przednie koło

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 411-420, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA
TRZYKOŁOWEGO Z NAPĘDEM NA PRZEDNIE KOŁA
Z UWZGLĘDNIENIEM POŚLIZGU KÓŁ JEZDNYCH
MACIEJ TROJNACKI
Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów (PIAP)
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy, na przykładzie robota trzykołowego z napędem na przednie
koła, zastosowano uniwersalną metodykę modelowania analitycznego dynamiki
mobilnych robotów lądowych. Uwzględnia ona warunki współpracy kół jezdnych z
podłożem i występowanie poślizgów. Istotą podejścia zastosowanego w pracy jest
podział modelu robota na dwie części, tj. na część związaną z interakcją z podłożem
obejmującą model opony i na część związaną z platformą mobilną. Ważnym
elementem pracy są badania symulacyjne wykonane z zastosowaniem pakietu
Matlab/Simulink, które pozwoliły na numeryczną weryfikację opracowanych
rozwiązań.
1. WSTĘP
Do modelowania dynamiki mobilnych robotów lądowych stosuje się różne formalizmy.
Do klasycznych można zaliczyć m.in. równania Newtona-Eulera, Lagrange’a, Maggiego i
zasadę d’Alamberta. W XX w. została opracowana metoda Kane’a [8], która jest określana
jako forma Lagrange’a zasady d’Alamberta. W związku z coraz bardziej powszechnym
użyciem komputerów zastosowanie znalazła także metoda układów wieloczłonowych [1],
która jest metodą numeryczną. Posiada ona jednak złożony aparat matematyczny, a jej
zastosowanie wymaga dobrej znajomości metod numerycznych.
Do podstawowych problemów związanych z modelowaniem dynamiki robotów mobilnych
można zaliczyć konieczność opracowywania modelu osobno dla każdego rodzaju robota,
a nawet dla poszczególnych jego konfiguracji. Przykładowo, w klasycznym podejściu,
rozwiązując symbolicznie równania dynamiki dla robota czterokołowego otrzymuje się różne
rozwiązania w zależności od tego, ile jego kół w danej chwili styka się z podłożem, co może
być związane z nierównościami podłoża. Kolejnym problemem jest nierozwiązywalność
równań dynamiki. Jeżeli np. dla robota czterokołowego, którego ruchome człony traktuje się jako
bryły sztywne, należy wyznaczyć 12 składowych sił reakcji podłoża, związanych z kontaktem
czterech kół robota z podłożem, do dyspozycji dla robota jako całości będzie tylko 6 równań
wynikających z jego dynamiki, a kolejne 4 będą wynikać z toczenia się kół jezdnych.
W literaturze dotyczącej metodyki modelowania analitycznego dynamiki mobilnych
robotów kołowych zazwyczaj zakłada się ich ruch bez poślizgów [3,9]. Jest to uzasadnione np.
w przypadku robota Pioneer 2DX [6] poruszającego się z niedużą prędkością. Wiele konstrukcji
robotów jest jednak projektowanych w taki sposób, że poślizgi kół jezdnych są nieodłączną
412
M. TROJNACKI
cechą ich ruchu. Przykładem takiego rozwiązania jest robot czterokołowy posiadający cztery
napędzane i niekierowane koła. Robot taki w trakcie zakręcania zawsze będzie poruszał się w
warunkach poślizgu poprzecznego. O jego ruchu będą decydowały momenty napędowe kół
jezdnych i warunki współpracy tych kół z podłożem. Z tego względu w takich przypadkach
konieczne jest uwzględnienie modelu opony w modelu dynamiki robota.
Problematyka modelowania ruchu z uwzględnieniem poślizgu kół jezdnych jest od wielu
lat przedmiotem badań wielu ośrodków zajmujących się problematyką samochodową. Wyniki
takich badań można odnaleźć m.in. w pracach [1,4,5,7,10]. W badaniach tych uwzględnia się
modele opon samochodowych bazując na wynikach badań eksperymentalnych. Do rzadkości
należą z kolei prace związane z modelowaniem opon małych robotów mobilnych. Wyniki
takich prac można znaleźć m.in. w [2].
W związku z wymienionymi problemami jako cel badań prezentowanych w niniejszej
pracy przyjęto opracowanie uniwersalnej metodyki modelowania dynamiki szerokiej gamy
mobilnych robotów kołowych z uwzględnieniem występowania poślizgu kół jezdnych
i przetestowanie jej na przykładzie robota mobilnego Pioneer 2DX.
2. METODYKA MODELOWANIA
Modelując ruch robotów mobilnych, często konieczne jest zastosowanie kilku układów
odniesienia. Stosowane w niniejszej pracy układy odniesienia nazywane są dużymi literami, które
stanowią ich początek. Informację o układzie odniesienia, w którym wyrażany jest dany wektor,
umieszcza się w lewym górnym indeksie oznaczenia wektora. W prawym dolnym indeksie
umieszcza się nr członu lub nazwę punktu i/lub nazwę osi, natomiast w prawym górnym nazwę
układu, względem którego następuje ruch lub w przypadku sił i momentów sił nr członu, na który
działa siła lub moment. Prawe indeksy pomija się w przypadku, gdy ich nazwa jest taka sama, jak
nazwa układu odniesienia, w którym wektory te są opisywane.
W pracy, na przykładzie robota Pioneer 2DX, stosuje się uniwersalną metodykę
modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów lądowych. Przyjętą metodykę
modelowania ilustruje rys. 1a. Istotą metody jest zastosowanie modelu kontaktu efektorów
z podłożem oraz podział modelu dynamiki robota na części związane z efektorami i na część
związaną z platformą mobilną. W modelu dynamiki korzysta się z formalizmu NewtonaEulera. Przez efektory rozumie się te zespoły robota, które oddziałują na jego otoczenie.
Mogą nimi być np. koła jezdne, chwytaki, stopy itd.
a)
b)
1
ψ3
O
y
O
y& R
O
3
O
0
v A1
ψ3
v A3
O
R
2l1
vR
O
ϕ
v A2
2
l
O
x& R
O
x
Rys. 1. Schemat ogólny przyjętej metodyki modelowania (a), rozkład prędkości
charakterystycznych punktów mobilnego robota trzykołowego w trakcie zakręcania (b)
MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO…
413
W stosowanej metodzie, dla znanego położenia efektorów i modelu otoczenia, następuje
wyznaczenie składowych normalnych sił reakcji działających na poszczególne efektory na
podstawie modelu ich kontaktu z podłożem. Następnie z modeli efektorów wyznaczane są
pozostałe składowe sił i momentów sił reakcji w miejscach kontaktu. Ostatecznie są one
redukowane do punktów zamocowania efektorów do platformy mobilnej. Na podstawie
znajomości tych sił i momentów sił wyznaczany jest ruch całego robota. Należy zauważyć, że
prezentowana metoda jest metodą numeryczną, co pozwala na łatwe jej zastosowanie dla różnej
liczby efektorów. Pozostała część prezentowanego schematu dotyczy sterowania ruchem robota
na podstawie zadanej trajektorii z uwzględnieniem modelu napędów.
Badania prezentowane w pracy dotyczą zadania prostego dynamiki dla mobilnego robota
trzykołowego, w którym dla zadanych momentów napędowych analizuje się jego ruch po
podłożu o różnych właściwościach uwzględniając przy tym występowanie poślizgu kół jezdnych.
3. MODEL ROBOTA
Obiektem badań jest mobilny robot kołowy Pioneer 2DX [6]. Składa się on z korpusu, dwóch
napędzanych kół jezdnych oraz z niewielkiego samonastawnego koła podpierającego. Masa
robota wynosi ok. 9 [kg], jego wymiary odpowiednio: 44 / 33 / 22 [cm] (długość / szerokość /
wysokość), a średnica napędzanych kół jezdnych 16,5 [cm]. Maksymalna prędkość liniowa
robota wynosi 1,6 [m/s], natomiast prędkość kątowa obrotu wokół osi pionowej 300 [deg/s].
W pracy przyjęto model robota pokazany na rys. 1b, w którym wyróżniono podstawowe
zespoły robota oznaczone jako: 0 – platforma mobilna, 1,2 – napędzane koła jezdne, 3 –
samonastawne koło podpierające. W modelu robota przyjęto następujące oznaczenia dla i-tego
koła jezdnego: Ai – środek geometryczny, ri – promień, θi – kąt obrotu własnego.
Analizując kinematykę robota, zakłada się, że ruch przyjętego modelu odbywa się w
płaszczyźnie xy układu {O}. Platforma mobilna robota może być w ruchu postępowym,
obrotowym lub płaskim. Kąt obrotu własnego platformy mobilnej oznaczony jest jako Oφz, a kąt
skrętu samonastawnego koła podpierającego ψ3. Z rozkładu prędkości charakterystycznego
punktu R robota (rys. 1b) wynika, że jego rzuty na osie x i y układu odniesienia {O} spełniają
równanie:
O
y& R = O x& R tg(O ϕ z ) .
(1)
Oznacza to, że na wektor prędkości punktu R narzucone są ograniczenia, czyli więzy, które
są nieholonomiczne, a analizowany układ jest również nieholonomiczny [3,9].
W modelu otoczenia zadawana jest geometria i typ podłoża. Dla danego typu podłoża
w przypadku robota kołowego definiuje się współczynniki tarcia ślizgowego i oporu toczenia
dla par opona-podłoże. Zakłada się, że podłoże jest suche, nie odkształca się pod wpływem
działających na nie sił oraz że współczynniki charakteryzujące poszczególne rodzaje podłoża
mają jednakowe wartości we wszystkich kierunkach.
W modelu kontaktu odkształcalnej opony z nieodkształcalnym podłożem wyznaczana jest
deformacja opony na podstawie geometrii podłoża, promienia nieodkształconej opony oraz
położenia środka geometrycznego opony. W niniejszej pracy założono, że podłoże, po którym
porusza się robot jest poziome. W związku z tym deformacja opony jest wyznaczona z
zależności:
dri = nneg (gh( O x Ai ,O y Ai ) + ri −O z Ai ) ,
(2)
⎧ z dla
nneg (z ) = ⎨
⎩0 dla
z > 0,
z ≤ 0.
(3)
414
M. TROJNACKI
gdzie: ri – promień nieodkształconej opony i-tego koła, OzAi – współrzędna pionowa i-tego koła,
gh(OxAi, OyAi) – wysokość podłoża dla zadanych współrzędnych OxAi, OyAi, nneg(z) – funkcja
zwracająca nieujemną wartość deformacji opony.
Na podstawie znanej deformacji opony wyznacza się wartość składowej normalnej siły
reakcji podłoża w miejscu kontaktu z zależności:
O
FAiz = k i driei + ci sgn (dri )dr&i ,
(4)
gdzie: ki – współczynnik sztywności opony, ci – współczynnik tłumienia opony, ei –
wykładnik potęgi określający nieliniowość charakterystyki sztywności, dr&i – prędkość
zmiany deformacji opony, sgn(.) – funkcja zwracająca znak argumentu.
W niniejszej pracy z uwagi na poziome podłoże i niewielkie przechylenia robota w trakcie
jego ruchu, przyjmuje się, że AiFz = OFAiz. Zakłada się, że układ odniesienia {Ai} związany
z miejscem zamocowania do platformy mobilnej i-go koła nie wykonuje obrotu wraz z kołem.
Następnie wyznacza się pozostałe siły i momenty sił związane z kontaktem koła z
podłożem. Uwzględnia się model opony, bazując na zależnościach empirycznych
wynikających z badań eksperymentalnych dla opon pojazdów samochodowych [7,10].
W tym celu wprowadza się pojęcia poślizgu wzdłużnego i poprzecznego. W literaturze
można spotkać różne konwencje dotyczące poślizgu wzdłużnego, m.in. w postaci [7,10]:
Ai O
Ai O
⎛
v x − re θ&i
θ&i − θ&i*
v ⎞
,
(5)
, λi =
λi = ⎜⎜1 − &x ⎟⎟ ⋅100% , λi =
Ai O
ri θ i ⎠
vx
max θ&i , θ&i*
⎝
gdzie: θ& – prędkość kątowa obrotu własnego koła, θ&* = Ai v O r – prędkość kątowa, jaką ma
(
i
i
x
)
i
koło toczące się bez poślizgu wzdłużnego z prędkością wzdłużną środka geometrycznego
równą Ai v Ox , rei = Ai v Ox θ&i – tzw. promień efektywny toczenia.
W niniejszej pracy stosuje się konwencję, w której dodatkowo wykorzystuje się informację
o znaku momentu napędowego. Poślizg wzdłużny dla i-tego koła w przypadku założonego
ruchu do przodu określa się z zależności:
⎧
−1
dla τ iy ≥ 0 i θ&i* ≠ 0 i θ&i = 0 - koło przemieszcza się bez obracania
⎪ & &* &*
τ iy < 0 i θ&i* ≠ 0
- koło jest hamowane
⎪ θ i − θ i θ i dla
⎪
λi = ⎨
0
dla
θ&i* = 0 i θ&i = 0
- koło jest nieruchome lub toczy się bez (6)
⎪ θ& − θ&* θ& dla
τ iy ≥ 0 i θ&i ≠ 0
poślizgu
i
i
i
⎪
1
dla τ iy < 0 i θ&i* = 0 i θ&i ≠ 0 - koło jest napędzane
⎪⎩
(
)
(
)
- koło obraca się w miejscu
Poślizg poprzeczny określa tzw. kąt poprzecznego znoszenia (rys. 2a). Tangens tego kąta
(dla osi układu odniesienia przyjętych wg tzw. konwencji ISO) jest określony wg zależności:
tg(α i ) = Ai v Oy Ai v xO
(7)
gdzie: Ai v Ox i Ai v Oy to prędkości: wzdłużna i poprzeczna środka geometrycznego koła jezdnego.
W celu wyznaczenia składowej wzdłużnej i poprzecznej siły w miejscu kontaktu czyli TiFx i
Ti
Fy oraz momentu stabilizującego TiTz korzysta się z zależności „Magic Formula”, która została
opracowana na podstawie badań empirycznych przeprowadzonych dla opon samochodowych.
Zależności „Magic Formula” [7,10] definiuje się w następujący sposób:
xl = X l + Shl , X l = {λi ,α i ,αi }1,
(8)
yl = Dl sin [Cl arctg( Bl xl − El (Bl xl − arctg(Bl xl ) ))] ,
Yl = yl + S vl , Yl = { Fx , − Fy , − Tz } ,
Ti
1
Kolejność argumentów odpowiada kolejności współrzędnych.
Ti
Ti
1
(9)
(10)
MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO…
415
gdzie: l = {x, y, z}, a współczynniki Bl, Cl, Dl, Shl, Svl są obliczane z zależności podanych w [7,10].
Rys. 2b-c ilustruje działające na koło jezdne siły i momenty sił związane z kontaktem opony
z podłożem oraz z zamocowaniem koła do platformy mobilnej.
z
z
a)
b)
c)
z
ψ
Ai
Ti
θ&i
γi
Ai
v Ox
Ai
v
Tz
τ iy
Ai
Ai
v Oy
Ai
x
y
O
Tx
Ti
Ti
Fx
Ti
Ai
Ai
Rx
y
Ti
Fy
Rz
Mx
x
Ti
Ai
Fz
Ai
αi
x
Ti
Mz
Ai
Ai
Ry
My
y
Ty
Rys. 2. Konwencja opisu wielkości kinematycznych modelu koła (a),
ilustracja sił i momentów sił związanych z kontaktem opony z podłożem (b),
siły i momenty sił reakcji w miejscu zamocowania koła do platformy mobilnej (c)
Na bieżącym etapie badań pomija się wpływ momentu przechylającego. Natomiast
moment oporów toczenia wyznacza się z zależności:
Ti
(11)
Ty =− Ti Fz ri f ri sgn θ&i ,
gdzie: fri – współczynnik oporów toczenia.
Siły i momenty sił są ostatecznie redukowane do punktu zamocowania koła jezdnego do
platformy mobilnej. Otrzymuje się więc:
Ai
F =Ti F, Ai T = Ai rTi ×Ti F + Ti T .
(12)
Dynamiczne równania ruchu i-tego koła robota w układzie odniesienia {Ai} (związanym z
miejscem zamocowania tego koła do platformy mobilnej) można zapisać w postaci:
O
mi Ai &r&CG
= Ai F + Ai R (i ) + mi Ai g ,
(13)
Ai && R R O
Ai & R R O
Ai & R R O
Ai
Ai
( i ) Ai ( i )
&& + θ + φ& × I θ + φ& = T+ M + τ ,
I
θ + φ
(14)
( )
i
(
) (
gdzie: mi - masa koła,
miejscu kontaktu,
kontaktu, Ai R (i ) ,
Ai
&r&
O
CG
) (
i
)
- wektor przyspieszenia środka masy koła,
Ai
F - wektor sił w
Ai
Ai
T - wektor momentu sił pochodzący od sił i momentów sił w miejscu
M (i ) - wektory siły i momentu siły reakcji, działające na koło w miejscu
jego zamocowania do platformy mobilnej,
Ai
g - wektor przyspieszenia grawitacyjnego, I i -
&& - wektory prędkości i przyspieszenia kątowego
tensor bezwładności koła,
φ& , φ
Ai & R Ai && R
platformy mobilnej, θ , θ - wektory prędkości i przyspieszenia kątowego obrotu koła
R
O
R
O
τ (i ) = Ai τ (di ) + Ai τ (fi ) - wektor momentu działający na koło –
suma wektorów momentu napędowego i oporów ruchu w połączeniu ruchowym.
Równania te pozwalają na wyznaczenie wartości: Ai Rx(i ) , Ai R y(i ) , Ai Rz(i ) , Ai M x(i ) , Ai M z(i ) i θ&&i .
względem platformy mobilnej,
Ai
Ruch robota jest wynikiem działających na efektory sił i momentów sił zredukowanych do
miejsc ich połączeń z platformą mobilną. Pomija się oddziaływanie dodatkowych sił
zewnętrznych, w tym sił związanych z oporem ośrodka. Dynamiczne równania ruchu
platformy mobilnej, z uwzględnieniem połączonych z nią efektorów, zapisuje się w postaci:
m R aOCG = ∑ R FAi + m R g ,
(15)
i
416
M. TROJNACKI
[
&& O + R φ& O × I R R φ& O = ∑ R τ (Ai0 ) + R TAi +
IR Rφ
i
(
R
)
]
rAi − R rCG × R FAi ,
(16)
gdzie: m, I R , R aOCG - masa, tensor bezwładności i wektor przyspieszenia środka masy robota.
Na podstawie tych równań wyznaczane są parametry ruchu robota, tj:
⎞
1⎛
R O
&r&CG = ⎜⎜ ∑ R FAi + m R g ⎟⎟ ,
(17)
m⎝ i
⎠
⎧
⎫
&& O = I −R1 ⎨∑ R τ (Ai0 ) + R TAi + R rAi − R rCG × R FAi − R φ& O × I R R φ& O ⎬ .
(18)
φ
⎩ i
⎭
Składowe sił i momentów sił działających na efektory w miejscach ich połączeń z
platformą mobilną wynoszą:
R
FAil = Ai F ⋅ R e lAi , RTAil = Ai T ⋅ R e lAi ,
(19)
natomiast analogiczne składowe działające na platformę mobilną określa się z zależności:
R (0)
( 0)
(0)
RAil =− Ai R ( i ) ⋅ R e lAi , R M Ail
=− Ai M ( i ) ⋅ R e lAi , Rτ Ail
=− Ai τ ( i ) ⋅ R e lAi ,
(20)
R
[
(
)
]
gdzie: R e lAi - wektory jednostkowe osi układu odniesienia {Ai} wyrażone w układzie {R}.
4. BADANIA SYMULACYJNE
Dla opisanego modelu robota zostały przeprowadzone badania symulacyjne. Polegały one na
rozwiązaniu zadania prostego dynamiki, w którym zadane były momenty napędowe dla dwóch
kół jezdnych robota. Na tej podstawie wyznaczany był ruch robota oraz siły i momenty sił
związane z kontaktem kół z podłożem. W symulacji przyjęto następujące parametry robota:
• wymiary geometryczne w [m] (poszczególne oznaczenia pokazano na rysunku 1b): l =
0,217, l1 = 0,163, r1 = r2 = r = 0,0825, r3 = 0,04,
• masy poszczególnych członów w [kg]: m0 = 5,67, m1 = m2 = 1,5, m3 = 0,5,
• tensory bezwładności2 w [kg m2]: I0 = [0,078, 0, 0; 0, 0,101, 0; 0, 0, 0,154],
I1 = I2 = [0,003, 0, 0; 0, 0,007, 0; 0, 0, 0,003], I3 = [0,00024, 0, 0; 0, 0,00055, 0; 0, 0, 0,00024].
• parametry opony: ki = 20 000 [N/m], ci = 250 [Ns/m], ei = 1.
Wartości tych parametrów przyjęto na podstawie prac [3,9] oraz szacunkowych obliczeń
autora.
Pierwsza symulacja dotyczyła przypadku ruchu robota dla zadanych momentów napędowych
wynoszących 1,7 [Nm]. Uzyskane wyniki symulacji pokazano na rys. 3. W parach kinematycznych
związanych z obrotem kół względem platformy mobilnej uwzględniono występowanie sił tarcia.
W związku z tym pojawiają się w nich ujemne momenty wynikające z oporów ruchu, więc
momenty, który trafiają na koła wynoszą ok. 1,5 [Nm] (rys. 3a). Robot porusza się początkowo po
podłożu betonowym, a następnie wjeżdża na lód (rys. 3b). W początkowej fazie ruchu występuje
duży poślizg wzdłużny (rys. 3c), który po rozpędzeniu się napędzanych kół jezdnych osiąga
ostatecznie niewielką wartość wynoszącą kilka procent. W momencie, gdy robot wjeżdża na lód
następuje nagłe zwiększenie poślizgu wzdłużnego, który ostatecznie osiąga wartość ok. 90%.
W momencie wystąpienia dużego poślizgu wzdłużnego znacznemu zwiększeniu ulegają
prędkości kątowe obrotu napędzanych kół jezdnych, przy mniej więcej stałej prędkości ruchu
wzdłużnego (rys. 3d). Siły i momenty sił związane z kontaktem koła jezdnego 1 z podłożem
pokazane są na rysunkach 3e-h. Wartość składowej wzdłużnej siły po rozpędzeniu się robota
oscyluje wokół pewnej wartości. Oscylacje te związane są z nierównomiernym toczeniem się
samonastawnego koła podpierającego. W chwili, gdy koło jezdne 1 wjeżdża na lód wartość siły
2
Poszczególne elementy w wierszach macierzy oddzielono przecinkami, a wiersze średnikami.
MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO…
417
wzdłużnej raptownie spada. Wartość składowej stycznej siły reakcji podłoża jest cały czas
mniejsza od wartości siły tarcia rozwiniętego. Wartość momentu oporów toczenia (rys. 3g) w
trakcie ruchu po podłożu betonowym jest większa w stosunku do ruchu po lodzie. W obu
przypadkach wartość oporów toczenia ma niewielki wpływ na ruch robota w stosunku do wpływu
siły wzdłużnej.
O
a)
b) 0 yR [m]
τ2y [Nm]
τf2y [Nm]
τ1y [Nm]
τf1y [Nm]
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
-0.4
beton
-1
lód
O
t [s]
0
c) 100
1
2
3
80
60
40
20
0
1
A1
2
A1
Fx [N]
3
A1
Fy [N]
Fz [N]
60
40
20
0
-20
1
2
3
4
.
.
θ 1 [rad/s]
θ 1* [rad/s]
200
150
100
50
0
t [s]
0
t [s]
0
f)
1
A1
3
μpA1Fz [N]
A1
Fx [N]
60
2
Fxy [N]
40
20
0
t [s]
0
g)
0
d) 250
λ1 [%]
e) 80
xR [m]
-2
1
T1
T x [Nm]
0
2
T1
T y [Nm]
3
T1
T z [Nm]
-0.01
t [s]
-20
0
h)
1
A1
Tx [Nm]
2
2
A1
Ty [Nm]
3
A1
Tz [Nm]
1
-0.02
0
-0.03
-1
t [s]
-0.04
0
1
2
3
t [s]
-2
0
1
2
3
Rys. 3. Wyniki symulacji ruchu robota dla zadanych jednakowych momentów napędowych
Druga symulacja dotyczy przypadku ruchu robota dla zadanych różnych momentów
napędowych wynoszących odpowiednio: τ1y = 1,4 [Nm] i τ 2y = 1,6 [Nm]. Wyniki symulacji
zilustrowano na rys. 4. Momenty napędowe działające na koła jezdne robota oraz momenty
związane z oporami ruchu w parach kinematycznych (ujemne) pokazano na rys. 4a. Robot
rozpoczyna jazdę na podłożu betonowym, a następnie wjeżdża na lód (rys. 4b). Ze względu na
mniejszy moment napędowy na lewym kole w trakcie jazdy robot skręca w lewo. Największe
wartości poślizgu wzdłużnego można zaobserwować w początkowej fazie ruchu (rys. 4c-d). Po
rozpędzeniu robota, zmniejszają się one do kilku procent, natomiast po wjechaniu na lód
ponownie rosną. Ponieważ lewo koło robota ostatecznie zjeżdża z lodu ponownie na podłoże
betonowe, więc poślizg wzdłużny dla tego koła ponownie maleje (rys. 4c). W trakcie poruszania
się po lodzie prędkości kątowe obrotu kół jezdnych ulegają istotnemu zwiększeniu, natomiast
prędkości ruchu wzdłużnego zmieniają się w niewielkim zakresie (rys. 4e-f). Wskutek wjechania
lewego koła na podłoże betonowe przy prawym kole pozostającym na lodzie, platforma mobilna
robota w końcowej fazie symulacji doznaje obrotu w prawo. Skutkuje to istotnym zwiększeniem
wartości składowej normalnej siły reakcji w miejscu kontaktu dla lewego koła i zmniejszeniem
418
M. TROJNACKI
analogicznej wartości dla koła prawego (rys. 4g-h). Spowodowane to jest powstaniem dużej
odśrodkowej siły bezwładności związanej z szybkim obracaniem się platformy mobilnej.
Podobnie jak poprzednio wartości składowych wzdłużnych sił reakcji podłoża oraz momentów
oporów toczenia ulegają znacznemu zmniejszeniu w trakcie ruchu robota po lodzie (rys. 4g-l).
O
b) 0 yR [m]
a)
τ2y [Nm]
τf2y [Nm]
τ1y [Nm]
τf1y [Nm]
2
beton
-1
1
0
lód
-1
t [s]
-2
0
c)
1
2
3
d)
1
2
f)
t [s]
0
1
A1
80
60
40
20
0
-20
-40
h)
Fz [N]
t [s]
A1
j)
t [s]
1
T1
0.08
2
T x [Nm]
3
T1
T y [Nm]
T1
1
A2
80
60
40
20
0
-20
-40
0.04
l)
2
A2
Fx [N]
3
A2
Fy [N]
Fz [N]
t [s]
1
2
A2
3
μpA2Fz [N]
A2
Fx [N]
60
40
20
0
-20
-40
Fxy [N]
t [s]
0
T z [Nm]
θ 2* [rad/s]
t [s]
0
μpA1Fz [N]
Fxy [N]
3
.
.
3
A1
Fx [N]
60
40
20
0
-20
-40
4
2
θ 2 [rad/s]
0
A1
2
1
200
160
120
80
40
0
3
Fy [N]
1
0
k)
A1
Fx [N]
0
i)
2
3
t [s]
0
θ 1* [rad/s]
160
120
80
40
0
xR [m]
2
λ2 [%]
3
.
.
θ 1 [rad/s]
e) 200
1
80
40
0
-40
-80
t [s]
0
g)
0
λ1 [%]
80
40
0
-40
-80
O
-2
1
T2
0.08
2
T x [Nm]
3
T2
T y [Nm]
T2
T z [Nm]
0.04
0
0
-0.04
t [s]
-0.08
0
1
2
3
-0.04
t [s]
-0.08
0
1
2
3
Rys. 4. Wyniki symulacji ruchu robota dla zadanych różnych momentów napędowych
MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MOBILNEGO ROBOTA TRZYKOŁOWEGO…
419
5. PODSUMOWANIE
Zaprezentowana metodyka modelowania dynamiki jest na tyle uniwersalna, że może być
zastosowana do szerokiej gamy mobilnych robotów lądowych. W pracy zaprezentowano
wyniki badań symulacyjnych z zastosowaniem omawianej metody dla robota Pioneer 2DX.
Badania te dotyczyły zadania prostego dynamiki, w którym analizowany był ruch robota po
podłożu o różnych właściwościach z uwzględnieniem występowania poślizgu kół jezdnych. W
badaniach wyznaczony został także rozkład sił reakcji działających od podłoża na koła robota.
Z wykonanych badań symulacyjnych wynikają następujące wnioski:
• największe wartości poślizgu wzdłużnego dla kół jezdnych robota występują w
początkowym etapie ruchu;
• po rozpędzeniu się robota na podłożu betonowym wynoszą one ostatecznie kilka
procent;
• zmiana rodzaju podłoża, po którym porusza się robot, w istotny sposób wpływa na
jego ruch;
• po wjechaniu robota na lód, poślizgi ulegają zwiększeniu do 80-90%, zależnie od
koła jezdnego;
• ruch kół jezdnych po lodzie skutkuje znacznym zmniejszeniem składowych
wzdłużnych sił reakcji podłoża i momentów oporów toczenia oraz znacznym
zwiększeniem prędkości kątowych obrotu własnego kół jezdnych przy prędkościach
wzdłużnych dla tych kół zmieniających się w niewielkim zakresie;
• ruch jednego z kół jezdnych po podłożu betonowym przy drugim poruszającym się
po lodzie skutkuje obrotem platformy mobilnej robota;
• z kolei obrót platformy mobilnej powoduje zróżnicowanie składowych normalnych
sił reakcji podłoża, co jest związane z występowaniem odśrodkowej siły
bezwładności.
LITERATURA
1. Blundell M., Harty D.: The multibody system approach to vehicle dynamics. Elsevier, 2004.
2. Dąbek P., Szosland A.: Identyfikacja parametrów skrętnych opony niepneumatycznej robota
mobilnego.”Pomiary, Automatyka, Robotyka” 2011/2, 495-503.
3. Giergiel M. J., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów
kołowych. Warszawa: PWN, 2002.
4. Jazar R. N.: Vehicle dynamics: theory and application. Springer + Business Media, 2008.
5. Nasri A., Hazzab A., Bousserhane I. K., Hadjeri S., Sicard P.: The eficiency of the inference
system knowledge strategy for induction motor linear speed control of an urban electric
vehicle. “Journal of Automation, Mobile Robotics & Intelligent Systems” 2010, Vol. 4, N° 1,
p. 85-93.
6. Operations manual the Pioneer 2 mobile robot. ActivMEDIA ROBOTICS, LLC, USA, 1999.
7. Pacejka H. B.: Tire and vehicle dynamics. 2nd ed. SAE International and Elsevier, 2005.
8. Thanjavur K., Rajagopalan R.: Ease of dynamic modelling of wheeled mobile robots (WMRs)
using Kane's approach. In: Proc. of the 1997 IEEE International Conference on Robotics and
Automation. Albuquerque, New Mexico - April 1997, p. 2926-2931.
9. Trojnacki M.: Sterowanie ruchem nadążnym mobilnego robota kołowego z zastosowaniem
sieci neuronowych. Rozprawa doktorska. Rzeszów: Pol. Rzesz., 2003.
10. Wong J. Y.: Theory of ground vehicles. 3rd ed. Wiley-Interscience, 2001.
420
M. TROJNACKI
Niniejsza praca została sfinansowana z Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego
w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka, 2007-2013 w ramach projektu
pt.: "Zintegrowany Mobilny System Wspomagający Działania Antyterrorystyczne
i Antykryzysowe" o akronimie PROTEUS (POIG.01.01.02-00-014/08).
MODELING AND SIMULATION OF MOTION OF
A THREE-WHEELED MOBILE ROBOT
TAKING INTO ACCOUNT WHEELS SLIPPAGE
Summary. In this paper, on example of a three-wheeled mobile robot, a universal
methodology for analytical modeling of dynamics of ground mobile robots is
presented. This methodology takes into account wheel-ground contact conditions and
wheels slippage. Essence of the approach used in this work is the division of the robot
model into two separate parts, one concerning the wheel-ground interaction (including
a tire model) and the other regarding the mobile platform. The important part of this
work is simulation research performed using Matlab/Simulink package which allows
for the numerical verification of the elaborated solutions.