(9_2) nieliniowy model ekonometryczny

Ekonometria
Strona |1
Nieliniowy model ekonometryczny
Jednorównaniowy model ekonometryczny ma postać
Y= f( X1, X2,…, Xk, ε )
gdzie:
Y – zmienna objaśniana,
X1, X2,…, Xk – zmienne objaśniające,
ε - składnik losowy,
f – postać modelu.
Model ten jest wyznaczany na podstawie bazy danych statystycznych w postaci:
t
Y
X1
X2
...
Xk
1
Y1
X11
X21
...
Xk1
2
Y2
X12
X22
...
Xk2
...
...
...
...
...
...
n
Yn
X1n
X2n
...
Xkn
Budowa nieliniowego modelu ekonometrycznego
Postać funkcji f ustalamy na podstawie znanych teorii lub na podstawie oceny wpływu zmiennych
objaśniających na zmienną objaśnianą.
Przykład 1. W bieżącym roku w grupie losowo wybranych 300 osób przeprowadzono badania
dotyczące wielkości miesięcznego spożycia warzyw i ich przetworów. Każda z badanych osób została
przypisana do jednej z grup dochodowych. W tabeli zapisanej w arkuszu kalkulacyjnym Excel
podano:
Xt – wartość średniego dochodu w grupie t [zł],
Yt – wielkość średniego miesięcznego spożycia warzyw i ich przetworów w grupie t [zł].
Źródło: Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach red. Kukuła K.
Korzystając z powyższej bazy danych statystycznych zbudować ekonometryczny model miesięcznego
popytu na warzywa i ich przetwory w zależności od średniego dochodu ( Y = f(X, ε )).
Na podstawie prognoz ekspertów średni dochód w przyszłym roku będzie wynosił
Ekonometria
Strona |2
2700 zł. miesięcznie na osobę. Korzystając ze zbudowanego modelu ekonometrycznego ocenić jaka
będzie średnia miesięczna wartość spożycia warzyw i ich przetworów na osobę w przyszłym roku.
Korzystając z powyższej bazy danych utworzymy wykres zależności pomiędzy zmienną
objaśnianą Y a zmienną objaśniającą X. W tym celu na pasku wybieramy Wstawianie ,
wykres punktowy, wynikiem naszego działania będzie pusta tabelka.
Klikamy w dowolnym jej punkcie prawym klawiszem myszy i otrzymujemy:
Wybieramy Zaznacz dane i otrzymujemy:
Wybieramy Dodaj i otrzymujemy:
Ekonometria
Strona |3
W otrzymanej tabelce Edytowanie serii wpisujemy kolejno:
w okienko Nazwa serii – nazwę, która ma się pojawić na wykresie,
w okienko Wartości X serii - adresy kolumny, w której znajdują się wartości zmiennej objaśniającej X
( w naszym przykładzie C2:C9),
w okienko Wartości Y serii - adresy kolumny, w której znajdują się wartości zmiennej objaśnianej Y
( w naszym przykładzie D2:D9).
Akceptujemy OK wprowadzone dane i OK dla tabeli Wybieranie źródła danych. Wynikiem naszych
działań będzie poniższy wykres.
Na podstawie analizy wykresu oraz znanej teorii ekonomicznej dotyczącej popytu
stwierdzono, że wielkość miesięcznego spożycia warzyw i ich przetworów można przedstawić za
pomocą mikroekonomicznej funkcji popytu na dobra podstawowe (funkcja Törnquista I rodzaju )
w postaci:
Yt =
α1 X t
+ εt
Xt +α2
Powyższa funkcja popytu ma asymptotę poziomą o równaniu y = α1 .
Nieznane parametry strukturalne α1 i α 2 można oszacować metodą najmniejszych
kwadratów. W metodzie tej wyznaczamy takie wielkości a 1 i a 2 (oszacowania parametrów
α1 i α 2 ) aby różnice pomiędzy wartościami teoretycznymi wyznaczonymi ze wzoru
Ekonometria
Strona |4
a X
Yˆt = 1 t
Xt + a2
(1)
a rzeczywistymi wartościami zmiennej objaśnianej Yt z bazy danych statystycznych były minimalne.
Budujemy w tym celu funkcję
8
G( a 1 , a 2 )=
∑ (Yˆ − Y )
t =1
t
t
8
2
= ∑ et2
t =1
i poszukujemy jej minimum.
Wartości et = Yˆt − Yt nazywamy resztami modelu.
Do znalezienia poszukiwanego minimum skorzystamy z narzędzie Solver w arkuszu kalkulacyjnym
Excel.
Uwaga. W przypadku nieliniowego modelu ekonometrycznego minimum funkcji G( a 1 , a 2 ) Solver
znajduje metodami przybliżonymi.
Aby wyznaczyć początkowe wartości oszacowań parametrów a 1 , a 2 , wybieramy dowolne
dwa punkty (Yt, Xt) z bazy danych statystycznych. W naszym przykładzie wybierzemy punkt drugi i
siódmy
t
X
Y
punkt I
2
708,1
26,1
punkt II
7
2410,6
52,1
a następnie rozwiązujemy liniowy układ dwóch równań o dwóch niewiadomych a 1 , a 2 w postaci:
Stąd a 1 = 94,75, a 2 = 1862,42.
Wyliczone wartości wpisujemy do arkusza ( w naszym przykładzie wartość a 1 wpisano
do komórki B12, wartość a 2 wpisano do komórki B13) a następnie ze wzoru (1)
wyznaczamy ( w naszym przykładzie w kolumnie E2:E9) wartości Ŷt ,
Ekonometria
Strona |5
reszty et i ich kwadraty.
Wartość funkcji G(94,75, 1862,42) ( suma kwadratów reszt ) jest równa 28,891.
Do wyznaczenia minimalnej wartości funkcji G skorzystamy z narzędzia Solver (narzędzie Solver w
Excelu 2007 znajduje się w Danych).
Pola tabelki Solver – Parametry wypełniamy następująco:
- Komórka celu wpisujemy adres sumy kwadratów reszt ( w naszym przykładzie G10),
- Równa zaznaczamy Min,
- Komórki zmieniane zapisujemy adresy argumentów funkcji G ( w naszym przykładzie adresy
parametrów a1 i a 2 czyli B12:B13).
Ekonometria
Strona |6
Następnie naciskamy Rozwiąż i otrzymujemy:
W naszym przykładzie rozwiązaniem jest:
a 1 = 102,1074,
a 2 = 2232,811.
Model teoretyczny popytu na warzywa i ich przetwory więc ma postać:
102,1074 X t
Yˆt =
.
X t + 2232,811
(2)
Wartość a 1 = 102,1074 jest asymptotą poziomą funkcji (2). Oznacza to, że opierając się na naszych
danych z bazy danych statystycznych, możemy stwierdzić, że miesięczne wydatki na warzywa i ich
przetwory w naszym kraju, nie przekroczą wartości 102,81 zł na osobę. Poniżej przedstawiono wykres
wartości Yt oraz Yˆt wyznaczonych na postawie wzoru (2) (w naszym przykładzie wartości Yt znajdują
się w komórkach D2:D9, wartości Yˆt w komórkach E2:E9).
Ekonometria
Strona |7
Dopasowanie modelu do danych z bazy danych statystycznych ocenimy za pomocą błędu RMSE :
∑ (Yˆ − Y )
n
RMSE =
t =1
8
2
t
t
n
=
∑ (e )
2
t
t =1
8
.
Mamy RMSE = 1,51. Oznacza to, że wartości Yˆt ( t = 1, 2, …8) wyznaczone za pomocą modelu
teoretycznego (2) średnio różnią się od rzeczywistych wartości Yt miesięcznego popytu na warzywa
i ich przetwory o 1,51 zł. Aby ocenić wielkość błędu wyznaczymy wartość
RMSE
*100% .
Y
RMSE
1,508
* 100% =
* 100% = 4,3% .
Y
35,04
Błąd RMSE stanowi zatem 4,3% średniego miesięcznego popytu na warzywa i ich przetwory na osobę.
Możemy więc przyjąć, że błąd RMSE jest niewielki , a więc zbudowany model teoretyczny (2) może
zostać użyty do prognozowania średniego miesięcznego popytu na warzywa i ich przetwory w
przyszłym roku.
Na podstawie modelu (2) wyznaczymy prognozę średniego spożycia warzyw i ich przetworów w
przyszłym roku .
102,1074 * 2700
= 55,89.
2700 + 2232,811
Średnia miesięczna wielkość spożycia warzyw i ich przetworów w przyszłym roku wyniesie
55,89 zł na osobę.
Ekonometria
Strona |8
Uwaga. Początkowe wartości oszacowań parametrów można także znaleźć na podstawie
wykresu. W tym celu do wykresu z wartościami zmiennej objaśnianej Y należy dodać wartości
teoretyczne Yˆt wyznaczone dla dowolnych wartości a 1 , a 2 ( w naszym przykładzie przyjęto
a 1 =100, a 2 =100).
Następnie należy zmieniać wartości a 1 , a 2 tak aby wykresy Y oraz Yˆ znalazły się jak najbliżej
siebie.
W naszym przykładzie można przyjąć wartości początkowe a 1 =100, a 2 =2000.
Ekonometria
Strona |9
Zadanie do wykonania. W tabeli podano w kolejnych kwartałach kolejnych lat
wartości produkcji ( w tys. zł.), wielkość zatrudnienia oraz wielkość produkcyjnego majątku trwałego
(w mln. zł) w zakładzie chemii spożywczej „Na zdrowie”.
YX1-majątek
X2t-nr
produkcja produkcyjny zatrudnienie
kwartału w tys. zł.
w mln. zł
w osobach
1
864
13,4
359
2
1081,2
17,4
453
3
1092,8
18,7
431
4
1194,1
23,3
423
5
1225,6
24,4
424
6
1284,6
24,2
471
7
1409,7
28,5
486
8
1502,7
31,2
511
9
1597,4
34
535
10
1648
33,2
574
11
1783
35,1
607
12
1786,9
38,5
600
13
1900,4
41,4
634
14
1972,8
41,1
690
15
2022,5
42,2
707
Oszacować parametry funkcji produkcji Cobba – Douglasa:
Yt = α 0 X 1α1 X 2α 2 + ε t
t = 1, 2,...,15 .
Firma Na zdrowie zakupiła nową linię produkcyjną i jej majątek produkcyjny w 16. kwartale wzrośnie
do 52,4 mln. zł. Jakie powinno być zatrudnienie w tym kwartale, aby wartość produkcji wzrosła w
stosunku do poprzedniego kwartału o 10%. Do wyznaczenia wielkości zatrudnienia posłużyć się
zbudowanym modelem Cobba-Douglasa.
Uwaga. Wszystkie parametry funkcji produkcji Cobba-Douglasa są dodatnie.