Przedmiot: Teoria pola elektromagnetycznego ∞ 2c ygh III II I µ0 µ0 J

Transkrypt

zestaw 17)
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki
a = 1 cm, b = 2 cm, c = 0,5 cm, g = 0,7 cm, h = 1 cm, I = 5 A
Przedmiot: Teoria pola elektromagnetycznego
zestaw 18)
zestaw 19)
Numer ćwiczenia:
M3
Temat: Analiza rozproszenia żłobkowego
zestaw 20)
I Rozproszenie żłobkowe – metoda analityczna
zestaw 21)
a = 1 cm, b = 2 cm, c = 0,5 cm, g = 0,5 cm, h = 0,6 cm, I = 5 A
zestaw 22)
Na Rys.1 przedstawiono przekrój poprzeczny żłobka maszyny prądu stałego, wypełnionego
częściowo uzwojeniem. Wyznaczymy indukcyjność rozproszenia takiego żłobka. Zadanie
zestaw 23)
rozwiążemy metodą rozdzielenia zmiennych, a następnie przedstawimy rozwiązanie metodą
elementów skończonych przy całkowym sformułowaniu problemu. Dla uproszczenia analizy
zestaw 24)
przyjmujemy następujące założenia:
1. Żłobek jest dostatecznie długi aby zagadnienie traktować jako dwuwymiarowe.
zestaw 25)
2. Przenikalność magnetyczna ferromagnetyka otaczającego żłobek jest nieskończenie wielka.
3. Indukcja w szczelinie między główkami zębów jest wielkością stałą.
zestaw 26)
4. Gęstość prądu jest stała w przekroju poprzecznym uzwojenia.
y
zestaw 27)
2c
zestaw 28)
b
III
zestaw 29)
II
g
µ= ∞
µ0
µ0
J
h
I
-a
0
a
x
Rys.1 Przekrój poprzeczny żłobka maszyny prądu stałego
Przy powyższych założeniach wygodnie jest prowadzić analizę rozkładu pola magnetycznego
wykorzystując wektorowy potencjał pola magnetycznego A (B = rot A). Ma on bowiem w tym
12
układzie tylko jedną składową prostopadłą do płaszczyzny przekroju poprzecznego żłobka. Pole
magnetyczne w obszarach bezprądowych I i III opisywane jest równaniem Laplace’a, a w obszarze
zestaw 1)
uzwojenia II – równaniem Poissona (por. Rys.1):
2
2
∇ AI = 0 ,
Dane do zadań (oznaczenia jak na Rys. 1, str. 1)
2
∇ AI I = − µ0 J
∇ AI II = 0 ,
(1)
zestaw 2)
I
gdzie: J =
- gęstość prądu.
2ag
zestaw 3)
2
∇ A=
∂2 A
∂x 2
+
∂2 A
(2)
∂y 2
zestaw 4)
Z założenia drugiego wynika zerowanie się składowej stycznej natężenia pola magnetycznego
na powierzchni ferromagnetyka. Składowe wektora indukcji magnetycznej wyznacza się ze wzorów:
∂A
Bx =
,
∂y
∂A
By = −
.
∂x
(3)
∂A
=0
∂y
y =b
dla y = b, c < | x | < a
(4)
zestaw 9)
dla y = 0.
zestaw 10)
µ0 I
2c
dla x | < c.
zestaw 11)
rozwiązania w poszczególnych obszarach przewidujemy w postaci:
zestaw 12)
∞
nπy
nπy 
nπx

AI =
 Anch a + Bn sh a  ⋅ cos a + A0 + B0 y


n =1
∑
zestaw 13)
∞
nπy
nπy 
nπx
1

2
AI I =
 Cn ch a + Dn sh a  ⋅ cos a + C0 + D0 y − 2 µ0 Jy


n =1
∑
∞
∑  E ch
n
n =1
zestaw 8)
Rozwiązując równania dla potencjału wektorowego metodą rozdzielenia zmiennych,
AI I I =
zestaw 7)
Z założenia trzeciego i z prawa przepływu wynika :
=−
zestaw 5)
dla x = ∓ a
∂A
=0
∂y
∂A
∂y
zestaw 6)
Otrzymujemy zatem następujące warunki brzegowe dla potencjału wektorowego A:
∂A
=0
∂x
(5)
nπy
nπy 
nπx
+ Fn sh
⋅ cos
+ E0 + F0 y .
a
a 
a
zestaw 14)
zestaw 15)
Na granicy obszarów powinien być spełniony warunek ciągłości potencjału wektorowego oraz
składowej stycznej wektora natężenia pola magnetycznego.
2
zestaw 16)
11
Możemy też uzyskać inne wielkości, np. przez całkowanie.
Z menu
wybieramy
Postprocessing
Subdomain integration
Opisuje to układ równań:
– całkowanie w
wybranym obszarze. Możemy w ten sposób obliczyć energię zgromadzoną w polu magnetycznym
żłobka (całkując gęstość energii: Magnetic energy density w obszarze żłobka: 3, 4, 5) – Rys. 7,
AI = AII,
∂AI ∂AI I
=
,
∂y
∂y
AII = AIII,
∂AI I ∂AI I I
=
, dla y = h + g/2.
∂y
∂y
oraz indukcyjność rozproszeniową – z równania (13), na podstawie policzonej energii.
dla y = h - g/2
(6)
(7)
Wykorzystując warunki brzegowe i warunki ciągłości do wyznaczenia nieznanych stałych,
otrzymuje się ostatecznie następującą postać potencjału wektorowego w poszczególnych obszarach:
AI =
∑ +A
0
1
AI I =
∑ − 2 µ J ( y − e)
AI I I =
∑ − µ gJ ( y − h) + A
1
2
0
1
+ A0
0
1
0
(8)
,
gdzie:
∑ =−
Rys. 7 Subdomain Integration
2 µ0 a 3 Jg
π 2c
1
Wartość obliczonej całki jest wyświetlana na pasku u dołu ekranu (Rys. 8) i jest poprzedzona
nπc
a ch nπy cos nπx .
a
a
2 nπb
n =1 n sh
a
∞
∑
sin
(9)
Energię zgromadzoną w polu magnetycznym żłobka wyznacza się ze wzoru:
komunikatem: Value of integral: .
W=
1
2 µ0
∫
B 2dV =
v
1
2 µ0
 ∂A 2  ∂A 2 
1


+
grad 2 AdV .
  dV =
 ∂x   ∂y  
2 µ0

V
V
∫
∫
(10)
Korzystając ze wzoru Greena:
∫ grad
2
∫
AdV + A∇ 2 AdV =
V
V
∂A
∫ A ∂n dS
(11)
S
otrzymujemy:
Rys. 8 Wyświetlenie wartości całki
 a h+ g / 2
ag
W = Jl 
AI I dxdy −
c
 0 h − g / 2
∫ ∫
c
∫
AII I
0

,
dx
y =b


(12)
gdzie l jest zastępczą długością żłobka.
Indukcyjność rozproszeniową żłobka obliczamy z zależności:
L=
2W
I2
.
(13)
(ks) 2007-05-07
10
3
Po podstawieniu i scałkowaniu otrzymujemy:
Po utworzeniu geometrii zadania musimy zdefiniować co oznaczają poszczególne obszary.

 6(b − h) − g
a2
L = µ0l 
+ 3 2
12a
π c


∞
∑
n =1
Robimy to określając parametry materiałowe takie jak przewodność, przenikalność i gęstość prądu.
nπc

a cth nπb  .

a 
n3

sin 2
(14)
Z menu Physics wybieramy Subdomain Settings i pozostawiamy w większości nie
zmienione wartości parametrów. Konieczne jest jedynie określenie:
1) gęstości prądu w uzwojeniu (Jez – obszar 4): obliczamy ją na podstawie wartości prądu i pola
Powyższy wzór można zapisać następująco:
przekroju poprzecznego uzwojenia,
L
6(b − h) − g
H 
= µ0
+ G1 ( β , γ )   ,
l
12a
m
(15)
2) przewodności uzwojenia (σ – obszar 4): przyjmujemy przewodność miedzi σ = 60 MS/m,
3) przenikalności magnetycznej względnej ferromagnetyka (µr – obszar 1): możemy przyjąć
gdzie :
wartość 10000.
∞
G1 ( β , γ) = 4 ⋅ 10−7
∑
n =1
2
1  sin(nπγ ) 

 cth(nπβ )
n  nπγ 
4
(16)
β=
b
,
a
γ=
c
a
Określanie warunków brzegowych – Boundary Mode
Możemy sprawdzić ( Physics , Boundary Settings ), że domyślnie przyjęte warunki
brzegowe są ustawione prawidłowo.
Wartości pomocniczej funkcji G1(β,γ) dla wybranych parametrów β i γ:
5
Tworzenie siatki – Mesh Mode
Utwórzmy bardzo gęstą siatkę wybierając z menu Mesh opcję Free Mesh parameters i
β
γ
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,5
1,0
2,0
3,0
4,0
6,0
10,0
8,226⋅10-7
5,451⋅10-7
3,832⋅10-7
2,700⋅10-7
1,852⋅10-7
1,200⋅10-7
7,039⋅10-8
3,407⋅10-8
1,016⋅10-8
0,000
7,883⋅10-7
5,143⋅10-7
3,575⋅10-7
2,502⋅10-7
1,711⋅10-7
1,112⋅10-7
6,567⋅10-8
3,215⋅10-8
9,733⋅10-9
0,000
7,867⋅10-7
5,130⋅10-7
3,564⋅10-7
2,493⋅10-7
1,705⋅10-7
1,108⋅10-7
6,546⋅10-8
3,206⋅10-8
9,712⋅10-9
0,000
7,863⋅10-7
5,129⋅10-7
3,563⋅10-7
2,493⋅10-7
1,705⋅10-7
1,108⋅10-7
6,545⋅10-8
3,205⋅10-8
9,708⋅10-9
0,000
7,859⋅10-7
5,127⋅10-7
3,563⋅10-7
2,492⋅10-7
1,705⋅10-7
1,108⋅10-7
6,544⋅10-8
3,205⋅10-8
9,702⋅10-9
0,000
7,845⋅10-7
5,124⋅10-7
3,561⋅10-7
2,491⋅10-7
1,704⋅10-7
1,107⋅10-7
6,541⋅10-8
3,202⋅10-8
9,685⋅10-9
0,000
7,782⋅10-7
5,109⋅10-7
3,555⋅10-7
2,488⋅10-7
1,702⋅10-7
1,106⋅10-7
6,530⋅10-8
3,193⋅10-8
9,608⋅10-9
0,000
ustalając wielkość Predefined Mesh Sizes na Extremly fine . Wygenerowanie siatki nastąpi,
gdy wybierzemy przycisk Remesh .
6
Rozwiązanie i prezentacja wyników – Solve, Postprocessing Mode
Wybranie polecenia
Solve Problem
z menu
Solve
uruchamia obliczenia. Po ich
zakończeniu program przechodzi do trybu prezentacji wyników. Możemy wybrać wielkość
prezentowaną na ekranie zmieniając ustawienia w oknie
Plot parameters , w menu
Postprocessing . Domyślnie przyjętym sposobem prezentacji jest wyświetlanie przyjętej
wartości w całym analizowanym obszarze (zakładka Slice ). Domyślnie wartością pokazywaną na
ekranie jest indukcja magnetyczna (Magnetic flux density). Możemy sprawdzić jak wyglądają jej
składowe (x, y component) i jakie wartości przyjmuje wektorowy potencjał magnetyczny A, a
dokładnie jego składowa Az (magnetic potential, z component). Inne dostępne bezpośrednio
wielkości to między innymi:
gęstość prądu (current density),
gęstość energii pola magnetycznego (magnetic energy density),
wydzielane ciepło (resistive heating),
natężenie pola magnetycznego (magnetic field).
4
9
W ten sposób tworzymy kolejno cztery prostokąty:
1) środowisko otaczające żłobek (szerokość: 0,1 m, wysokość: 0,1 m, środek w punkcie 0,0),
II Metoda elementów skończonych
2) żłobek o wymiarach 2a × b (szerokość×wysokość), umieszczony tak, żeby jego lewy dolny
róg znajdował się w punkcie (–a, 0),
3) szczelinę między główkami zębów o wymiarach 2c × 0,5 cm (umieszczamy ją nad żłobkiem,
tak jak na Rys.1),
Przedstawimy teraz sposób wyznaczenia rozkładu pola magnetycznego wewnątrz żłobka metodą
elementów skończonych przy całkowym sformułowaniu problemu. Zadanie rozwiązania równań dla
4) uzwojenie – umieszczamy je wewnątrz żłobka tak, aby środek znajdował się w punkcie (0, h).
potencjału wektorowego z odpowiednimi warunkami brzegowymi jest równoważne znalezieniu
takiej funkcji A(x,y), która zapewnia minimum funkcjonału F(A) o postaci [1]:
Wybierając polecenie Draw , Specify Objects
i
Line
rysujemy
poziomą
linię
−c
 ∂A 2  ∂A 2

µ I



+
−
2
A
µ
J
dxdy
+
A 0 dx


0

 ∂x   ∂y 

c

−a 0 
c
a b
F ( A) =
oddzielającą
ferromagnetyk od powietrza (współrzędne x początku i
∫∫
∫
(17)
końca linii: -0.05 0.05, współrzędne y wpisujemy takie,
Minimalizację funkcjonału F(A) przeprowadzimy metodą elementów skończonych. W tym celu
aby linia znalazła się na wysokości na której kończy się
obszar wewnętrzny żłobka dzielimy na elementy trójkątne tak, aby granice między różnymi
szczelina w ferromagnetyku).
Rys. 4 Line
obszarami i brzegi żłobka pokrywały się z bokami znajdujących się w ich sąsiedztwie trójkątów (w
ogólnym przypadku elementy nie muszą być trójkątami). Typowy element e o węzłach i,j,k
przedstawiono na Rys 2.
3
Określanie parametrów materiałowych – Subdomain Mode
y
k
Ak
yk
yi
Ai
i
Aj
yj
j
xi
xj x
xk
Rys.2 Element skończony o węzłach i,j,k
Zakłada się, że A(x,y) wewnątrz elementu e jest liniową funkcją współrzędnych x i y:
Ae ( x, y ) = ae1 + ae 2 x + ae3 y
(18)
W celu wyznaczenia współczynników ae1, ae2, ae3, przyjmuje się, że wartości funkcji A(x,y) w
węzłach elementu są dane i równe Ai, Aj, Ak. Po przeprowadzeniu prostych obliczeń otrzymujemy
e
następującą postać funkcji A (x,y):
T
{ }
Ae ( x, y ) =  Ni , N j , N k  ⋅  Ai , A j , Ak  =  N  Ae
Rys. 6 Subdomain Settings
5
(19)
gdzie :
III Zadania
Nm =
1
( am + bm x + cm y ) ,
2∆
m = i, j, k
(20)
1. Dla podanych parametrów żłobka i przewodu obliczyć energię zgromadzoną w polu
magnetycznym żłobka oraz indukcyjność rozproszeniową żłobka według wyprowadzonych
∆ - pole elementu;
analitycznie zależności (funkcja tp09_rozproszenie w programie MATLAB).
ai = x j yk − xk y j
2. Zamodelować układ w programie COMSOL Multiphysics i obliczyć energię zgromadzoną w polu
bi = y j − yk
(21)
magnetycznym żłobka oraz indukcyjność rozproszeniową.
3. Porównać i skomentować otrzymane wyniki. Dla wyników uzyskanych przy różnych danych
ci = xk − x j
wykreślić zależność indukcyjności i energii od zmienianego parametru.
Pozostałe współczynniki otrzymuje się przez cykliczne przestawienie i, j, k.
IV Żłobek maszyny prądu stałego w programie COMSOL MULTIPHYSICS
W każdym elemencie szukana funkcja jest zatem przedstawiona w postaci wielomianu
liniowego o znanej macierzy [N] i nieznanej macierzy {Ae} wartości funkcji A w węzłach elementu.
1
Problem wyznaczenia rozkładu funkcji A(x,y) sprowadzony został do znalezienia macierzy
kolumnowej {A} zawierającej wartości funkcji A we wszystkich węzłach o wymiarach NP×1 (NP –
Uruchomienie programu i wybór modułu
Po kliknięciu ikony Comsol Multiphysics w oknie Model Navigator wybieramy układ
współrzędnych dla wybranego zagadnienia (dwuwymiarowy) i moduł wykorzystywany do obliczeń.
całkowita liczba węzłów utworzonych przy podziale rozważanego obszaru na elementy).
(1) Wybieramy zakładkę New ,
Rozwiązanie uzyskuje się drogą minimalizacji funkcjonału F względem Am, m = 1, 2, 3, ... NP.
(2) zaznaczamy na rozwijanej liście układ dwuwymiarowy: Space dimension: 2D ,
Warunek konieczny minimum ma postać:
(3) w okienku wybieramy z listy kolejno:
T
 ∂F ∂F
∂F
∂F 
=
,
,...,
 = {0}
∂ { A}  ∂A1 ∂A2
∂ANP 
AD/DC Module\Statics\Magnetostatics\Perpendicular Induction Currents, Vector Potential
(22)
Ponieważ całkowity funkcjonał jest sumą składników pochodzących od poszczególnych
W dolnej części okna możemy sprawdzić, że tak jak w obliczeniach analitycznych, obliczenia
metodą elementów skończonych będą wykonywane dla wektorowego potencjału magnetycznego A,
który ma w tym przypadku tylko jedną składową: Dependent variables: Az .
elementów, tj.:
F=
∑F
e
(23)
(∑ )
∑
∂F e
=0
∂Am
lecenie Draw , następnie Specify Objects i
(24)
gdzie sumowanie należy rozciągnąć na wszystkie elementy. W ten sposób otrzymuje się regułę
budowania całego minimalizującego układu równań [1].
Tworzenie geometrii układu – Draw Mode
Z głównego menu programu wybieramy po-
Typowe równanie powyższego układu przybiera więc postać:
∂
Fe
∂F
=
=
∂Am
∂Am
2
Rectangle (Rys. 3). W lewej górnej części
okienka określamy rozmiar ( Size ) prostokąta.
W polu Width wpisujemy szerokość, a w polu
Height wysokość obiektu. Położenie obiektu
( Position ) określamyw lewej dolnej części
Literatura
okna, za pomocą współrzędnych jego środka
1. R. Sikora: Teoria pola elektromagnetycznego, WNT Warszawa 1985
(jeśli w polu Base wybierzemy Center ), lub
za określając współrzędne lewego dolnego rogu
(jeśli w polu Base wybierzemy Corner ).
6
Rys. 3 Okienko Rectangle
7

Przedmiot: Teoria pola elektromagnetycznego ∞ 2c ygh III II I µ0 µ0 J

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dni Otwarte Funduszy Europejskich - Hakuna Matata

Organizacja pracy opiekuńczo-wychowawczo

Zasady Pobytu - Przedszkole i Żłobek „ Żabka

zadania sem 2

oswiadczenie do odbioru dziecka

Karta zgłoszenia

Karta zgłoszenia dziecka do Niepublicznego Żłobka „ Bajkowy świat

Żłobek Miejski w Krośnie Adres : ul.