plik PDF

30
NAUCZANIE MATEMATYKI
– Nie rozumiem.
– Bo i moje pytanie jest mętne. Mamy wybrać trzy cyfry i umieścić je w haśle, tak?
– No, tak.
– Gdzie można je postawić?
– No, wszędzie.
– Na ilu miejscach?
– No, jak to na ilu? Na trzech. Jak są trzy
cyfry, to na trzech . . . aha . . . coś pamiętam,
trzy z sześciu, trzy z sześciu . . .
– No, właśnie, zaraz to sobie obliczymy. Na
pozostałych miejscach cztery litery . . .
Rozwiązanie potoczyło się już gładko. Potem była dyskusja, czy wynik wyjdzie ten
sam, gdy najpierw będą ustawiane litery.
Wnioski z mojego artykułu nie są odkryw-
cze, bo być nie mogą. Jestem przekonany,
że lepsze wyniki daje „postmodernistyczne”
podejście do zadania, to znaczy, że jest ono
tylko tekstem. Mamy zrozumieć tekst, podelektować się nim, zanalizować każde słowo. Uczmy nie tylko przekładania tekstu
na symbole, ale i pokazujmy myślenie lateralne, ogólniejsze. Pytajmy: „co to znaczy,
że . . . ”. Algorytmu wymagajmy tylko tam,
gdzie inaczej nie można. Pokazujmy, że im
trudniej, tym ciekawiej. W ten sposób pozyskamy tych, którzy traktowali matematykę
z niechęcią, ale są myślącymi i ambitnymi
dziećmi. Starajmy się pokazać, że w matematyce ważne jest rozumowanie, a „słupki”
są potrzebne tak, jak pianiście „gamy”.
ŚLADAMI EUKLIDESA
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
Przy okazji rozwiązywania zadań z geometrii płaskiej zachodzi niejednokrotnie potrzeba wykorzystania relacji (pewnych tożsamości lub nierówności), w jakich pozostają tzw. elementy wymiarowe w trójkącie,
w szczególności w trójkącie prostokątnym.
Niestety, w szkołach takie relacje są pomijane, a preferuje się tzw. rachunki, czyli
technikę, która wymaga długich i żmudnych
obliczeń. Tym samym przed uczniami jest
niejako ukrywana istota matematyki, która
z racji swej natury odwołuje się do różnorodnych technik uzasadniania faktów.
Chcąc pokazać, jak w prosty sposób poszerzyć tematykę zajęć z geometrii, proponuję
Czytelnikom kilka zadań z wykorzystaniem
relacji, w jakich pozostają wybrane elementy
w trójkącie prostokątnym.
MAGENTA BLACK
Przyjąłem następujące oznaczenia:
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
hc – długość wysokości względem przeciwprostokątnej,
p – długość połowy obwodu trójkąta,
r – długość promienia okręgu wpisanego
w trójkąt,
R – długość promienia okręgu opisanego na
trójkącie.
Zadanie 1
Jakie warunki musi spełniać trójkąt, aby
można go było podzielić na:
a) 5 trójkątów przystających,
b) 10 trójkątów przystających,
c) 13 trójkątów przystających,
d) 34 trójkąty przystające?
(ml36) str. 30
NAUCZANIE MATEMATYKI
Rozwiązanie
Zauważmy, że dowolny trójkąt można podzielić na n2 , czyli na: 4, 9, 16, 25, . . .
c) Trójkąt musi być trójkątem prostokątnym
o przyprostokątnych długości w stosunku
2 : 3.
trójkątów przystających. Wystarczy każdy
bok trójkąta podzielić na n równych części
i punkty podziału połączyć odcinkami równoległymi do boków.
a) Trójkąt musi być prostokątny o przypro-
d) Trójkąt musi być trójkątem prostokątnym
o przyprostokątnych długości w stosunku 3 : 5 albo trójkątem równoramiennym
o wysokości dwa razy dłuższej od podstawy, na którą poprowadzono wysokość.
stokątnych długości w stosunku 1 : 2.
Wniosek
b) Mamy dwa rozwiązania. Trójkąt musi być
trójkątem prostokątnym, w którym jedna
przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od
drugiej, albo trójkątem równoramiennym,
w którym wysokość jest równa długości
podstawy.
Każdy trójkąt prostokątny możemy podzielić, rysując wysokość, na dwa trójkąty podobne, a następnie każdy z nich podzielić na
trójkąty przystające, które będą przystające
między sobą. To jest jednak możliwe tylko
wtedy, gdy przyprostokątne w trójkącie początkowym są współmierne.
Jeśli liczba szukanych trójkątów przystających jest parzysta, to zadanie może mieć
dwa rozwiązania. Jednym z nich jest trójkąt
prostokątny o odpowiednim stosunku długości przyprostokątnych, a drugim – trójkąt równoramienny o odpowiednim stosunku długości wysokości do długości podstawy, na którą poprowadzono wysokość.
Wtedy trójkąt równoramienny dzielimy na
dwa trójkąty prostokątne, a każdy z trójkątów prostokątnych w takim stosunku, żeby
otrzymać połowę liczby potrzebnych trójkątów przystających.
Zadanie 2
Wykaż, że w każdym trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest
równa sumie długości średnic okręgów
wpisanego i opisanego na trójkącie.
MAGENTA BLACK
(ml36) str. 31
31
32
NAUCZANIE MATEMATYKI
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, otrzymamy:
Z twierdzenia o odcinkach stycznych do
okręgu mamy:


|AF | = |AD|




 |BE| = |BD|
 |CF | = r




 |CE| = r
1
1
1
ax sin 45◦ + bx sin 45◦ = ab
2
2
2
Stąd
Dodając stronami, otrzymamy:
|AC| + |BC| = 2r + |AB| = 2r + 2R
Zadanie 3
Oblicz pole trójkąta prostokątnego,
w którym znana jest długość przeciwprostokątnej oraz długość promienia okręgu
wpisanego.
Rozwiązanie
Ze wzoru na długość obwodu i z poprzednich ustaleń mamy:
a + b + c = 2p ⇒ 2r + 2c = 2p ⇒ r + c = p
Po podstawieniu do wzoru na pole trójkąta
P = pr , otrzymamy:
P = (c + r )r = cr + r 2
√
ab
ab 2
x=
=
(a + b) sin 45◦
a+b
Zadanie 5
Wykaż, że trójkąt zbudowany z odcinków o długościach hc , c + hc oraz a + b
jest prostokątny, jeśli trójkąt zbudowany
z odcinków o długościach a, b i c jest
prostokątny.
Rozwiązanie
Załóżmy nie wprost, że trójkąt o długościach boków: hc , c + hc oraz a + b nie jest
trójkątem prostokątnym. Zatem mamy:
(hc )2 + (a + b)2 = (c + hc )2
h2c + a2 + b2 + 2ab = c 2 + 2chc + h2c
A stąd wynika, że
2ab = 2chc ,
co daje sprzeczność, ponieważ
4P∆ = 4P∆
Zadanie 4
Oblicz długość dwusiecznej kąta prostego
w trójkącie prostokątnym, w którym długości przyprostokątnych wynoszą a i b.
Oznacza to, że trójkąt zbudowany z odcinków o długościach hc , c + hc oraz a + b jest
prostokątny.
Autorem artykułu jest Edward Zych.
MAGENTA BLACK
(ml36) str. 32