasyfikacja i definicje Modeli Danych
Jakościowych
Estymacja parametryczna i testowanie
Wnioskowanie o naturze zjawiska i
prognozowanie na podstawie MDJ
Przykłady zastosowań MDJ w badaniach
marketingowych
Typy zmiennych jakościowych
Gruszczyński M., 2001, Modele i prognozy zmiennych
jakościowych w finansach i bankowości, Monografie i
Opracowania SGH, Warszawa, nr 6.
Gourieroux C., 2000, Econometrics of Qualitative Dependent Variables, Cambridge
University Press, Cambridge.
Marzec J. (2008), Bayesowskie modele zmiennych
jakościowych i ograniczonych w badaniach niespłacalności
kredytów, Wydawnictwo UE w Krakowie, Kraków.
Maddala G.S., 1983, Limited Dependent and Qualitative Variables in Econometrics,
Cambridge University Press, Cambridge.
Mikroekonometria (modele i metody analizy danych
indywidualnych), pod red. M. Gruszczyńskiego, Oficyna,
Warszawa 2010.
Maddala G.S., 2006, Ekonometria, PWN Warszawa.
Daniel L. McFadden, Handbook of Econometrics Volume 2, Chapter
24, Econometric Analysis of Qualitative Response Models,
Massachusetts Institute of Technology.
Przykłady zmiennych jakościowych
1.
Typy zmiennych jakościowych (zmiennych
losowych o rozkładzie skokowym)
1.
Dychotomiczna, binarna (zero-jedynkowa);
2.
Polichotomiczna nieuporządkowana
3.
Polichotomiczna uporządkowana
2.
Zmienna dychotomiczna : chory/zdrowy,
kupił /nie kupił, posiada/nie posiada,
bankrut /niebankrut
Polichotomiczna nieuporządkowana
wybór środka transportu (auto własne (kolegi),
autobus, tramwaj, kolej podziemna, rower)
forma finansowania zakupu środka trwałego
(gotówka, kredyt bankowy, kupiecki, leasing)
wybór oferty dot. usługi telekomunikacyjnej po
wygaśnięciu umowy terminowej (rezygnacja,
przedłużenie na warunkach „starych”, „nowych”,
przejście na „kartę”.
Przykłady zmiennych jakościowych
3.
Zmienna polichotomiczna uporządkowana
każda zmienna mierzona na skali Likerta
(zdecydowanie tak, raczej tak, nie ma zdania, raczej
nie, zdecydowanie nie) - odpowiedzi respondentów
np. stopień satysfakcji z warunków mieszkaniowych (1niski, 2 - średni, 3 - wysoki).
jakość udzielonego kredytu (kategoria ryzyka,
normalne, poniżej standardu, wątpliwe i stracone)
Informacja o posiadaniu własnego auta w
gospodarstwie domowym (brak, jedno używane, jedno
nowe auto, co najmniej dwa)
informacje o zatrudnieniu (bezrobotny, pół etatu, pełny
etat).
Modelowanie marketingowe
Definicja
Modele
modele
dyskretnego
wyboru
(zmiennych jakościowych, ang. quantal
(qualitative) response models lub discrete
choice models)
opisują
zależność
między
wynikiem
dokonywanych wyborów a egzogenicznymi
zmiennymi
objaśniającymi,
które
mogą
opisywać
indywidualne
charakterystyki
podmiotów podejmujących decyzję lub cechy
możliwych alternatyw (wyborów).
1
Jerzy Marzec, UEK
Model dyskretnego wyboru - założenia
Definicja i klasyfikacja MDW
Modele MDW
1.
Modele dychotomiczne; (binary choice model)
2.
Modele polichotomiczne dla kategorii
uporządkowanych (ordered choice model)
3.
Modele polichotomiczne dla kategorii
nieuporządkowanych (multiple-choice model)
Model dla danych licznikowych (model Poissona)
Modele regresji ograniczonej i cenzurowanej (w
biostatystyce: modele przeżycia survival models)
4.
5.
Model dyskretnego wyboru - definicja
Propozycja Random utility maximization (RUM)
models (D. McFadden)
Założenia
Konsument max funkcję użyteczności przy
ograniczeniu budżetowym
Dopuszcza się błędy w optymalizacji i złe
postrzeganie korzyści związanych z wyborami
Funkcja użyteczności traktowana jako funkcja
zmiennej losowej
Konsument wybiera jedną z J alternatyw
Modele dychotomiczne (J=2) - plan
Definicja (dla ustalonego konsumenta nr t)
 yt , h = 1 gdy zt , h = max (zt ,1 , K , zt , J )
j∈{1,K, h ,K, J }

 yt , h = 0 w przeciwnym przypadku
gdzie
 z = g ( x;θ ) + ε ,
t, j
t, j
 t , j
zt,j - funkcja użyteczności dla decyzji j
g() – znana (liniowa) funkcja danych i parametrów θ
Założenia dt. εt,j i zakres informacji o x są podstawą do
klasyfikacji modeli
Zagadnienia
1.
Model dychotomiczny – definicja i rodzaje
Liniowy model prawdopodobieństwa
Model probitowy i logitowy
2.
Własności modelu i wnioskowanie o badanym
zjawisku
3.
Estymacja – Metoda Największej Wiarygodności
4.
Prognozowanie
5.
Mierniki oceny dopasowania modelu do danych
Modele dychotomiczne (przykład)
Modele dychotomiczne (J=2) definicja
x – zmienne charakteryzujące konsumenta lub
alternatywy
Specyfikacja ze zmiennymi ukrytymi
y
wprowadzamy niezależne zmienne ukryte z1,…,zT
obserwujemy yt=1, gdy zt≥0 i yt=0 gdy zt<0
1
εt niezależne i symetryczne rozkłady o E(εt) = 0 i
V(εt) = 1 lub V(εt) =znana stała
wektor β zawiera wyraz wolny
yt = 1 gdy konsument przedłużył umowę
yt = 0 w przeciwnym przypadku
0
1,5
2
2,5
3
3,5
x - średnia miesięczny dochód konsumenta (zł)
Modelowanie marketingowe
4
4,5
 zt = xt β + ε t

1 gdy zt ≥ 0

 yt = 0 gdy z < 0
t


2
Jerzy Marzec, UEK
Modele dychotomiczne – rodzaje
Modele dychotomiczne – pt
Można pokazać, że
pt = Pr ( yt = 1) = 1 − Pr ( yt = 0 ) = 1 − Pr ( zt < 0 ) =
1 − Pr (xt β + ε t < 0 ) = 1 − Pr (ε t < − xt β )
symetr
= 1 − F (− xt β ) = F ( xt β )
gdzie F() jest dystrybuantą zmiennej εt
Dla logitu
e xt β
1
F (xt β ) =
1 + e xt β
=
1 + e − xt β
Dla probitu = w formie niejawnej (aproksymacja
numeryczna)
Modele dychotomiczne– efekty krańcowe
Modele dychotomiczne – cdf
Określenie wpływu zmiany wybranej zmiennej
objaśniającej na Pr(yt=1)
Nazwa modelu a postać dystrybuanty
Przykład: yt=1, gdy wykupiono ubezpieczenie
mieszkania lub domu,
xt2 – płeć, xt3 – położenie nieruchomości (wieś,
miasteczko … miasto metropolitalne), xt4 – wiek klienta
Rozkład jednostajny = liniowy model
prawdopodobieństwa
Rozkład normalny = model probitowy
Rozkład logistyczny = model logitowy
Niech zt = β 1 + β2xt2 + β 3xt3 + β4xt4 + składnik losowy
Modele dychotomiczne– efekty krańcowe
Efekty krańcowe (marginal effects). Postacie i
własności.
ηt ,h =
∂ Pr ( yt = 1)
∂xth
Modele dychotomiczne– efekty krańcowe
Efekty krańcowe
Informuje o ile zmieni się Pr-o sukcesu,
gdy wybrana zmienne, xth wzrośnie
o jednostkę
Niech xtβ = β1 + β2xt2 + β3xt3 + β 4xt4
dla zmiennej ciągłej
ηt ,k = Pr ( yt = 1; xth = 1) − Pr ( yt = 1; xth = 0 )
dla zmiennej skokowej
Jeżeli xtβ = β1xt1 + β2xt2 +…+ βhxth +…βKxtK :
∂pt ∂F ( xt β ) ∂F ( xt β ) ∂xt β
=
=
⋅
= f ( xt β ) ⋅ β h
∂xth
∂xth
∂xt β
∂xth
Modelowanie marketingowe
Liniowy model prawdopodobieństwa (linear
probability model; LPM)
Model probitowy
Model logitowy F(xt⋅β) = exp(xt⋅β)/[1+exp(xt⋅β)]
Model krzywej Gompertza (gombit);
F(xt⋅β)=exp(–exp(–xt⋅β ))
Model krzywej Urbana F(xt⋅β )=0,5+arcus tg(xt⋅β )/π
Model rozkładu Burra F(xt⋅β)=1/[1+exp(-xt⋅β)]α ,
gdzie α>0
Model z rozkładem t-Studenta (uogólnienie modeli
logitowego i probitowego)
…
Znak efektu
identyczny
dla każdego
konsumenta
∂pt
= f ( xt β ) ⋅ β 2
∂xt 2
Wartość efektu jest różna
dla konsumentów, ale
ma taki sam znak
∂pt
= f ( xt β ) ⋅ β 3
∂xt 3
∂pt
= f ( xt β ) ⋅ β 4
∂xt 4
3
Jerzy Marzec, UEK
Modele logitowy
Logarytm ilorazu szans (log-odds ratio):
ln odds = ln
pt
1 − pt
gdzie ln
k
pt
= ∑ xtj β j
1 − pt j =1
Interpretacja
Jeżeli xtj wzrośnie o jednostkę, to iloraz szans
zmieni się:
w przybliżeniu o (βj ·100)% (dla małych βj)
dokładnie o [(exp(βj) -1)·100]%
Modelowanie marketingowe
4