Podstawy Ekonometrii blok T i U

LITERATURA:
1. Dziechciarz J.: Ekonometria, Metody, przykłady,
zadania. Wydawnictwo AE we Wrocławiu.
Wrocław 2003
2. Nowak E.: Zarys metod ekonometrii. Zbiór
zadań. PWN, Warszawa 2002
3. Borkowski B., Dudek H., Szczesny W.:
Ekonometria. Wybrane zagadnienia. PWN
Warszawa 2003
4. Barczak A. St., Biolik J.: Podstawy ekonometrii.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Katowicach, Katowice 1998
5. Gruszczyński M., Podgórka M.: Ekonometria.
Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 2000
1
Wstęp
Ekonometria – gr.
Ekonometria
iokonomia (administracja, gospodarstwo)
metron (mierzenie)
ekonometria bada ilościowe związki zachodzące
pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi.
Przedmiotem zainteresowań są trzy grupy zagadnień:
•konstrukcja modelu ekonometrycznego
•estymacja jego parametrów
•szeroko pojęte wnioskowanie na podstawie modelu.
2
Ekonometria
Model ekonometryczny
Modelem ekonometrycznym nazywamy formalny opis stochastycznej
zależności wyróżnionego zjawiska ekonomicznego (wyróżnionych zjawisk)
od czynników, które je kształtują. Wyrażony w formie pojedynczego
równania bądź układu równań.
Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą
jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania
ilościowe
występujące
pomiędzy
rozpatrywanymi
zjawiskami
ekonomicznymi.
3
Ekonometria
Model ekonometryczny
Y   o  1 X  
np. Y – produkcja żyta w (tys. t), X – powierzchnia uprawy żyta (tys. ha).
Elementami modelu są:
•zmienne objaśniane
•zmienne objaśniające
•składnik losowy
•parametry strukturalne
4
Ekonometria
Model ekonometryczny
Zmienne objaśniane – wyróżnione zjawiska ekonomiczne, które są opisywane
(wyjaśniane) przez poszczególne równania modelu. Zmienne te noszą też
nazwę zmiennych endogenicznych.
Zmienne objaśniające – zmienne służące do opisu, wyjaśniania zmian
zmiennych objaśnianych. W modelach wielorównaniowych zmienne objaśniające
dzielą się na zmienne egzogeniczne i endogeniczne innych równań.
Zmienne egzogeniczne – zmienne objaśniające, które nie są wyjaśniane przez
żadne równanie modelu
Zmienne endogeniczne innych równań – zmienne, które w danym równaniu
pełnią rolę zmiennych objaśniających i są opisywane przez inne równanie
modelu.
Opóźnioną zmienną egzogeniczną (endogeniczną) nazywamy zmienną
odnoszącą się do wcześniejszych okresów niż okres bieżący t
Zmienne z góry ustalone – zmienne opóźnione w czasie wraz ze zmiennymi
egzogenicznymi.
5
Ekonometria
Model ekonometryczny
Parametry strukturalne modelu, to wartości wyrażające ilościowy wpływ
danej zmiennej (przy której występują) na zmienną endogeniczną, są
szacowane na podstawie danych statystycznych na etapie estymacji modelu.
Składnik losowy w modelu wynika z konieczności uwzględnienia:
1. wpływu wszystkich czynników mało istotnych nie wyspecyfikowanych w
równaniu, ale oddziałujących na zmienną endogeniczną.
2. różnic pomiędzy postacią analityczną modelu, a istniejącą zależnością
w rzeczywistości
3. błędów pomiarów zmiennych
4. czynników losowych, wywierających wpływ na zmienną endogeniczną.
6
Ekonometria
Model ekonometryczny – klasyfikacja modeli
KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu:
Modele jednorównaniowe
Modele wielorównaniowe
KRYTERIUM 2. Postać analityczna zależności funkcyjnych modelu.
Modele liniowe – wszystkie zależności modelu są liniowe
Modele nieliniowe – chociaż jedna zależność jest nieliniowa
KRYTERIUM 3. Rola czynnika czasu w równaniach modelu.
Modele statyczne – nie uwzględniają czynnika czasu,
Modele dynamiczne – występuje w nich czynnik czasu. Model trendu.
KRYTERIUM 4. Ogólnopoznawcze cechy modelu:
Modele przyczynowo-opisowe – wyrażające związki przyczynowo
skutkowe między zmiennymi objaśniającymi i objaśnianymi.
Modele symptomatyczne – rolę zmiennych objaśniających pełnią zmienne
skorelowane z odpowiednimi zmiennymi objaśnianymi a niewyrażające
źródeł zmienności zmiennych objaśnianych.
7
Ekonometria
Modelowanie ekonometryczne.
Procedura wieloetapowa, na każdym etapie bardzo często wykorzystująca
metody i narzędzia z innych dyscyplin.
Specyfikacja modelu – określenie zmiennych,
postaci analitycznej, źródeł danych statystycznych
Estymacja parametrów modelu – oszacowanie
parametrów modelu na podstawie danych
statystycznych
Weryfikacja oszacowanego modelu
Formalna – zgodność wyników z procedurą
Merytoryczna – zgodność z wiedzą o badanych
Relacjach ekonomicznych
Praktyczne zastosowanie modelu –
prognozowanie, symulacja, opis zależności
Ekonomia, statystyka opisowa,
analiza matematyczna
Statystyka matematyczna,
informatyka
Ekonomia, statystyka
matematyczna
Ekonomia, zarządzanie
8
Ekonometria
Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny
y   0  1 x1   2 x2     k xk  
y - zmienna objaśniana
xi – zmienne objaśniające dla i = 1,2,…,k
i – nieznane parametry strukturalne modelu dla i = 0,1,2,…,k
 – składnik losowy
Zakładamy, że istnieją n-elementowe szeregi czasowe
obserwacji na wszystkich zmiennych modelu.
9
Ekonometria
Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny
Wektor obserwacji
zmiennej objaśnianej
 y1 
. 
y 
. 
 
 y n  n1
Wektor nieznanych
parametrów modelu
 0 
1 
 
α  . 
 . 
 
 k  k 11
Macierz zaobserwowanych wartości
zmiennych objaśniających
1
1
X


1
x11
x21

xn1
x12
x22

xn 2




x1k 
x2 k 


xnk  nk 1
Wektor składników
losowych
1 
.
ε 
.
 
 n  n1
yt   0  1 xt1   2 xt 2     k xtk   t
y  Xα  ε
10
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Zamierzamy znaleźć oceny a nieznanych parametrów strukturalnych  modelu
y   0  1 x1   2 x2     k xk  
Wartości zmiennej objaśnianej otrzymane przy ocenach a nazywamy wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej dla t=1,2,…,n
yˆ t  a0  a1 xt1  a2 xt 2    ak xtk
Resztą dla okresu t nazywamy różnicę pomiędzy wartością empiryczną a
teoretyczną zmiennej objaśnianej
et  yt  yˆ t
11
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
 e1 
yˆ1 

Zapis wektorowy:
.
. 
e 
yˆ   
.
. 
 
 
ˆ
y
 n
en 
e  y  yˆ  y  Xa
yˆ  Xa
Idea metody najmniejszych kwadratów (MNK) polega na wyznaczeniu takiego wektora
parametrów a, dla którego funkcja S(a)=eTe osiąga minimum
Sa  e e  y  Xa  y  Xa   y T y  2a T XT y  a T XT Xa
T
Otrzymujemy wzór:
T

a X X
T

1
T
X y
12
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
n
2
e
t
Wariancję odchyleń losowych szacuje się na podstawie wzoru
e Te
S 
 t 1
n  k 1 n  k 1
2
e
Macierz kowariancji i wariancji ocen parametrów strukturalnych szacuje się na
podstawie wzoru

D a   S X X
2
2
e
T

1
W macierzy tej elementy na głównej przekątnej są wariancjami ocen parametrów
strukturalnych. Natomiast pierwiastki z tych wartości są standardowymi błędami szacunków
parametrów strukturalnych.
13
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Wartość oceny ai informuje o ile jednostek zmieni się zmienna objaśniana Y, jeśli
zmienna objaśniająca Xi zmieni się o jednostkę, przy założeniu, że wartości
pozostałych zmiennych objaśniających nie zmienią się.
Pierwiastek kwadratowy z wariancji reszt nazywany jest odchyleniem
standardowym reszt i wskazuje o ile przeciętnie zaobserwowane wartości
różnią się od wartości teoretycznych tej zmiennej wyznaczonych z
modelu inaczej standardowy błąd estymacji.
Standardowe błędy szacunków parametrów strukturalnych informują o ile
jednostek wartość oceny parametru różni się od rzeczywistej wartości
parametru
14
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Założenia Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów
(Z1) Zmienne objaśniające są nielosowe oraz nieskorelowane ze składnikiem losowym
Uchylenie założenia (Z1) powoduje utratę istotnych własności estymatorów
Z(2) Liczebność próby jest większa niż liczba szacowanych parametrów rz(X)=k+1 oraz k<n
Założenie (Z2) zapewnia, że estymator można wyznaczyć w sposób jednoznaczny
Z(3) wartości oczekiwane składników losowych są równe zeru
Założenie (Z3) stanowi, że zakłócenia redukują się wzajemnie.
Z(4) wariancje składników losowych są stałe (homoskedastyczność) – macierz wariancji i
kowariancji pomiędzy składnikami resztowymi jest postaci
2
T
 
D ε   E ε ε   2 I
Założenie (Z4) zapewnia, ze wartość wariancji zakłóceń nie zależy od numeru obserwacji oraz
zakłócenia w modelu nie są skorelowane pomiędzy różnymi obserwacjami
Z(5) Każdy ze składników losowych ma rozkład normalny
Założenie (Z5) dotyczące normalności rozkładu składnika losowego mają znaczenie przy
wnioskowaniu statystycznym
15
Ekonometria
Estymacja parametrów – Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Twierdzenie Gaussa Markowa
Estymator a wyznaczony KMNK jest estymatorem: liniowym,
zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych i
nieobciążonych estymatorów wektora parametrów α modelu
liniowego jednorównaniowego.
Estymator jest:
-- estymatorem zgodnym, jeśli jest zbieżny stochastycznie do α
-- estymatorem nieobciążonym, jeśli E(a)=α
-- estymatorem najefektywniejszym – jeśli na w określonej klasie
najmniejszą wariancję
-- estymatorem liniowym – ponieważ każda składowa wektora a
jest liniową funkcją składowych wektora y o
współczynnikach iloczynu (XTX)-1XT
16
Ekonometria
Weryfikacja modelu
Proces weryfikacji modelu opiera się na zbadaniu
własności:
•Stopnia zgodności z danymi empirycznymi
•Własności rozkładu odchyleń losowych
17
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie dopasowania
Współczynnik zmienności losowej
Se
Ve 
 100%
y
Im mniejsze wartości współczynnika, tym model lepiej
dopasowany. Przyjmuje się, że powyżej wartości 10%
współczynnik ten informuje, że dopasowanie modelu do
danych jest zbyt słabe.
Informuje jaki procent średniej arytmetycznej zmiennej
objaśnianej stanowi odchylenie standardowe reszt.
18
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu – badanie dopasowania
•Współczynnik zbieżności
n
2 
2
e
t
t 1
n
2


y

y
 t
t 1
•Współczynnik determinacji
n
R2 
  yˆ
t
 y
 y
t
 y
t 1
n
t 1
2
2
T
T
T T
e
e
y
y

a
X y
R2  1 T

1

y y  ny 2
y T y  ny 2
19
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu – badanie dopasowania
Współczynnik korelacji wielorakiej R
det W
R  1
det R
1
W
R 0
R T0 

R
Określa on siłę związku korelacyjnego liniowego zmiennej endogenicznej ze
wszystkimi zmiennymi egzogenicznymi.
Można go wyznaczyć jako pierwiastek ze współczynnika determinacji.
20
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie dopasowania
Badanie istotności współczynnika determinacji.
Hipotezy:
H0: R=0
|1|=|2|=…=|k|=0
H1: R≠0
|1|+|2|+…+|k|≠0
Wartość krytyczna
Statystyka/procedura
F
R n  k 1
k
1 R2
2
F* - odczytana z tablicy rozkładu F Snedecora
dla poziomu istotności  oraz stopni swobody: m1=k
m2 = n-k-1
Decyzja: jeśli F ≤ F* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli F > F*, to hipotezę H0 odrzucamy
21
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie dopasowania
Badanie istotności poszczególnych parametrów.
Hipotezy:
H0: i=0
H1: i≠0
Wartość krytyczna
Statystyka/procedura
I* - odczytana z tablicy testu t Studenta
Ii 
ai
dla poziomu istotności  oraz stopni swobody: n-k-1
S ai 
Decyzja: jeśli Ii ≤ I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli Ii > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
22
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu – badanie własności reszt
Badanie losowości
Hipotezy:
H0: Ymodel = f(X1,X2,…,Xk)
H1: Ymodel ≠ f(X1,X2,…,Xk)
Statystyka/procedura oraz wartość krytyczna
Dla ciągu reszt obliczamy liczbę serii r pojawiania się reszt dodatnich i ujemnych. Dla
wartości n1 oraz n2 oznaczających liczbę reszt dodatnich albo ujemnych (bądź odwrotnie)
odczytujemy z tablicy testu serii lewostronnego oraz prawostronnego wartości:
r*min oraz r*max.
Jeśli:
r*min < r < r*max, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho.
w przeciwnym przypadku hipotezę H0 należy odrzucić przyjmując H1
23
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie własności reszt
Normalność rozkładu – test Hellwiga
Hipotezy:
H0: F() = FN()
H1: F() ≠ FN()
ut 
et  e

1 n
e   et
n t 1
1 n
2



e

e
 t
n t 1
Statystyka/procedura
1.
Standaryzujemy reszty zgodnie ze wzorem:
2.
Wyznacza się wartości dystrybuanty rozkładu N(0,1) - (ut)
3.
Wyznacza się tzw. cele, którymi są przedziały liczbowe powstałe z podziału
odcinka [0,1] na n równych części o długości 1/n każda.
4.
Wartości dystrybuanty (ut) przyporządkowuje się odpowiednim celom, następnie
zlicza się liczbę cel pustych K.
5.
Z tablic testu Hellwiga odczytuje się wartości krytyczne K1 oraz K2 dla zadanego
poziomu istotności
Jeśli K1 ≤ K ≤ K2 , to nie ma podstaw do odrzuceniu H0
w przeciwnym przypadku H0 odrzucamy na korzyść H1
24
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie własności reszt
Badanie autokorelacji rzędu 
Hipotezy:
H0: r = 0
H1: r ≠ 0
Statystyka/Procedura
Wyznaczany współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy resztami z okresu t a okresu t- .
n
r 
e


t  1
n
e


t  1
t
t
 et et   et  
n
Wyznaczana jest wartość I
 et    et   et  
2
2
I 
t  1
r
n   2
1  r2
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności  oraz stopni swobody m
= n--2.
Decyzja: jeśli I ≤ I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli I > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
25
Ekonometria
Weryfikacja modelu – badanie własności reszt
Badanie stałości wariancji – istotność współczynnika korelacji pomiędzy resztami a zmienną czasową
Hipotezy:
H0: rt = 0
H1: rt ≠ 0
Statystyka/Procedura
Wyznaczany współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy modułami reszt a zmienną czasową t
oraz wyznacza się wartość statystyki It
n
rt 
 e
t
t 1
 e
n
t 1
t
 et t  t 
 et
   t  t 
2
n
2
It 
t 1
rt
n2
1  rt 2
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności  oraz stopni swobody
m = n - 2.
Decyzja: jeśli It ≤ I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli It > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
26
Ekonometria
Weryfikacja modelu - badanie własności reszt
Badanie stałości wariancji
S
2
e.1
n1
1
et  e1 2


n1  k  1 t 1
2
e.2
n
1
et  e2 2


n2  k  1 t nn2 1
Hipotezy:
H0: 2e.1 = 2e.2
2
2
H1: e.1 < e.2
Statystyka/Procedura
Wyznaczana jest wartość:
S e2.2
F 2
S e .1
S
1
e1 
n1
1
e2 
n2
n1
e
t 1
t
n
e
t
t  n  n2 1
Z tablic rozkładu F – Snedocora dla zadanego poziomu istotności  oraz stopni swobody
m1=n2-k-1 oraz m2 = n1 – k -1 odczytujemy wartość krytyczną F*.
Decyzja: jeśli F ≤ F* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli F > F*, to hipotezę H0 odrzucamy
27
Ekonometria
Weryfikacja modelu - badanie własności reszt
Badanie nieobciążoności odchyleń resztowych – dla modeli nieliniowych ze względu na
parametry strukturalne.
Hipotezy:
H0: E() = 0
H1: E() ≠ 0
Statystyka/Procedura
e n 1
I
Sˆ
e
gdzie
1 n
e   et
n t 1
1 n
2
ˆ


Se 
e

e
 t
n t 1
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności  oraz stopni
swobody
m = n - 1.
Decyzja: jeśli It ≤ I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli It > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
28
Ekonometria
Predykcja na podstawie modelu liniowego
Dany jest model liniowy jednorównaniowy
yˆ  a0  a1 x1  a2 x2    ak xk
Warunkiem dokonania predykcji jest znajomość wartości
zmiennych objaśniających: x*T1, x*T2,…, x*Tk,
Prognoza:
yˆ*  a0  a x  a x    a x
*
1 T1
Średni błąd prognozy:
gdzie:

*
2 T2
*
k Tk
S pT  xTT D 2 a xT  S e2

xTT  1, xT1 , xT 2 ,, xTk

29
Ekonometria
Predykcja na podstawie modelu liniowego
Przedział prognozy:
 - wiarygodność prognozy:
dy

T

T
gy


T

T
P dy  yT  gy
 
- dolna granica przedziału prognozy:
- górna granica przedziału prognozy:

T

T

T

T
dy  y  u  S pT
gy  y  u  S pT

u
0.95
1,96
0,90
1,65
30