Wykład 1

WPROWADZENIE
Czym jest fizyka?
Fizyka odgrywa dziś rolę tego co dawniej nazywano filozofią przyrody i z czego zrodziły się
współczesne nauki przyrodnicze. Można powiedzieć, że fizyka stanowi system podstawowych idei
uogólniających dane eksperymentalne i odzwierciedlających obiektywne prawa przyrody.
Parametr
Wartość
Promień Wszechświata
1026 m (1010 lat świetlnych)
Odległość Ziemi do Słońca
1.5×1011 m
Promień Ziemi
6.4×106 m
Liczba protonów i neutronów we Wszechświecie
1080
Słońce
1057 atomów
Ziemia
4×1051
Człowiek
1016 komórek
Komórka
1012–1014 atomów
Teoria w fizyce nie jest traktowana jako prawda ostateczna, lecz jedynie
jako model stosowany do rozwiązywania zagadnień i prowadzący do
rozwiązań ściśle zgodnych z danymi eksperymentalnymi.
Fizyka klasyczna – opis makroświata
Fizyka współczesna –opis mikroświata
Słupy graniczne w tym podziale:
• teoria względności
• mechanika kwantowa
Oddziaływania fundamentalne
Oddziaływanie
Źródło
Intensywność
względna
Promień
działania
Grawitacyjne
Masa
10–39
Dalekozasięgowe
Słabe
Wszystkie cząstki
elementarne
10–15
Krótkozasięgowe
(10–15 m)
Elektromagnetyczne
Ładunki elektryczne
10–2
Dalekozasięgowe
Jądrowe (silne)
Hadrony
(protony, neutrony, mezony)
1
Krótkozasięgowe
(10–15 m)
Podstawowe jednostki układu SI
Wielkość
Nazwa
Symbol
długość
masa
czas
prąd elektryczny
temperatura
liczność materii
światłość
metr
kilogram
sekunda
amper
kelwin
mol
kandela
m
kg
s
A
K
mol
cd
Jednostki pochodne
Za pomocą jednostek podstawowych definiuje się jednostki pochodne
odpowiadające wszystkim pozostałym wielkością fizycznym
Siła
1m
1Newton = 1N = 1kg
1s2
Moc
1wat = 1W = 1kg
2
1m
1s3
Do zapisu bardzo małych lub bardzo dużych
wielkości ⇒ zapis potęgowy
Czynnik
Przedrostek
Symbol
109
106
103
10–2
10–3
10–6
10–9
10–12
giga
mega
kilo
centy
mili
mikro
nano
piko
G
M
k
c
m
μ
n
p
Jednostki długości, czasu i masy
• długość – metr (m) – długość drogi, jaką przebywa światło w próżni w czasie
1/299 792 458 s (1983 r)
• czas – sekunda (s) – czas 9 192 631 770 drgań promieniowania wysyłanego
przez atom cezu –133 (1967)
• masa – kilogram (kg) – masa wzorca walca z platyny i irydu
• jednostka mas atomów (μ) – 1/12 masy węgla C12 – 1 μ = 1,6605402×10–27 kg
KINEMATYKA I DYNAMIKA
Kinematyka (badanie ruchu) –Galileusz, XVII w.
Dynamika (badania przyczyn ruchu) – Newton, XVIII w
Galileo Galilei (1564–1642)
Isaac Newton (1642–1727)
PODSTAWY KINEMATYKI
Kinematyka – klasyfikacja i porównywanie różnych ruchów (jak zmiany ruchu zależą
od czasu?)
• Ruch mechaniczny – zmiana położenia ciała ⇒ konieczne wskazanie innych ciał
względem, których ruch się odbywa (względne przemieszczanie się ciał)
• Ruch – zmiana w przestrzeni i w czasie
• Układ odniesienia – zbiór nieruchomych względem siebie ciał służący do
rozpatrywania ruchu innych ciał i zegar odmierzający czas
• Ruch tego samego ciała względem różnych układów odniesienia ⇒ różny
charakter (pasażer w pociągu)
• Opis ruchu – podanie położenia dla każdej chwili czasu
• Punkt materialny – ciało o znikomo małych rozmiarach w warunkach danego
zagadnienia, o danej masie i położeniu, które można określić jak położenie
punktu geometrycznego
Ruch w trzech wymiarach
Z
• układ odniesienia – kartezjański układ
współrzędnych prostokątnych
• punkt materialny – ciało o znikomo małych
rozmiarach o danej masie i położeniu
• położenie cząstki – podanie współrzędnych
cząstki (wektor położenia)
r
r
r
r
r = ( x, y , z ) = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k
z
A
B
rA
ϑ
rB
y
ϕ
x
X
Y
• ruch – zmiana położenia względem układu
odniesienia
• tor (trajektoria) cząstki – linia którą zakreśla
poruszająca się cząstka
• przemieszczenie
r r
r
Δr = rB − rA
Układy odniesienia na płaszczyźnie
Y
y
r = i x + jy
eϕ
er
j
0
Y
x
X
Kartezjański układ
współrzędnych prostokątnych
r
re r
ϕ
X
0
Układ biegunowy
r
• położenie punktu – wektor położenia r [współrzędne wektora r(x,y) lub r(r,ϕ)],
• wersory osi układu – wektory o jednostkowej długości, skierowane zgodnie ze
zwrotem osi współrzędnych
Układy odniesienia w przestrzeni
r r
r
r r
• kartezjański układ – r = r ( x , y , z ,) = xi + yj + zk
• układ sferyczny –
• układ walcowy
r r
r = r (r ,ϕ ,υ )
z
Układ sferyczny
Położenie określone jest przez promień wodzący r,
kąt biegunowy ϑ i kąt azymutalny ϕ.
P
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
r
ϑ
ϕ
y
x
Kartezjańskie (x,y,z) i sferyczne (r,ϑ,ϕ)
współrzędne punktu P
Prędkość
Cząstka porusza się po krzywoliniowym torze z punktu A do B w czasie Δt przebywając
drogę Δs
y
• prędkość średnia:
r
r Δr
v =
Δt
A
B
• prędkość chwilowa:
r
r
r
Δr dr
v = lim
=
dt
Δt →0 Δt
r t
r t
• wartość liczbowa prędkości jest równa
pochodnej drogi względem czasu:
Δs ds
=
v = lim
dt
Δt → 0 Δt
tor
t
r
r
x
r
v
r
v
r
dr dx r dy r dz r
i +
j+
k
=
=
dt
dt
dt
dt
r
r
r
= v x i + vy j + v z k
v =
v x2
+ v y2
+ v z2
r
r
v = v it
tożsamość
r r r r r r
r r r
a × ( b × c ) = b( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b )
Ruch po okręgu
Przypadek ruchu krzywoliniowego, gdy r = const
r r r
v =ω×r
r
ω=
r
dα
dt
r
ε =
r
dω
dt
ε
ω
gdzie:
ω – prędkość kątowa
ε – przyspieszenie kątowe
s
v
r r r
r r
2 r
a = at + an = ε × r − ω ⋅ r
Przyspieszenie styczne
Δα
r
i
normalne
at
an
Trzy prawa ruchu Newtona
Drugie prawo
Dla dwóch izolowanych cząstek
r
r
Ponieważ a = dv / dt , mamy
r
r
dv A
dv B
= − mB
mA
dt
dt
r
r
m A a A = − m B aB
Przyśpieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas bezwładnych, tj. a = F(1/m), gdzie F
jest stałą proporcjonalności.
Definicja siły
r
r
F = ma
Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała.
Trzecie prawo
r
r
FA jest siłą jaką cząstka B wywiera na cząstkę A, a FB jest siłą jaką cząstka A wywiera na
cząstkę B, czyli
r
r
FA = −FB
Jest to zasada akcji i reakcji zwana trzecim prawem Newtona.
Pierwsze prawo
r
r
r
r
Dla pojedynczej swobodnej cząstki zarówno F = 0 , jak i a = 0 oraz a = dv / dt . Stąd
r
v = const
Prawo bezwładności: ciało nie poddane oddziaływaniu żadnych innych ciał pozostaje
w spoczynku, albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Drugie prawo można zapisać w postaci:
r
d
F=
(m v )
dt
czyli
r
r
Fdt = d (m v )
Jeżeli siła działa w ciągu skończonego czasu t, to mamy
r
r
r
∫ Fdt = mv − mv o
t
0
r
Całka ta zwana jest popędem siły F . Widzimy, że jest równa zmianie pędu wywołanej
działaniem siły w ciągu czasu t.
Inercjalny układ odniesienia
Układy odniesienia:
•
inercjalne,
•
nieinercjalne.
Układ inercjalny: ciała lub układ ciał, na które nie działają żadne siły, musi być w spoczynku
lub poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
W układzie inercjalnym obowiązuje mechanika klasyczna.
Pierwsza zasada dynamiki Newtona nie jest prawem przyrody, lecz postulatem układu
inercjalnego w przyrodzie.
Istnienie ”podstawowego układu odniesienia”, jako takiego układu w którym spełnione są
prawa Newtona, jest postulatem mechaniki newtonowskiej i teorii grawitacji, zwanym zasadą
Macha.
Fundamentalną trudność polegającą na tym, że do sformułowania praw mechaniki klasycznej
koniecznym było postulowanie układu odniesienia, którego nie sposób zrealizować w praktyce,
przezwyciężyła dopiero ogólna teoria względności Einsteina.
Układ związany z Ziemią jest przybliżeniem układu inercjalnego (przyśpieszenie związane z ruchem
obrotowym Ziemi jest bardzo małe).
y2
y1
(x ,y ,z )
P (x12,y12,z12)
v
O2
O1
z1
x1
x2
z2
Punkt P nieruchomy w stacjonarnym układzie 01 obserwowany jest z układu 02 poruszającego
r
się z prędkością v względem układu 01
r
Punkt P jest nieruchomy w układzie 01; porusza się w układzie 02 z prędkością − v . Zatem
x2 = x1 - vt
Pozostałe współrzędne y i z pozostają bez zmian
y 2 = y1
;
z2 = z1
Postulat Galileusza: czas biegnie jednakowo w obu układach
t 2 = t1
Transformacje Galileusza to układ powyższych równań wiążący współrzędne i czas dwóch
układów inercjalnych. Mogą być stosowane tylko w przypadku gdy v << c.
Czas we wszystkich układach inercjalnych jest taki sam, ”płynie” tak samo.
Różniczkując względem czasu związki transformacyjne mamy
dx2 dx1
dt
=
−v
dt
dt
dt
czyli
W zapisie wektorowym
r
r
r
v1 = v 2 + v
co opisuje klasyczne, galileuszowskie dodawanie prędkości.
v 2 = v1 − v
Przyśpieszenie jest niezmiennikiem względem transformacji Galileusza
r
r
r
dv1 dv 2 dv
=
+
dt
dt
dt
czyli
r
r
a2 = a1
Również prawo
inercjalnych.
zachowania
y1
r
dv
=0
dt
gdyż
pędu
y2
pozostaje
niezmiennicze
we
wszystkich
układach
m
v1
v1'
m’
v
z1
O1
O2
x1
x2
z2
Całkowity pęd cząstek o masach m i m’ jest wielkością niezmienniczą przy transformacji
do układu inercjalnego 02
Prawo zachowania pędu w układzie 01 napiszemy w postaci
r
r
mv1 + m' v1' = const
r
r
r
r
gdzie v1 i v1' są prędkościami odpowiednio masy m i m’. Niech teraz v 2 i v 2' będą odpowiednio
prędkościami tych samych dwóch cząstek względem układu 02.
Wiemy, że
r
r r
v1 = v + v 2
r, r r,
v2 = v + v2
Podstawienie tych wyrażeń do równania daje
r r
r r
m(v + v 2 ) + m' (v + v 2' ) = const
stąd
r
r'
r
m v 2 + m' v 2 = const − (m + m' )v
Ponieważ (m + m’)v = const, więc
r
r'
m v 2 + m' v 2 = const
Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układach inercjalnych,
poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami.
Zasada względności Galileusza: istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych w których
spełniona jest pierwsza i druga zasada dynamiki Newtona. Wszystkie te układy są
równoważne i żaden z nich nie jest wyróżniony.
Układy nieinercjalne
r
Układ porusza się ruchem
niejednostajnym prostoliniowym z prędkością v
r
i przyspieszeniem a :
„ Przyspieszenie (siła) nie są niezmiennicze przy przejściu z
jednego układu do drugiego
r r
r
r
r
r
ma2 = F + Fb
ma2 = ma1 − ma
r
r
siła bezwładności
Fb = −ma
gdzie
„ W układzie nieinercjalnym do sił rzeczywiście działających trzeba
dodać siły bezwładności – zmodyfikowane drugie prawo
Newtona
PRZYKŁAD
Winda poruszająca się ruchem niejednostajnym
r
a
r
mg
r
a
r r
a=g
r
Fb
r
Fb
r
mg
r
mg
r
Fb
r
r r
F2 = F + Fb
r
r r
F2 = F − Fb
r
F2 = 0
Prawo powszechnego ciążenia
Sformułowane przez Izaaca Newtona w 1665 r.
m1m2
F =G 2
r
Zakładając średnią gęstość Ziemi ρ = 5×103 kg/m3
(ρSi = 2,8×103 kg/m3, ρFe = 7,9×103 kg/m3)
i promień Ziemi RZ = 3,7×106 m3,
można oszacować stałą grawitacji G.
Isaac Newton
(1642–1727)
Zgodnie z II zasadą Newtona
G
Ponieważ MZ = ρVZ
mM Z
= mg
2
RZ
gRZ2
gRZ2
3g
G=
=
=
3
M Z ρ (4 3)πRZ 4πρRZ
Z ostatniego wzoru otrzymamy G = 7,35×10-11 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10%
większą niż ogólnie przyjęta wartość 6,67×10-11 Nm2/kg2.
Prawa Keplera ruchu planet (1609–1619)
Johannes Kepler (1571–1630): ruch planet
stosuje się do trzech prostych praw.
Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej,
ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
Obserwacje T. de Brahe z 1576 r
Równanie elipsy
Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu
Trzecie prawo Keplera
Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak
kwadraty ich okresów obiegu.
Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy. Dla orbit kołowych:
R13 T12
= 2
3
R2 T2
Newton wykazał później, że prawa Keplera wynikają z jego prawa powszechnego ciążenia