Laboratorium Dynamiki Urządzeń Mechatroniki Ćwiczenie 3

Laboratorium Dynamiki Urządzeń Mechatroniki
Ćwiczenie 3
Wyznaczenie parametrów zlinearyzowanego i nieliniowego modelu
transformatora
Wprowadzenie
Ćwiczenie dotyczy identyfikacji parametrów modelu transformatora jednofazowego.
Budowę, zasadę działania i sposób uzyskania równań opisujących transformator w dowolnym
stanie pracy, przy dowolnym kształcie napięcia zasilania przedstawiono w załączniku do
instrukcji. Dla lepszego zrozumienia dalszej części instrukcji zaleca się zapoznanie z treścią
załącznika. Z równań (49-52 załącznika) wynika, że do pełnego zdefiniowania modelu
′ i indukcyjności
potrzebna jest znajomość parametrów modelu, czyli rezystancji: R1 , R2′ ,RFe
Lσ 1 , Lσ′ 2 , Lμ (iμ ) gdzie:
R1 – rezystancja uzwojenia pierwotnego
R2′ – rezystancja uzwojenia wtórnego sprowadzona do pierwotnego
′ – rezystancja obwodu zwartego sprowadzonej do uzwojenia pierwotnego
RFe
Lσ 1 – indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego
Lσ′ 2 – indukcyjność rozproszenia uzwojenia wtórnego sprowadzona do pierwotnego
Lμ – statyczna indukcyjność magnesowania
Lμ (iμ ) – dynamiczna indukcyjność magnesowania
Parametry modelu mogą być wyznaczane metodami obliczeniowymi lub
eksperymentalnymi. Metody obliczeniowe są realizowane w procesie projektowania
w zakresie obliczeń elektromagnetycznych. Obliczenia te bazują na uproszczonych modelach
obwodowych zjawisk (obwody magnetyczne i elektryczne) lub na bardziej dokładnych
modelach polowych z zastosowaniem metody elementów skończonych w obszarach dwu
i trójwymiarowych.
W dalszej części zostanie przedstawiony eksperymentalny sposób wyznaczenia
parametrów modelu transformatora do badania stanów nieustalonych.
Pierwsza część ćwiczenia dotyczyć będzie wyznaczenia parametrów
zlinearyzowanego – liniowego modelu transformatora. Linearyzacja modelu polega na
zastąpieniu indukcyjności dynamicznej indukcyjnością statyczną. W modelu liniowym
funkcyjna zależność indukcyjności od prądu magnesowania Lμ (iμ ) zostaje zastąpiona
wartością stałą. W przypadku modelu zlinearyzowanego wartości indukcyjności
′ zależą od napięcia zasilania transformatora. Dlatego
magnesowania Lμ i rezystancji RFe
pomiary w stanie jałowym należy wykonać przy takim napięciu, przy którym będą
modelowane stany nieustalone. Przyjmujemy w ćwiczeniu, że jest to napięcie znamionowe.
Druga część ćwiczenia dotyczyć będzie wyznaczenia zależności indukcyjności
dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie dostarczonych ćwiczącym,
zarejestrowanych chwilowych wartości napięcia i prądu w stanie jałowym
W trzeciej części ćwiczenia, w pełni zdefiniowany, zlinearyzowany model
transformatora zostanie zastosowany do wyznaczenia metodą obliczeniową charakterystyk
obciążenia transformatora, przy rożnych współczynnikach mocy obciążenia.
1
Przedmiot badań
Przedmiotem badań jest transformator jednofazowy o parametrach znamionowych
Moc pozorna
SN=1300 VA
Napięcie dolne
UNd=127 V
Napięcie górne
UNg=220 V
Częstotliwość
f=50
Hz
Transformator jest zasilany od strony dolnego napięcia
Napięcie pierwotne U1N=UNd
Napięcie wtórne
U2N=UNg
Cel i zakres ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest eksperymentalne wyznaczenie parametrów zlinearyzowanego i
nieliniowego modelu transformatora.
Do zakresu ćwiczenia należy:
1 Wykonanie pomiarów w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
2 Obliczenie, dwoma metodami (uproszczoną i dokładną), parametrów
zlinearyzowanego modelu transformatora i porównanie uzyskanych wyników
3 Wyznaczenie zależności indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego
4 Zastosowanie zlinearyzowanego modelu do wyznaczenia (metodą obliczeniową)
charakterystyk obciążenia transformatora przy różnych współczynnikach mocy
obciążenia
Zadanie 1.
•
•
•
•
Wykonać odpowiednie pomiary w stanie jałowym i w stanie zwarcia transformatora,
które umożliwią wyznaczenie parametrów zlinearyzowanego modelu do badania stanów
nieustalonych przy napięciu znamionowym.
Obliczyć indukcyjności rozproszenia Lσ 1 i Lσ′ 2 oraz skorygować rezystancje R1 i R2′
(zmierzone metodą techniczną) na podstawie pomiarów wykonanych w stanie zwarcia.
′ metodą uproszczoną i metodą dokładną
Obliczyć parametry gałęzi poprzecznej Lμ i RFe
oraz porównać wyniki obliczeń.
Zapisać wyniki obliczeń parametrów do pliku
Zadanie 2.
•
•
•
•
Wyznaczyć zależności indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie
zarejestrowanych chwilowych wartości prądu i napięcia w stanie jałowym przy napięciu
znamionowym
Powtórzyć obliczenia zależności indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na
podstawie zarejestrowanych chwilowych wartości prądu i napięcia w stanie jałowym przy
napięciu znacznie wyższym od znamionowego.
Wyznaczyć jedną zależność indukcyjności dynamicznej w szerokim zakresie zmian prądu
magnesującego na podstawie dwóch obliczonych wcześniej charakterystyk.
Dopisać wyniki obliczeń parametrów modelu nieliniowego do pliku z parametrami,
stworzonego w zadaniu 1
Zadanie 3.
•
•
Zastosować zlinearyzowany model transformatora do wyznaczenia charakterystyk
obciążenia transformatora przy różnych współczynnikach mocy obciążenia.
Sporządzić wykresy charakterystyk przy różnych współczynnikach mocy w dużym i
małym zakresie zmian prądów.
2
•
Opracować program umożliwiający rysowanie wykresów wskazowych prądów i napięć
przy różnych współczynnikach mocy obciążenia (przy zastosowaniu gotowej funkcji) w
celu wyjaśnienia i zrozumienia przebiegów charakterystyk obciążenia przy różnych
współczynnikach mocy.
Wskazówki do rozwiązania zadania 1
Część eksperymentalna
Celem części eksperymentalnej jest wykonanie pomiarów niezbędnych do
wyznaczenia parametrów zlinearyzowanego modelu transformatora.
Rezystancje uzwojenia pierwotnego i wtórnego zostały pomierzone metodą
techniczną, przy zasilaniu prądem stałym ze stabilizowanego źródła napięcia. W wyniku kilku
pomiarów obliczono średnie wartości rezystancji, które wynoszą:
R1=0.147 Ω
R2=0.348 Ω
Do zadań ćwiczących w części eksperymentalnej należy wykonanie pomiarów w
stanie jałowym i w stanie zwarcia transformatora. W stanie jałowym, przy zasilaniu
uzwojenia pierwotnego transformatora napięciem znamionowym Uo=U1N=127 V należy
zmierzyć prąd Io i moc czynną Po. W stanie zwarcia należy dla trzech wartości prądu Iz
zmierzyć napięcie Uz i moc Pz.
Wyniki pomiarów należy zestawić w tabeli
Wyniki pomiarów w stanie jalowym
Uo [V]
Io [A]
Po [W]
127
Wyniki pomiary w stanie zwarcia
Uz [V]
Iz [A]
Pz [W]
9
10
11
Część obliczeniowa
Celem tej części ćwiczenia jest wyznaczenie, na podstawie wyników pomiarów,
parametrów zlinearyzowanego modelu transformatora. Zadaniem ćwiczących będzie
przygotowanie odpowiedniego pliku skryptowego np. scw3.m, w którym zostaną
zrealizowane potrzebne obliczenia
W części pliku, która dotyczy zadania pierwszego powinny znaleźć się następujące elementy:
1. Wprowadzenie danych znamionowych
2. Obliczenia parametrów na podstawie danych znamionowych – transformator jest
zasilany od strony dolnego napięcia
3. Wyniki pomiarów rezystancji uzwojeń
4. Wyniki pomiarów w stanie jałowym: napięcie prąd i moc
5. Wyniki pomiarów w stanie zwarcia po trzy wartości prądu napięcia i mocy
6. Korekta rezystancji i obliczenie indukcyjności rozproszenia na podstawie stanu
zwarcia
7. Obliczenie indukcyjności magnesującej i rezystancji obwodu zwartego na
podstawie pomiarów w stanie jałowym – metoda przybliżona.
8. Obliczenie indukcyjności magnesującej i rezystancji obwodu zwartego na
podstawie pomiarów w stanie jałowym – metoda dokładna.
9. Zapisanie parametrów modelu zlinearyzowanego do pliku
3
1. Wprowadzenie danych znamionowych
SN=1300
Moc pozorna znamionowa VA
UNd=127
Napięcie dolne znamionowe V
UNg=220
Napięcie górne znamionowe V
f=50
Częstotliwość napięcia zasilającego Hz
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Kolorem niebieskim będą dalej pokazane kolejne sekcje pliku skryptowego w notacji
Matlaba, dla odróżnienia komentarze zaznaczono na zielono
%Plik do wyznaczania parametrów modelu liniowego i nieliniowego trafo
%Rozwiązuje trzy zadania cw3
clear all; close all;
%Ustawienie parametrów czcionki
set(0, 'DefaultAxesFontname','Arial CE');
fosiz=9; %wielkośc fontów na wykresie
set(0, 'DefaultAxesFontSize', fosiz);
set(0,'defaulttextfontname','Arial CE');
set(0,'defaulttextfontsize',fosiz);
set(0,'defaultfigurecolor','w');
%Dane znamionowe
Sn=1300; %VA moc pozorna
Und=127; %V napięcie dolne
Ung=220; %V napięcie górne
f=50;
%Hz
średnik na końcu linii oznacza, że wartość zmiennej nie będzie wyświetlana, % znak komentarza
2. Obliczenia parametrów na podstawie danych znamionowych – transformator jest
zasilany od strony dolnego napięcia
U1N = U Nd
Napięcie pierwotne znamionowe V
(2.1)
U 2 N = U Ng
ϑ=
I 1N
I 2N
U1 N
U2N
S
= N
U 1N
S
= N
U 2N
Napięcie wtórne znamionowe V
(2.2)
Przekładnia napięciowa
(2.3)
Prąd pierwotny znamionowy A
(2.4)
Prąd wtórny znamionowy A
(2.5)
%Parametry znamionowe-transformator jest zasilany od strony dolnego napięcia
U1n=Und;
%V napięcie pierwotne
U2n=Ung;
%V napięcie wtórne
teta=U1n/U2n; % Przekładnia napięciowa
I1n=Sn/U1n; % A Prąd znamionowy pierwotny
I2n=Sn/U2n; % A Prąd znamionowy wtórny
3. Wyniki pomiarów rezystancji uzwojeń
R1 = 0.147
Rezystancja uzwojenia pierwotnego Ω
(3.1)
R2 = 0.348
Rezystancja uzwojenia wtórnego Ω
(3.2)
2
R2′ = R2ϑ
Rezystancja uzwojenia wtórnego sprowadzona do pierwotnego Ω (3.3)
Rzo = R1 + R2′
Rezystancja zwarcia obliczona na podstawie pomiaru
(3.4)
rezystancji prądem stałym Ω
%Wyniki pomiarów rezystancji uzwojeń
R1=0.147;
%Ohmy
4
R2=0.348;
%Ohmy
R2p=R2*teta^2; %Ohmy rezystancja obwodu wtórnego sprowadzona do pierwotnego
Rzo=R1+R2p; %Ohmy Rezystancja zwarcia obliczeniowa na podstawie pomiaru
rezystancji prądem stałym
4. Wyniki pomiarów w stanie jałowym: napięcie prąd i moc
U o = U1 N
Znamionowe napięcie zasilania strony pierwotnej V
(4.1)
I o = io
(4.2)
Po = po
Prąd zmierzony w stanie jałowym A
Moc pobierana przez transformator w stanie jałowym W
Na czerwono zaznaczono miejsca, gdzie należy wpisać wyniki pomiarów
(4.3)
%Wyniki pomiarów w stanie jałowym zasilanie napięciem znamionowym U1n:
Uo=127; %V napiecie znamionowe
Io=
; %A prad jałowy
Po=
; %W moc w stanie jałowym
5. Wyniki pomiarów w stanie zwarcia po trzy wartości prądu napięcia i mocy
I z = {9,10,11}
Trzy wartości prądu w stanie zwarcia A
(5.1)
U z = {uz1, uz2, uz3} Trzy wartości napięcia w stanie zwarcia V
(5.2)
Pz = {pz1, pz2, pz3} Trzy wartości mocy w stanie zwarcia W
(5.3)
Na czerwono zaznaczono miejsca, gdzie należy wpisać wyniki pomiarów
%Wyniki pomiarów w stanie zwarcia napięcia prądu i mocy
%(trzy pomiary w otoczeniu prądu znamionowego) zasilanie od strony U1
Iz=[9 10 11];
% A w otoczeniu pr. znam.
Uz=[ , , ];
% V odp. im napięcia
Pz=[ , , ];
% W odp. im moce
Umieszczenie szeregu wartości oddzielonych spacją lub przecinkiem w nawiasach kwadratowych
powoduje stworzenie wektora wierszowego w tym przypadku trójelementowego
6. Korekta rezystancji i obliczenie indukcyjności rozproszenia na podstawie stanu zwarcia
U
Zz = z
Impedancja zwarcia Ω
(6.1)
Iz
P
cosϕ z = z
Współczynnik mocy
(6.2)
UzIz
Rz = Z z cosϕ z
Rezystancja zwarcia Ω
(6.3)
Rezystancja obliczona z próby zwarcia nie powinna być mniejsza od obliczonej
według (3.4) na podstawie pomiarów rezystancji prądem stałym. Przy przepływie prądu
zmiennego przez przewód, gęstość prądu w jego przekroju nie jest jednakowa. Jest mniejsza
w środku i zwiększa się w kierunku brzegu przekroju. Efekt ten nazywany efektem
naskórkowości zależy głównie od częstotliwości. Przy częstotliwości 50 Hz jego skutki są
nieznaczne. Przy dużych przekrojach przewodów rezystancja jest o kilka procent większa.
Gdy rezystancja obliczona z próby zwarcia jest większa od pomierzonej prądem stałym
należy dokonać jej korekty według (6.4 i 6.5)
R
R1 = R1 z
Skorygowana rezystancja uzwojenia pierwotnego Ω
(6.4)
Rzo
R2′ = Rz − R1
Skorygowana rezystancja uzwojenia wtórnego Ω
(6.5)
Reaktancja zwarcia Ω
Zakłada się, że X 1 = X 2′
X1 = X z / 2
Reaktancja rozproszenia uzwojenia pierwotnego Ω
X z = Z z2 − Rz2
(6.6)
(6.7)
(6.8)
5
X1
2πf
Lσ′ 2 = Lσ 1
Lσ 1 =
Indukcyjność rozproszenia uzwojenia pierwotnego H
(6.9)
Indukcyjność rozproszenia uzwojenia wtórnego H
sprowadzona do pierwotnego
(6.10)
%korekta rezystancji i obliczenia indukcyjności rozproszenia na podstawie stanu zwarcia
Zz=Uz./Iż;
%Impedancja zwarcia
cosfiz=Pz./Uz./Iż;
%Wsp.mocy
Zz=sum(Zz)/length(Zz);
%usrednianie
cosfiz=sum(cosfiz)/length(cosfiz);%usrednianie
Rz=cosfiz*Zz;
%Rz powinna być nie mniejsza od Rzo
if Rz>=Rzo
R1=R1*Rz/Rzo;
R2p=Rz-R1;
else
warning('Sprawdż pomiary w stanie zwarcia - Rz<Rzo powinno być Rz>=Rzo');
end
Xz=(Zz*Zz-Rz*Rz)^0.5;
% reaktancja zwarcia
X1=Xz/2
%reaktancja rozproszenia uzw. pierw.
X2p=X1;
%reakt. rozpr. uzw. wtórn. spr. do pierw.
Ls1=X1/2/pi/f
%indukcyjność rozproszenia uzw. pierw.
Ls2p=Ls1
%indukcyjność rozpór. uzw. wtórn. spr. dpo pierw.
Operator arytmetyczny poprzedzony kropką oznacza operację na poszczególnych elementach wektora
lub tablicy ( w pierwszym wierszu ./ oznacza dzielenie elementów wektorów Uz i Iz)
sum - funkcja licząca sumę elementów tablicy, length – funkcja licząca liczbę elementów wektora
7. Obliczenie indukcyjności magnesującej i rezystancji obwodu zwartego na podstawie
pomiarów w stanie jałowym – metoda przybliżona.
Przybliżenie metody polega na pominięciu spadków napięcia na rezystancji i
indukcyjności rozproszenia. Przy takim uproszczeniu napięcie na indukcyjności magnesującej
jest równe napięciu na zaciskach uzwojenia. W stanie jałowym jest to dopuszczalne gdyż prąd
jest mały w stosunku do znamionowego. Dalej zostanie przedstawiona metoda dokładna
Wyniki uzyskane metodą przybliżoną, które oznaczono we wzorach poniżej indeksami p
zostaną porównane z wynikami otrzymanymi metodą dokładną
PFe = Po − R1 I o2
Straty w żelazie – w obwodzie zwartym W
(7.1)
U o2
PFe
Rezystancja obwodu zwartego – wartość przybliżona Ω
(7.2)
Współczynnik mocy
(7.3)
I μ = I o 1 − cosϕ o2
Prąd magnesujący A
(7.4)
Uo
Iμ
X
Lμp = μp
2πf
Reaktancja magnesująca Ω
(7.5)
Indukcyjność magnesująca H
(7.6)
′ =
RFep
cosϕ o =
X μp =
Po
Uo Io
%Obliczenia reaktancji i indukcyjności magnesującej oraz rezystancji RFe
%na podstawie stanu jałowego - Metoda przybliżona
PFe=Po-R1*Io^2;
RFep=Uo^2/PFe;
cosfio=PFe/Uo/Io;
sinfio=(1-cosfio^2)^0.5;
6
Im=Io*sinfio;
Xmp=Uo/Im;
Lmp=Xmp/2/pi/f;
8. Obliczenie indukcyjności magnesującej i rezystancji obwodu zwartego na podstawie
pomiarów w stanie jałowym – metoda dokładna.
W tym przypadku, przy liczeniu napięcia indukowanego zostaną uwzględnione spadki napięć
na rezystancji i indukcyjności rozproszenia. Wymaga to użycia rachunku na liczbach
zespolonych
Z1 = R1 + jX 1
Impedancja zespolona rezystancja i reaktancja rozproszenia
(8.1)
uzwojenia pierwotnego
j
U = Uoe
π
2
ϕ o = arccos(cosϕ o )
Napięcie zasilania w stanie jałowym – wartość zespolona
(8.2)
Przesuniecie pomiędzy napięciem i prądem (radiany)
(8.3)
Prąd w stanie jałowym – wartość zespolona
(8.4)
Napięcie indukowane – wartość zespolona
(8.5)
Rezystancja obwodu zwartego – wartość dokładna Ω
(8.6)
Prąd w obwodzie zwartym sprowadzony do pierwotnego
(8.7)
wartość zespolona.
Prąd magnesujący – wartość zespolona
(8.8)
π
j ( −ϕ )
I = Ioe 2
U i = U − Z1 I
2
Ui
PFe
U
′ = i
I Fe
′
RFe
′ =
RFe
′
I μ = I − I Fe
Xμ =
Ui
Iμ
Reaktancja magnesująca – wartość dokładna Ω
(8.9)
Lμ =
Xμ
2πf
Indukcyjność magnesująca – wartość dokładna H
(8.10)
%Metoda dokładna opiera się na dokładnym wyznaczeniu Ui rachunek zespolony
Z1=R1+X1*j;
U=Uo*exp(pi/2*j);
fio=acos(cosfio);
I=Io*exp((pi/2-fio)*j);
Ui=U-Z1*I;
RFe=abs(Ui)^2/PFe
IFe=Ui/RFe;
Im=I-IFe;
Xm=abs(Ui/Im)
Lm=Xm/2/pi/f
deltaR=(RFep-RFe)/RFe*100 %Różnica w obliczeniach rezystancji w %
deltaX=(Lmp-Lm)/Lm*100
%Różnica w obliczeniach indukcyjności w %
%sprawdzenie fi powinno być równe 90
fi=(angle(IFe)-angle(Im))*180/pi;
exp – funkcja ex, acos – funkcja arccos, abs – funkcja liczy moduł, angle – funkcja liczy argument
Krótkie informacje o funkcjach można uzyskać w oknie komend wpisując help nazwa funkcji
9. Zapisanie parametrów modelu zlinearyzowanego do pliku
Obliczone parametry należy zapisać do pliku, np. do pliku binarnego parmod.mat.
Wczytanie tego pliku poleceniem load nazwa pliku bez rozszerzenia w pliku skryptowym np.
w pliku sterującym symulacją load parmod spowoduje utworzenie zmiennych użytych w
7
poleceniu save, którym zostaną przypisane wartości takie jakie zmienne te miały przy zapisie.
%Zapis parametrów R1 R2p RFe Ls1 Ls2p Lm do pliku
save parmod R1 R2p RFe Ls1 Ls2p Lm;
Wskazówki do rozwiązania zadania 2
1. Dane pomiarowe
Indukcyjność dynamiczna gałęzi poprzecznej (indukcyjność magnesująca rys.2 w
załączniku) modelu zostanie wyznaczona na podstawie chwilowych wartości prądu i
napięcia, zarejestrowanych na zaciskach transformatora w stanie jałowym Okazuje się, że
przebieg charakterystyki indukcyjności dynamicznej w zależności od prądu magnesującego
zależy od napięcia zasilania (szczególnie przy małych wartościach prądu). Z tego powodu
zależność indukcyjności dynamicznej w zakresie małych wartości prądu magnesującego
wyznaczono na podstawie pomiarów wykonanych przy napięciu znamionowym.
Rozszerzenie zakresu charakterystyki na duże wartości prądu uzyskano na podstawie
analogicznych pomiarów przy napięciu znacznie większym od znamionowego ok. 200V
Prąd i napięcie zarejestrowane w funkcji czasu nie są przebiegami gładkimi.
Postrzępienia przebiegów spowodowane są określoną rozdzielczością przetwornika
analogowo cyfrowego. W obliczeniach wykorzystywane są wielkości różniczkowe (pochodna
prądu po czasie). Z tego powodu przebiegi czasowe wielkości pomierzonych poddano
odpowiedniemu uśrednianiu i wygładzaniu przy zastosowaniu procedur interpolacyjnych.
Na rys. 1. pokazano pomierzone uśrednione i wygładzone przebiegi prądu i napięcia, a
na rys 2. te same przebiegi w dużym powiększeniu
3
2
Prądy, A
1
0
-1
-2
-3
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0
0.01
0.02
Czas , s
0.03
0.04
0.05
pomiar
uś rednione
uś rednione i wygładzone
200
Napięcia, V
100
0
-100
-200
-0.01
0.04
0.05
Rys. 1. Pomierzone, uśrednione i wygładzone przebiegi prądu i napięcia
Po wygładzeniu przebiegi zostały zapisane w plikach ascii odpowiednio: pomiary przy
napięciu znamionowym w pliku wpom127, przy napięciu wyższym w pliku wpom200. Dane
w pliku są zapisane w postaci macierzy. W kolejnych kolumnach znajdują się: 1 – czas, 2 –
napięcie wygładzone, 3 – prąd wygładzony, 4 – napięcie uśrednione, 5 – prąd uśredniony, 6 –
napięcie pomierzone, 7 – prąd pomierzony.
8
Prądy, A
-2.55
-2.6
-2.65
-2.7
-2.75
0.0183
0.0184
0.0185
0.0186
0.0187
0.0188
pomiar 0.0189
uś rednione
uś rednione i wygładzone
172
Napięcia, V
170
168
166
164
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
5.1
Czas , s
5.2
5.3
5.4
5.5
x 10
-3
Rys. 2. Pomierzone, uśrednione i wygładzone przebiegi prądu i napięcia w dużym powiększeniu
2. Struktura części pliku, dotyczącej drugiego zadania
Jak już wspomniano ostateczna charakterystyka indukcyjności dynamicznej zostanie
niejako zszyta z dwóch charakterystyk. W zakresie małych prądów zostanie użyta
charakterystyka obliczona na podstawie danych z pliku wpom127. W zakresie dużych prądów
zostanie użyta część charakterystyki wyznaczonej na podstawie danych z pliku wpom200.
W związku z tym struktura pliku, dotyczącego drugiego zadania ma postać:
1. wczytanie pliku z pomiarami wpom127,
2. wyznaczenie charakterystyki indukcyjności dynamicznej, dla U=127 V,
3. wczytanie pliku z pomiarami wpom200
4. wyznaczenie charakterystyki indukcyjności dynamicznej, dla U=200 V,
5. obliczenie jednej charakterystyki na podstawie dwóch wyznaczonych wczesniej,
6. dopisanie parametrów modelu nieliniowego do pliku z wynikami parmod.mat,
Ze struktury tej części pliku wynika, że zasadnicza część zadania „wyznaczenie
charakterystyki” powtarza się dwukrotnie. Można tę część pliku skopiować lub dla większej
przejrzystości zapisać w oddzielnym pliku np. charakterystyka
Wtedy cztery pierwsze elementy powyższej struktury (części pliku dotyczącej drugiego
zadania) można przykładowo zapisać w kodzie Matlaba
%==========Zadanie 2
%Wyznaczenie charakterystyki indukcyjności dynamicznej na podstawie pomiarów
%Wyniki pomiarów usrenione i wygładzone przez plik paradu
%macierz wpom składa sie z 7 kolumn kolejno:
%1-czas, 2-napiecie, 3-prąd, usrednine i wygładzone
%4-napięcie, 5-prąd, usrednine
%6-napięcie, 7-prąd, pomiar
load wpom127 %wczytanie wyników przy U=127
wpom=wpom127;
charakterystyka
%Obliczenie indukcyjności dynamicznej dla U=127
wim127=wim;
%wektor pradu do indukcgyjnosci dla U=127
9
Ldm127=Ldm;
%wektor indukcyjności dla U=127
RFen=RFe
%rezystancja galezi poprzecznej dla U=127
load wpom200
%wczytanie wyników przy U=200
wpom=wpom200;
charakterystyka
%Obliczenie indukcyjności dynamicznej dla U=200
wim200=wim;
%wektor pradu do indukcgyjnosci dla U=200
Ldm200=Ldm;
%wektor indukcyjności dla U=200
3. Elementy pliku charakterystyka
W pliku charakterystyka zawarto polecenia które umożliwiają obliczenie
charakterystyki indukcyjności dynamicznej na podstawie pomierzonych przebiegów napięcia
i prądu w stanie jałowym. W pliku tym wyróżnić można następujące części:
1. Utworzenie wektorów wielkości pomierzonych
2. Obliczenie napięcia indukowanego
3. Znalezienie indeksów początku i końca okresu napięcia indukowanego
4. Wybór z pomierzonych przebiegów przedziału 1 okresu: czasu, napięcia
indukowanego, napięcia zasilania, prądu zasilania, pochodnej prądu
5. Obliczenie rezystancji RFe, prądu magnesującego i prądu iFe
6. Wykresy prądów i napięć
7. Obliczenie strumienia
8. Wykres zależności strumienia od prądu
9. Symetryzacja przebiegów prądu magnesującego i strumienia
10. Wykres zależności strumienia od prądu po symetryzacji
11. Obliczenie indukcyjności dynamicznej
12. Wykres indukcyjności dynamicznej
Ad. 1
Należy utworzyć krótkie zmienne zawierające wyniki pomiarów – wektory wartości czasu,
napięcia i prądu
%Utworzenie wektorów wielkości pomierzonych
t=wpom(:,1);
u=wpom(:,2);
i=wpom(:,3);
Ad. 2
Napięcie indukowane można obliczyć z równania napięciowego transformatora w stanie
jałowym. Wcześniej należy obliczyć pochodną prądu po czasie. W równaniu korzystamy z
obliczonych w pierwszym zadaniu R1 i Ls1
%Obliczenie napięcia indukowanego
dt=t(2)-t(1);
%przyrost czasu w wektorze czasu
di=diff(i)/dt;
%Pochodna prądu po czasie
di=[di;di(end)];
%Wyrównanie długości wektora pochodnej prądu
ui=u-R1*i-Ls1*di;
%napięcie indukowane
Ad. 3
Zerową wartość napięcia identyfikuje się badając czy iloczyn elementu następnego i
poprzedniego jest < 0. W początku okresu dodatkowo pochodna napięcia jest > 0
%Znalezienie indeksów początku i końca okresu napięcia indukowanego
iu=find(ui(1:end-1).*ui(2:end)<0)';
%indeksy zerowej wart nap ind
duidt=diff(ui)/dt;
%Pochodna napięcia po czasie
ii=find(duidt(iu)>0);
%Wybór tych indeksów z wektora iu w których jest początek
%przedziału jednego okresu napięcia indukowanego, wtedy duidt>0
i1=iu(ii(1))
%indeks początku okresu ui
i2=i1+800;
%indeks końca okresu ui
10
Ad. 4
Znając indeksy początku i końca napiecia indukowanego wybrano przedział jednego okresu
pozostałych wielkości
%Wybór przedziału 1 okresu: czasu, napiecia ind. nap zas, pradu zas, poch. pradu
to=t(i1:i2);
%Wektor czsu jeden okres
to=to-to(1);
%Wektor czasu jeden okres od zera
T=to(end);
%okres
uio=ui(i1:i2); %1 okres nap indukowanego
uo=u(i1:i2); %1 okres nap zas
io=i(i1:i2);
%1 okres pradu zas
dio=di(i1:i2); %1 okres pochod.pradu zas
Ad. 5
Rezystancję RFe obliczamy z bilansu mocy. Przy liczeniu wartości średniej i skutecznej całkę
zastępujemy odpowiednią sumą
%Obliczenie rezystsancji RFe, prądu magnesujacego i prądu iFe
P0=uo.*io;
% Przebieg (1 okresu) wartości chwilowej mocy dostarczonej
Pcu=R1*io.*io;
% Przebieg (1 okresu) wartości chwilowej mocy traconej na rez. R1
P0s=(P0(1)/2+P0(end)/2+sum(P0(2:end-1)))*dt/T;
%Średnia wartość mocy dostarczonej
Pcus=(Pcu(1)/2+Pcu(end)/2+sum(Pcu(2:end-1)))*dt/T; %Średnia wartość mocy traconej na R1
PFes=P0s-Pcus;
%Średnia wartość mocy tracownej na rez. RFe
uioq=uio.^2;
Uis=((uioq(1)/2+uioq(end)/2+sum(uioq(2:end-1)))*dt/T)^0.5 %skuteczna wartość nap. ind.
RFe=Uis^2/PFes
%Rezystancja RFe
iFeo=uio/RFe;
%Prąd płynący przez RFe
imo=io-iFeo;
%Prąd magnesujący
Ad. 6
%Wykresy prądów
figure('name', ' Przebiegi prądów – jeden okres', 'NumberTitle','off')
plot(to,io,'b',to,imo,'r',to,iFeo,'k');grid
legend('zasilania - pomiar','magnesujący','w gałęzi RFe',1)
xlabel('Czas, s');
ylabel('Prądy, A');
%Wykresy napięć
figure('name', ' Przebiegi napięć – jeden okres', 'NumberTitle','off')
subplot(2,1,1)
plot(to,uo,'b',to,uio,'r',to,R1*io,'c',to,Ls1*dio,'k');grid ;
legend('zasilania - pomiar','indukowane','spadek nap. na R1','spadek nap. na Xs1',1)
xlabel('Czas, s');
ylabel('Napięcia, V');
subplot(2,1,2)
plot(to,R1*io,'c',to,Ls1*dio,'k');grid ;
xlabel('Czas, s');
ylabel('Napięcia, V');
11
3
zasilania - pomiar
m agnesujący
w gałęzi RFe
2
Prądy, A
1
0
-1
-2
-3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Czas , s
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Rys. 3. Przebiegi prądów w zakresie jednego okresu
200
zasilania - pomiar
indukowane
spadek nap. na R1
spadek nap. na Xs1
Napięcia, V
100
0
-100
-200
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Czas , s
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Czas , s
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Napięcia, V
0.5
0
-0.5
Rys. 4. Przebiegi napięć w zakresie jednego okresu
Ad. 7
Całkowanie zastąpiono sumowaniem w sposób narastający
%Obliczenie strumienia
Fi=cumsum(uio)*dt;
12
Fi=Fi-(max(Fi)+min(Fi))/2;
%Eliminacja składowej stałej strumienia
Ad. 8
Kolorami i strzałkami rozróżniono rosnąca i malejącą część charakterystyki
%Wykres zależności strumienia od prądu
iFm=find(Fi==max(Fi)); %Indeks maksymalnej wartości strumienia
figure('name', 'Strumień w funkcji prądu', 'NumberTitle','off')
% Na niebiesko strumień rosnacy na czerwono strumień malejący
plot(imo(1:iFm),Fi(1:iFm),'b',imo(iFm:end),Fi(iFm:end),'r');grid
%Dorysowanie strzałek
iif=[fix(iFm/5) fix(4*iFm/5)]; %miejsca rysowania strzałek
hold on;
plot(imo(iif),Fi(iif),'>b',imo(iFm+iif),Fi(iFm+iif),'<r','MarkerFaceColor','w');
hold off
ylabel('Strumień skojarzony, Wb');
xlabel('Prąd magnesujący, A');
0.6
0.4
Strumień skojarzony, Wb
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3
-2
-1
0
Prąd m agnesujący, A
1
2
3
Rys. 5. Zależność strumienia od prądu magnesującego
Ad. 9
Aby zależność pomiędzy prądem i strumieniem była jednoznaczna, to przebiegi prądu
magnesującego i strumienia powinny być symetryczne względem osi w środku okresu i
względem punktu w jednej czwartej okresu.
%Symetryzacja przebiegów pradu magnesujacego i strumienia
ii=length(to);
%Liczba elementów wektora to o przedziale 1 okresu
i2=fix((ii-1)/2);
%indeks elementu w srodku okresu
i4=fix((ii-1)/4);
%indeks elementu w 1/4 okresu
%symetryzacja przebiegow strumienia i pradu wzgledem osi w srodku okresu
Fi=(Fi+flipud(Fi))/2; %Symetria wzgledem osi w srodku okresu T/2
imo=(imo+flipud(imo))/2;
%symetryzacja przebiegow strumienia i pradu wzgledem srodka w 1/4 okresu
i12=1:i2+1;
13
Fip=(Fi(i12)-flipud(Fi(i12)))/2; %Symetria środkowa względem punktu 1/4 T
imop=(imo(i12)-flipud(imo(i12)))/2;
%Korekta zerowych wartości strumienia i pradu magnesujacego
Fip(i4+1)=0;
imop(i4+1)=0;
%Symetryczne przebiegi strumienia i prądu magnesującego
Fi=[Fip;-Fip(2:end)];
imo=[imop;-imop(2:end)];
iFm=i2+1;%Indeks maksymalnej wartości strumienia
Ad. 10
%Wykres zależności strumienia od prądu po symetryzacji
figure('name', 'Strumień w funkcji prądu', 'NumberTitle','off')
% Na niebiesko strumien rosnący na czerwono strumień malejący
plot(imo(1:iFm),Fi(1:iFm),'b',imo(iFm:end),Fi(iFm:end),'r');grid
%Dorysowanie strzałek
hold on;
plot(imo(iif),Fi(iif),'>b',imo(iFm+iif+5),Fi(iFm+iif+5),'<r','MarkerFaceColor','w');
hold off
ylabel('Strumień skojarzony, Wb');
xlabel('Prąd magnesujący, A');
0.6
0.4
Strumień skojarzony, Wb
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3
-2
-1
0
Prąd m agnesujący, A
1
2
3
Rys. 6. Zależność strumienia od prądu magnesującego po symetryzacji przebiegów
Ad. 11
Aby uzyskać dokładny przebieg indukcyjności dynamicznej przy małych wartościach prądów
zastosowano zagęszczony wektor prądu
%Obliczenie indukcyjności dynamicznej
wim=[0:0.01:max(imo)^0.5]'.^2;
%zagęszczony wektor prądu
wFi=interp1(imo(1:iFm),Fi(1:iFm),wim,'splin','extrap');
%odpowiadający mu wektor stumienia
Ldm=diff(wFi)./diff(wim);
%Indukcjnosc dynamiczna
%rozszerzenie dla dodatnich i ujemnych pradów
14
wim=[flipud(-wim(1:end-1));wim(2:end-1)]; %dopasowanie długości wektor. prądu i indukcyjności
Ldm=[flipud(Ldm);Ldm(2:end)];
Ad. 12
%Wykres indukcyjności dynamicznej
figure('name','Zależnośc indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego', 'NumberTitle','off')
plot(wim,Ldm,'b');grid
ylabel('Indukcyjność dynamiczna, H');
xlabel('Prąd magnesujący, A');
1
0.9
0.8
Indukcyjność dynamiczna, H
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
Prąd m agnesujący, A
1
2
3
Rys. 7. Zależność indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie pomiarów przy U=127 V
4. Obliczenie jednej charakterystyki indukcyjności na podstawie charakterystyk przy
napięciu 127 i 200 V
Omawiany w tym punkcie fragment pliku dotyczy piątego i szóstego elementu
struktury pliku, przedstawionej w punkcie drugim. Na rysunku 8. pokazano dwie
charakterystyki indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego obliczone na podstawie
pomiarów, przy napięciach U=127 i U=200 V. Czarnymi punktami zaznaczono miejsca
przecięcia charakterystyk, w których nastąpi ich zszycie. Punkty te są określone
współrzędnymi prądu im = ±2.3776 A. W celu zszycia charakterystyk należy znaleźć
odpowiednie indeksy w wektorach indukcyjności. Z charakterystyki obliczonej na podstawie
pomiarów przy napięciu U=127 V należy wziąć wartości dla prądów im ≤ 2.3776 .
Z charakterystyki obliczonej dla napięcia U=200 V należy wziąć wartości dla
prądów im > 2.3776 A.
Aby zmniejszyć liczbę elementów wektorów prądów i indukcyjności, które będą
używane w modelu symulacyjnym i jednocześnie wiernie odzwierciedlić jej przebieg
wprowadzono rozrzedzony wektor prądu wimr. Wartości indukcyjności dla prądów
określonych tym wektorem obliczono metodą interpolacji. Ostatecznie charakterystyka
indukcyjności dynamicznej dopisana do pliku parmod.mat jest określona rozrzedzonym
wektorem prądów. Oprócz tej charakterystyki jako parametr modelu nieliniowego dopisano
15
rezystancję obwodu zwartego RFen obliczoną w pliku charakterystyka, przy napięciu 127 V.
U=127
U=200
Ldm127=Ldm200
1
0.9
Indukcyjność dynamiczna, H
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-2
-1
0
Prąd m agnesujący, A
1
2
3
Rys. 8. Charakterystyki indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie pomiarów,
przy napięciach U=127 i U=200 V
i127=find(abs(wim127)<=2.3776);
i201=find(wim200<-2.3776);
i202=find(wim200>2.3776);
wim=[wim200(i201);wim127(i127);wim200(i202)];
Ldm=[Ldm200(i201);Ldm127(i127);Ldm200(i202)];
wimr=[0:0.03:max(wim)^(1/3)]'.^3; %rozrzedzony wektor prądu
wimr=[-flipud(wimr);wimr(2:end)];
Ldmr=interp1(wim,Ldm,wimr,'splin');%odpowiadajacy mu wektor indukcyjnosci dynamicznej
figure('name','Charakterystyki indukcyjności dynamicznej przy U=127 i U=200 V', 'NumberTitle','off')
plot(wim127,Ldm127,'b', wim200, Ldm200,'r',...
[wim127(i127(1)) wim127(i127(end))],[Ldm127(i127(1)),Ldm127(i127(end))],'.k');grid
ylabel('Indukcyjność dynamiczna, H');
xlabel('Prąd magnesujący, A');
legend('U=127','U=200','Ldm127=Ldm200');
figure('name','Ostateczna charakterystyka indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego',
'NumberTitle','off')
plot(wim,Ldm,'b',wimr,Ldmr,'.b');grid
ylabel('Indukcyjność dynamiczna, H');
xlabel('Prąd magnesujący, A');
legend('wszystkie wartości','wartości wybrane do symulacji');
Ldm=Ldmr;
wim=wimr;
%zapisanie wektorów indukcyjności dynamicznej i pradu magnesujacegodo do pliku
save parmod RFen wim Ldm -append;
Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń charakterystyki indukcyjności dynamicznej. Na rys. 9.
w zakresie małych wartości prądu magnesującego, a na rys. 10. w pełnym zakresie prądu.
16
Linią ciągłą przedstawiono wykres powstały z wykorzystaniem wszystkich obliczonych
wartości indukcyjności. Punktami zaznaczono zdyskretyzowaną charakterystykę
indukcyjności, która będzie używana w modelu symulacyjnym.
wszystkie wartości
wartości wybrane do symulacji
0.9
0.8
Indukcyjność dynamiczna, H
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Prąd m agnesujący, A
1
1.5
2
Rys. 9. Zależności indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie pomiarów,
przy napięciach U=127 i U=200 V, w zakresie małych wartości prądu magnesującego
wszystkie wartości
wartości wybrane do symulacji
0.9
0.8
Indukcyjność dynamiczna, H
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
10
Prąd m agnesujący, A
20
30
Rys. 10. Zależności indukcyjności dynamicznej od prądu magnesującego na podstawie pomiarów,
przy napięciach U=127 i U=200 V, w pełnym zakresie prądu magnesującego
17
Wskazówki do rozwiązania zadania 3
1. Zastosowanie zlinearyzowanego modelu do wyznaczania charakterystyk obciążenia
Charakterystyki obciążenia można wyznaczyć przez rozwiązanie zlinearyzowanego modelu –
schematu zastępczego, przy znamionowym napięciu zasilania i różnych impedancjach
obciążenia. Zapis rozwiązania modelu w notacji Matlaba jest bardzo zwięzły. W tym celu
należy stworzyć odpowiednią macierz impedancji o wartościach zespolonych. Przyjęto, że
moduł impedancji w danej kolumnie jest taki sam i maleje ze wzrostem numeru kolumny.
Współczynnik mocy impedancji w danym wierszu jest taki sam i zmienia się począwszy od
obciążenia pojemnościowego cosϕ ≈ 0 , co 0.2 do 1 – obciążenie rezystancyjne i następnie co
0.2 do obciążenia indukcyjnego cosϕ ≈ 0 . Moduły impedancji tak dobrano, aby uzyskać
dokładny przebieg charakterystyk przy małych obciążeniach. Zakres zmian modułu pozwala
na zmianę obciążenia do ponad dwukrotnej wartości prądu znamionowego.
U
Z o = 1N
Moduł impedancji znamionowej
(9.1)
I1N
cosϕ = [ −0.0001, − 0.2, : −0.2 : −0.8,1 : − 0.2 : 0.2, 0.0001] Wektor kolumnowy wartości
współczynników mocy, dla których będą wyznaczane charakterystyki
(9.2)
Zow = Z o /[0.001 : 0.002 : 0.01, 0.02 : 0.01 : 0.2, 0.3 : 0.1 : 2.5]
Wektor wierszowy
wartości modułu impedancji obciążenia
Zo = Zow [ cosϕ + j sign(cosϕ ) 1 − cosϕ 2 ] Macierz impedancji zespolonych obciążenia (9.3)
′
jX μ RFe
ZF =
Impedancja zespolona gałęzi poprzecznej równolegle połączonej
′
jX μ + RFe
reaktancji magnesującej i rezystancji obwodu zwartego
(9.4)
Impedancja zespolona rezystancja i reaktancja rozproszenia
uzwojenia wtórnego, sprowadzone do uzwojenia pierwotnego
(9.5)
Z = Z1 + ( Z F ( Z 2 + Zo ) /( Z F + Z 2 + Zo )
Macierz impedancji zespolonych transformatora i
obciążenia, dla różnych współczynników mocy i rożnych modułów impedancji (9.6)
Z 2= R2′ + jX 2′
U = U N 1e
I1 = U / Z
j
π
2
Znamionowe napięcie zasilania – wartość zespolona
(9.7)
Macierz wartości zespolonych prądów uzwojenia pierwotnego, dla różnych
współczynników mocy i rożnych modułów impedancji
(9.8)
U i = U − I1 Z1 Macierz wartości zespolonych napiec indukowanych
(9.9)
I F = U i / Z F Macierz wartości zespolonych prądów gałęzi poprzecznej
(9.10)
′ Macierz wartości zespolonych prądów obwodu zwartego
I′Fe =U i / RFe
Iμ = I F − I′Fe Macierz wartości zespolonych prądów magnesujących
I′2 = I1 − I′F
U′2 = I′2 Zo
Macierz wartości zespolonych prądów uzwojenia wtórnego,
sprowadzonych do uzwojenia pierwotnego
Macierz wartości zespolonych napięć na obciążeniu,
sprowadzonych do uzwojenia pierwotnego
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.14)
%Wyznaczenie charakterystyk obciążenia
Zo=U1n/I1n;
cosfi=[-0.0001 -0.2:-0.2:-0.8 1:-0.2:0.2 0.0001]';
nc=length(cosfi);
wZo=Zo./[0.001:0.002:0.01 0.02:0.01:0.2 0.3:0.1:2.5];
18
np=length(wZo);
Zo=[abs(cosfi)+sign(cosfi).*(1-cosfi.^2).^0.5*j]*wZo;
Zf=RFe*Xm*j/(Xm*j+RFe);
Z2=R2p+X2p*j;
Z=Z1+(Zf.*(Z2+Zo))./(Zf+Z2+Zo);
U=U1n*exp(pi/2*j);
I1=U./Z;
Ui=U-I1*Z1;
If=Ui./Zf;
IFe=Ui/RFe;
Im=If-IFe;
I2p=I1-If;
U2p=I2p.*Zo;
mI1=abs(I1);
mU2p=abs(U2p);
znak={'o' 's' 'v' '^' '>' '<' 'p' '*' 'h' 'x' '.' '+'};
kolor={'b','r','k','m','g','c' 'b','r','k','m','g','c'};
figure('name','Charakterystyki obciążenia', 'NumberTitle','off')
hold on
opis=[];
for ii=1:nc
plot(mI1(ii,:),mU2p(ii,:),'-','color',kolor{ii})
h(ii)=plot(mI1(ii,24:end),mU2p(ii,24:end),'linestyle','none','Marker',znak{ii},…
'MarkerEdgeColor', kolor{ii},'MarkerFaceColor',[1 1 1]);
opis=[opis;['cosfi2 = ' sprintf('%-5.2f',cosfi(ii))]];
end
legend(h,opis,3)
grid;hold off;
xlabel('Prąd po stronie pierwotnej I1, A')
ylabel('Napięcie na obciążeniu Uo, V')
Powyższy fragment programu pozwala na obliczenie charakterystyk obciążenia.
Wyniki działania pokazano na rysunkach
19
132
Napięcie na obciążeniu Uo, V
130
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
128
126
124
-0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
122
120
118
0
5
10
15
20
Prąd po stronie pierwotnej I1, A
25
30
Rys. 11. Charakterystyki obciążenia transformatora, przy różnych współczynnikach mocy, w dużym zakresie
zmian prądu
127.6
127.4
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
cosfi2 =
Napięcie na obciążeniu Uo, V
127.2
127
126.8
126.6
-0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
126.4
126.2
126
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Prąd po stronie pierwotnej I1, A
3
3.5
Rys. 12. Charakterystyki obciążenia transformatora, przy różnych współczynnikach mocy, w małym zakresie
zmian prądu
20
2. Wykresy wskazowe
Do wyjaśnienia i rozumienia przebiegów charakterystyk obciążenia przy różnych
współczynnikach mocy pomocne są wykresy wskazowe. Mając macierze zespolonych
wartości napięć i prądów wykresy te łatwo jest sporządzać rysując odpowiednie wektory na
płaszczyźnie zespolonej Imag, Real. Aby ograniczyć wykonywanie szeregu żmudnych
operacji geometrycznych, potrzebnych do narysowania wykresu, przygotowano gotową
funkcję. Funkcja ta rysuje cały wykres wskazowy napięć i prądów w jednym oknie. W
drugim oknie pokazane są szczegóły sumowania spadków napięć na indukcyjnościach
rozproszenia i rezystancjach uzwojeń oraz sumowania prądów. Poniższy fragment programu
umożliwia kolejne, w pętli rysowanie wykresów, dla wszystkich współczynników mocy
(zmiana indeksu ic) i prądu bliskiego prądowi znamionowemu. Indeks ip umożliwia wybór
modułu impedancji czyli decyduje o module prądu obciążenia. Rysowanie kolejnych
wykresów rozdziela funkcja pause. Przejście do następnego wykresu następuje po wciśnięciu
dowolnego przycisku.
%Wykresy wskazowe
ip=32; %określa moduł impedancji czyli prąd dla którego rysowane są wykresy
for ic=1:nc
[hf1,hf2]=wykresw(ic,ip,U,Ui,U2p,Im,IFe,If,I1,I2p,R1,R2p,cosfi);
pause
if ic<nc; close(hf1); close(hf2); end;
end
Na rysunkach poniżej pokazano przykładowe wykresy wskazowe
21
140
cosfi=-0.00
I1=9.02 A
I2p=10.38 A
ΔU=U-Uo=-1.81 V
nap.zas. U
nap.ind. Ui
sp.nap.na rez. R1, R2p
sp.nap.na reakt. X1 X2p
nap.na obc. Uo
pr. magn. Im
pr. str. IFe
pr. gał. pop. Ip
pr. zas. I1
pr. obc. I2p
120
100
Sumowanie napięć. Kąt między u2p a i2p=-90 st
129
128.5
128
127.5
127
80
126.5
126
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
60
40
Sumowanie prądów
1
20
0
-1
-10
0
-20
-10
0
-8
-6
-4
-2
0
2
10
Rys. 13. Wykresy wskazowe dla współczynnika mocy 0 pojemnościowy
140
cosfi=0.60
I1=11.37 A
I2p=9.96 A
ΔU=U-Uo=3.37 V
nap.zas. U
nap.ind. Ui
sp.nap.na rez. R1, R2p
sp.nap.na reakt. X1 X2p
nap.na obc. Uo
pr. magn. Im
pr. str. IFe
pr. gał. pop. Ip
pr. zas. I1
pr. obc. I2p
120
100
Sumowanie napięć. Kąt między u2p a i2p=53.1 st
128
127.5
127
126.5
126
125.5
125
124.5
124
80
123.5
123
-2
60
-1
0
1
Sumowanie prądów
7
6
5
40
4
3
20
2
1
0
-10
0
10
0
0
2
4
6
8
10
Rys. 14. Wykresy wskazowe dla współczynnika mocy 0.6 indukcyjny
22
Pytania kontrolne:
1. Dlaczego rezystancja Rz > Rzo gdzie: Rz = Z z cosϕ z – rezystancja obliczona na
podstawie pomiarów w stanie zwarcia, Rzo = R1 + R2′ , a R1 i R2 – rezystancje uzwojeń
pomierzone prądem stałym.
2. Które rezystancje powinny być użyte w modelu do badania stanów nieustalonych –
pomierzone prądem stałym czy skorygowane na podstawie pomiarów w stanie
zwarcia, dlaczego?
3. Przedstawić zależności do wyznaczenia indukcyjności magnesującej Lμ modelu
liniowego metodą uproszczoną, z jakiej próby i jakie wyniki pomiarów są do tego
potrzebne ?
Przedstawić
zależności do wyznaczenia rezystancji obwodu zwartego RFe modelu
4.
liniowego metodą uproszczoną, z jakiej próby i jakie wyniki pomiarów są do tego
potrzebne ?
5. Przedstawić zależności do wyznaczenia indukcyjności magnesującej Lμ modelu
liniowego metodą dokładną.
6. Przedstawić zależności do wyznaczenia rezystancji obwodu zwartego RFe modelu
liniowego metodą dokładną.
7. Wymienić, omówić i uzasadnić etapy w procedurze wyznaczania charakterystyki
indukcyjności dynamicznej w modelu nieliniowym
8. Przedstawić zależności do wyznaczania rezystancji obwodu zwartego RFen w modelu
nieliniowym
9. Opisać sposób wyznaczania charakterystyk obciążeniowych U 2′ ( I1 ) transformatora
metodą obliczeniową, przy różnych współczynnikach mocy obciążenia.
10. Przy jakim współczynniku mocy charakterystyka U 2′ ( I1 ) jest najbardziej opadająca
11. Czy można tak dobrać obciążenie transformatora żeby prąd uzwojenia pierwotnego
był mniejszy od prądu w stanie jałowym przy tym samym napięciu zasilania.
Opracował
J. Szczypior
Warszawa
marzec 2006
23
Załącznik do instrukcji, ćwiczenie nr 3
Wprowadzenie, budowa, zasada działania transformatora
Transformator jednofazowy dwuuzwojeniowy rys.1. posiada dwa uzwojenia – obwody
elektryczne. Uzwojenia te nie muszą być połączone ze sobą elektrycznie, zapewniając
galwaniczną separacje obwodów. Uzwojenie zasilane ze źródła napięcia nazywamy
uzwojeniem pierwotnym. Uzwojenie z którego wydawana jest energia do odbiornika
nazywane
jest
uzwojeniem
wtórnym.
Transformator
jest
przetwornikiem
elektromagnetycznym, który służy do zmiany parametrów energii elektrycznej. Energia
elektryczna dostarczana do uzwojenia pierwotnego przy napięciu U1 i prądzie I1 zamieniana
jest na energię o innych wartościach napięcia U2 i prądu I2. Uzwojenia transformatora są ze
sobą sprzężone magnetycznie za pośrednictwem strumienia magnetycznego φ , zamykającego
się w obwodzie magnetycznym rys. 1. Dobre sprzężenie magnetyczne zapewnia obwód
magnetyczny o małym oporze magnetycznym (reluktancji) np. wykonany z materiału
ferromagnetycznego. W takim przypadku do wytworzenia odpowiednio dużego strumienia
potrzebny jest niewielki prąd. Dlatego uzwojenia umieszcza się na wspólnym rdzeniu
ferromagnetycznym, wykonanym z pakietu blach elektrotechnicznych.
RFe
Rys.1. Schemat budowy, zasada działania transformatora
Do właściwego zrozumienia zasady działania transformatora pomocne jest
rozpatrzenie bilansu napięć w uzwojeniu pierwotnym. Załóżmy na początku, że do uzwojenia
wtórnego nie jest dołączony odbiornik. W tym stanie w uzwojeniu wtórnym nie płynie prąd.
Transformator nie przekazuje energii do odbiornika. Stan ten nazywa się stanem jałowym
transformatora.
Źródło napięcia przemiennego, z którego zasilane jest uzwojenie pierwotne, wymusza
w nim przepływ, takiego prądu przemiennego, który zapewnia spełnienie równania
równowagi napięciowej
U1 = U i + R1 I1
gdzie: Ui – napięcie indukowane, R1 – rezystancja uzwojenia pierwotnego
24
Po prawej stronie równania dominującym składnikiem jest napięcie indukowane
dψ
Ui =
dt
gdzie ψ – strumień magnetyczny, skojarzony z uzwojeniem pierwotnym
Do zbilansowania napięć potrzebny jest przepływ ze źródła takiego prądu, który
wytworzy odpowiedni strumień. Napięcie zaindukowane tym strumieniem w uzwojeniu
pierwotnym wspólnie ze spadkiem napicia na jego rezystancji musi przez cały czas
równoważyć napięcie źródła. Ponieważ główną funkcją prądu w stanie jałowym jest
wytworzenie
odpowiedniego strumienia, dlatego prąd ten nazywany jest prądem
magnesującym.
Strumień wytworzony przez uzwojenie pierwotne kojarzy się również z uzwojeniem
wtórnym. Zatem indukuje on również napięcie w uzwojeniu wtórnym. W obwodzie wtórnym
napięcie to jest napięciem źródłowym, a nie spadkiem napięcia równoważącym napięcie
źródła jak to ma miejsce w uzwojeniu pierwotnym. Wynika z tego, (przy założeniu
podobnych charakterów impedancji obydwu uzwojeń), że prąd uzwojenia wtórnego jest
przeciwnie skierowany niż prąd w uzwojeniu pierwotnym
Gdy dołączymy do obwodu wtórnego odbiornik to prąd, który w nim popłynie
spowoduje zmianę (zmniejszenie) strumienia. Aby bilans napięć w uzwojeniu pierwotnym był
spełniony, pomimo prądu w uzwojeniu wtórnym, musi zmienić się prąd uzwojenia
pierwotnego. W zależności od prądu w uzwojeniu wtórnym prąd w uzwojeniu pierwotnym
musi się tak zmieniać, żeby wypadkowy przepływ obydwu uzwojeń wytwarzał strumień,
który zapewni zbilansowanie napięć w uzwojeniu pierwotnym.
Model matematyczny transformatora jednofazowego
Zgodnie z rys.1. na rdzeniu z materiału ferromagnetycznego umieszczone są trzy
uzwojenia:
1 – uzwojenie pierwotne zasilane ze źródła napięcia u1 (t ) ,
2 – uzwojenie wtórne, do którego jest dołączony odbiornik, na którym jest napięcie u2 (t ) ,
3 – uzwojenie połączone z rezystorem RFe .
Trzecie uzwojenie, które ma jeden zwój nie jest uzwojeniem rzeczywistym. Jest to
uzwojenie fikcyjne, które służy do zamodelowania zjawisk powstawania strat mocy w
rdzeniu. Straty te spowodowane są przemagnesowywaniem rdzenia. Skutkiem tego jest
indukowanie prądów wirowych, płynących w zamkniętych pętlach o pewnej rezystancji w
przekrojach poszczególnych blach pakietu rdzenia. Druga przyczyna powstawania strat mocy
przy przemagnesowywaniu rdzenia wynika z niejednoznacznej charakterystyki
magnesowania żelaza – pętli histerezy. Przyjęto, że uzwojenie to ma jeden zwój, w którym
skupiony jest wypadkowy przepływ, pochodzący od wszystkich prądów indukowanych w
przekrojach blach rdzenia.
Model matematyczny opisujący podstawowe zjawiska występujące w transformatorze
zostanie wyprowadzony na podstawie prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya oraz na
podstawie prawa Ampera
Prawo indukcji elektromagnetycznej w postaci całkowej ma postać
r
r
r
d r
u(t ) = ∫ E (t , x, y, z )dl = − ∫ B(t , x, y , z )ds
(1)
dt S
K
Napięcie indukowane u(t) w zwoju jest równe szybkości zmian strumienia
magnetycznego przepływającego przez powierzchnię S ograniczoną konturem zwoju K. Znak
minus oznacza, że jest to napięcie źródłowe – siła elektromotoryczna. Napięcie to w bilansie
25
napięć w oczku należy zaliczyć do napięć źródłowych. Napięcie obliczone z zależności (1)
bez znaku minus należy traktować w bilansie napięć jako napięcie odbiornikowe – spadek
napięcia.
W przypadku uzwojenia składającego się z z zwojów napięcie indukowane jest
określone
dψ (t )
u (t ) =
(2)
dt
Strumień skojarzony ψ jest strumieniem magnetycznym obliczonym w wyniku
całkowania indukcji magnetycznej po powierzchni wyznaczonej przez kontury wszystkich
zwojów.
W pewnym uproszczeniu strumień ten jest obliczany
ψ = zφ = zBS
(3)
gdzie φ jest średnim, dla całego uzwojenia, strumieniem magnetycznym skojarzonym
z jednym zwojem, którego średni kontur wyznacza powierzchnię S na której panuje średnia
indukcja B.
Do wyznaczenia w obliczeniach projektowych przepływu prądu potrzebnego do
wytworzenia odpowiedniej indukcji i strumienia w rdzeniu transformatora korzystamy z
prawa Ampera, które w postaci całkowej jest określone
r
r
r
r
H
x
y
z
d
l
=
j
x
y
z
d
s = θ = zi
(
,
,
)
(,
,
,
)
(4)
∫
∫
L
S
r
Całka z natężenia pola magnetycznego H obliczona wzdłuż krzywej zamkniętej Kr jest
równa sile magnetomotorycznej – przepływowi prądu θ , czyli całce z gęstości prądu j na
powierzchni S ograniczonej konturem K.
W pewnym przybliżeniu przy danym strumieniu magnetycznym φ i znanej
charakterystyce magnesowania materiału rdzenia H ( B ) , potrzebny przepływ uzwojenia θ
oblicza się z zależności,
∑H
φ
)lk = θ = zi
(5)
Sk
Sk – przekroje, lk – długości odcinków rdzenia wzdłuż zamkniętego obwodu – linii
poprowadzonej przez środki przekrojów Sk, obejmującej z zwojów z prądem i
k
(
W transformatorze 1 fazowym na wspólnym rdzeniu nawinięte są dwa uzwojenia.
Uzwojenie pierwotne, które jest zasilane ze źródła napięcia ma z1 zwojów. Uzwojenie wtórne,
do którego dołączony jest odbiornik ma z2 zwojów. Przyjmujemy, że uzwojenia są tak
nawinięte, że prądy wpływające do początków uzwojeń wytwarzają przepływy o takim
samym zwrocie.
Jak już wspomniano wcześniej, oprócz uzwojeń fizycznie występujących w
transformatorze do modelu wprowadzamy fikcyjne uzwojenie jednozwojne modelujące
obwody zwarte dla prądów wirowych płynących w rdzeniu. Do uzwojenia tego dołączona jest
rezystancja, o takiej wartości żeby wydzielająca się na niej moc była równa stratom mocy
powstającym w rdzeniu. Uzwojenie to oznaczono indeksem Fe
Przepływy poszczególnych uzwojeń (rzeczywistych i fikcyjnego) wytwarzają
strumienie magnetyczne. W strumieniach skojarzonych z uzwojeniami fizycznymi
wyróżniamy dwie części – strumień główny ψ g i strumień rozproszony ψ σ . Przykładowo dla
uzwojenia pierwotnego
ψ 1 = ψ g1 + ψ σ 1 = z1φg1 + z1φσ 1
(6)
Główny strumień uzwojenia jest tą częścią strumienia, która pochodzi od tego samego,
26
wspólnego dla wszystkich uzwojeń, strumienia magnetycznego, zamykającego się wewnątrz
rdzenia ferromagnetycznego. Jest to dominująca część strumienia każdego uzwojenia,
ponieważ przenikalność magnetyczna rdzenia jest od kilkuset do kilku tysięcy razy większa
od otaczających go uzwojeń, izolacji i powietrza. Wspólny dla wszystkich uzwojeń strumień
magnetyczny jest wytworzony przez przepływy wszystkich uzwojeń, zatem
φg1 = φg 2 = φgFe = φg (θ )
(7)
θ = θ1 + θ 2 + θ Fe ,θ1 = z1i1 ,θ 2 = z2i2 ,θ Fe = iFe ,
(8)
Strumień rozproszony, danego uzwojenia, stanowi tę część strumienia, która kojarzy
się tylko z uzwojeniem, które go wytwarza. Jest to strumień własny danego uzwojenia.
Znaczną częścią drogi dla tego strumienia jest przestrzeń uzwojenia i izolacji, o względnej
przenikalności magnetycznej bliskiej jedności. Dlatego strumień rozproszony stanowi
znikomą cześć strumienia całkowitego. Źródłem strumienia rozproszonego każdego
uzwojenia jest tylko przepływ danego uzwojenia.
Zakładamy że strumień rozproszony nie występuje w uzwojeniu zwartym, tzn.
przyjmujemy że uzwojenie zastępcze stanowiące obwód elektryczny dla prądów płynących w
rdzeniu jest doskonale sprzężone ze strumieniem rdzenia.
Ostatecznie strumienie magnetyczne skojarzone z poszczególnymi uzwojeniami
można określić zależnościami
ψ 1 = z1φ1 (θ1 ,θ 2 ,θ Fe ) = z1φσ 1 (θ1 ) + z1φg (θ )
(9)
ψ 2 = z2φ2 (θ1 ,θ 2 ,θ Fe ) = z2φσ 2 (θ 2 ) + z2φg (θ )
ψ Fe = φFe (θ1 ,θ 2 ,θ Fe ) = φg (θ )
(10)
(11)
Równania napięciowe dla obwodów elektrycznych poszczególnych uzwojeń można
napisać bezpośrednio na podstawie (2) i (9-11)
dψ 1
+ R1i1 = u1 (t )
(12)
dt
dψ 2
+ R2i2 + u2 (t ) = 0
(13)
dt
dψ Fe
+ RFeiFe = 0
(14)
dt
Gdzie: u1 – napięcie zasilania uzwojenia pierwotnego, u2 – napięcie na odbiorniku
dołączonym do uzwojenia wtórnego, R1,R2,RFe – rezystancje uzwojeń: pierwotnego, wtórnego
i zwartego.
Uwzględniając (9) w (12) otrzymano
d
z1 (φσ 1 (θ1 ) + φg (θ )) + R1i1 = u1 (t )
(15)
dt
Po dalszym zróżniczkowaniu strumieni przy uwzględnieniu (8)
⎛ ∂φ (θ ) ∂θ1 di1 ∂φg (θ ) ⎛ ∂θ1 di1 ∂θ 2 di2 ∂θ Fe diFe ⎞ ⎞
⎜
⎟ ⎟ + R1i1 = u1 (t )
(16)
+
+
+
z1 ⎜⎜ σ 1 1
∂θ ⎜⎝ ∂i1 dt ∂i2 dt ∂iFe dt ⎟⎠ ⎟⎠
⎝ ∂θ1 ∂i1 dt
Ponieważ strumień rozproszony w znacznej części przepływa przez środowisko o
przenikalności μ0 , to przewodność magnetyczna dla tego strumienia Λ σ 1 jest stała. Z tego
powodu dynamiczna przewodność magnetyczna może być zastąpiona zwykłą
∂φσ 1 (θ1 ) φσ 1 (θ1 )
=
= Λ σ 1 = const
(17)
∂θ1
θ1
Strumień główny przepływa przez rdzeń ferromagnetyczny, dlatego zależność
strumienia od przepływu jest nieliniowa. Z tego powodu w równaniu napięciowym należy
27
uwzględniać dynamiczną przewodność magnetyczną Λ (θ ) będącą funkcja przepływu
wypadkowego θ
∂φg (θ ) Λ (θ )
=
(18)
∂θ
Uwzględniając (17, 18 i 8) w (16) otrzymano
di
di di ⎞ ⎞
⎛
⎛ di
z1 ⎜ Λσ 1 z1 1 + Λ (θ )⎜ z1 1 + z2 2 + Fe ⎟ ⎟ + R1i1 = u1 (t )
(19)
dt
dt
dt ⎠ ⎠
⎝ dt
⎝
Po wyciągnięciu z1 przed nawias w (19)
⎛ di z di
di
1 diFe ⎞ ⎞
2⎛
⎟⎟ ⎟⎟ + R1i1 = u1 (t )
(20)
z1 ⎜⎜ Λ σ 1 1 + Λ (θ )⎜⎜ 1 + 2 2 +
dt
dt
z
dt
z
dt
1
1
⎠⎠
⎝
⎝
Wprowadzamy oznaczenia:
z
i
z
i2′ = 2 i2 = 2 gdzie ϑ = 1 przekładnia zwojowa transformatora.
(21)
z1
ϑ
z2
i
′ = Fe ,
iFe
(22)
z1
′ określają odpowiednio prądy wtórny i w uzwojeniu zwartym
Wyrażenia na i2′ , iFe
przeliczone na z1 zwojów. Innymi słowy są to prądy sprowadzone do uzwojenia pierwotnego,
′ = iFe . Uwzględniając 21 i 22 w 20
przy zachowaniu stałości przepływów tzn. z1i2′ = z2i2 i z1iFe
di
⎛ di di′ di′ ⎞ ⎞
2⎛
z1 ⎜ Λ1σ 1 + Λ (θ )⎜ 1 + 2 + Fe ⎟ ⎟ + R1i1 = u1 (t )
(23)
dt
dt ⎠ ⎠
⎝ dt dt
⎝
Całkowity przepływ wszystkich uzwojeń, który jest źródłem powstawania strumienia
głównego, można określić za pomocą prądów sprowadzonych do strony pierwotnej 21 i 22
′ ) = z1iμ
θ = z1 (i1 + i2′ + iFe
(24)
′
gdzie iμ = i1 + i2′ + iFe
(25)
oznacza wypadkowy prąd magnesujący wytwarzający strumień główny
transformatora.
Pierwszy składnik (23), przy uwzględnieniu (17) oznacza
z φ (θ ) ψ (θ )
2
z1 Λ σ 1 = 1 σ 1 1 = σ 1 1 = Lσ 1
i1
θ1 / z1
(26)
gdzie Lσ 1 jest indukcyjnością rozproszenia uzwojenia pierwotnego.
Drugi składnik 23, przy uwzględnieniu 18 można przekształcić do postaci
∂( z1φg (θ )) ∂ψ g1 (iμ )
2
=
z1 Λ (θ ) =
= Lμ (iμ )
(27)
∂(θ / z1 )
∂iμ
gdzie Lμ (iμ ) oznacza dynamiczną – różniczkową indukcyjność magnesowania, która
jest nieliniową funkcją prądu magnesującego.
Po wstawieniu 25, 26, 27 do 23 otrzymamy ostateczną postać równania napięciowego
dla pierwszego uzwojenia
di
di
(28)
Lσ 1 1 + Lμ (iμ ) μ + R1i1 = u1 (t )
dt
dt
Uwzględniając (10) w (13) otrzymano rozwiniętą postać równania napięciowego dla
obwodu wtórnego
28
d
(φσ 2 (θ2 ) + φg (θ )) + R2i2 + u2 (t ) = 0
(29)
dt
Po rozwinięciu pochodnych strumieni przy uwzględnieniu (9) otrzymano
⎛ ∂φ (θ ) ∂θ 2 di2 ∂φg (θ ) ⎛ ∂θ1 di1 ∂θ 2 di2 ∂θ Fe diFe ⎞ ⎞
⎟⎟ ⎟⎟ + R2i2 + u2 (t ) = 0 (30)
⎜⎜
z2 ⎜⎜ σ 2 2
+
+
+
i
dt
i
dt
i
dt
i
dt
θ
θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Fe
2
2
1
2
⎠⎠
⎝
⎝
Po wprowadzeniu przewodności magnetycznej dla strumienia rozproszonego Λ σ 2
∂φσ 2 (θ 2 ) φσ 2 (θ 2 )
=
= Λσ 2 = const
(31)
∂θ 2
θ2
oraz po uwzględnieniu (18) otrzymano
di
di di ⎞ ⎞
⎛
⎛ di
z2 ⎜ Λ σ 2 z2 2 + Λ (θ )⎜ z1 1 + z2 2 + Fe ⎟ ⎟ + R2i2 + u2 (t ) = 0
(32)
dt
dt
dt ⎠ ⎠
⎝ dt
⎝
z
Po pomnożeniu stronami przez 1 otrzymano
z2
z2
2
⎛ di z di
z di
z
z
1 diFe ⎞ ⎞ z1
2⎛
⎟⎟ ⎟⎟ + 2 R2 2 i2 + 1 u2 (t ) =0 (33)
z1 ⎜⎜ Λ σ 2 2 2 + Λ (θ )⎜⎜ 1 + 2 2 +
z1 dt
z1
z2
⎝ dt z1 dt z1 dt ⎠ ⎠ z2
⎝
′ ,ϑ oraz przyjmując
Korzystając z zależności na i2′ , iFe
R2′ = ϑ 2 R2 , u2′ (t ) = ϑu2 (t )
(34)
otrzymano
di ′
⎛ di di ′ di ′ ⎞ ⎞
2⎛
z1 ⎜ Λσ 2 2 + Λ (θ )⎜ 1 + 2 + Fe ⎟ ⎟ + R2′i2′ + u2′ (t ) =0
(35)
dt
dt ⎠ ⎠
⎝ dt dt
⎝
Zależności na R2′ , u2′ (t ) określają rezystancję i napięcie na odbiorniku obwodu wtórnego
sprowadzone do obwodu pierwotnego "widziane przez obwód pierwotny". Należy zauważyć,
że w przekształceniu tym moc chwilowa nie ulega zmianie
2
2
2
u2′ (t )i2′ (t ) = ϑu2 (t )i2 (t ) / ϑ = u2 (t )i2 (t ) , tak samo R2′i2′ = ϑ 2 R2i2 / ϑ 2 = R2i2
Po uwzględnieniu (25), (35)przybiera postać
di ⎞
di ′
2⎛
(36)
z1 ⎜⎜ Λ σ 2 2 + Λ (θ ) μ ⎟⎟ + R2′i2′ + u2′ (t )= 0
dt
dt ⎠
⎝
Pierwszy składnik (36), przy uwzględnieniu (31) oznacza
2
z1 2
z φ (θ )
ψ (θ )
2
z1 Λσ 2 = 2 z2 Λσ 2 = ϑ 2 2 σ 2 2 = ϑ 2 σ 2 2 = ϑ 2 Lσ 2 = Lσ′ 2
(37)
θ 2 / z2
i2
z2
gdzie Lσ′ 2 jest indukcyjnością rozproszenia uzwojenia wtórnego, sprowadzoną do
uzwojenia pierwotnego.
Po uwzględnieniu 37 i 27 w 36 otrzymano
di
di ′
(38)
L2′σ 2 + Lμ (iμ ) μ + R2′i2′ + u2′ (t ) = 0
dt
dt
Napięcie na odbiorniku u2′ (t ) można wyrazić ogólnie jako spadek napięcia na
szeregowej gałęzi RoLoCo dołączonej do obwodu wtórnego
2
t
z
z ⎛ z di
1 z2
z ⎞
(39)
u2′ (t )= 1 u2 (t ) = 1 2 ⎜⎜ Lo 2 2 +
i2 dt + Ro 2 i2 ⎟⎟
∫
z2
z1 ⎠
z2 ⎝ z1 dt Co 0 z1
Po wykorzystaniu zależności na i2′ ,ϑ ,(39) przyjmie postać
29
di2′ ϑ 2
+
u 2′ (t )= ϑ Lo
i2′ dt + ϑ 2 Ro i ′
∫
dt Co 0
t
2
Podstawiając za: ϑ 2 Ro = Ro′ , ϑ 2 Lo = Lo′ ,
u2′ (t )= Ro′i2′ + Lo′
(40)
ϑ2
Co
=
1
otrzymano
Co′
1
di2′
+
i2′ dt
dt Co′ ∫0
t
(41)
Zależności na Ro′ , Lo′ , Co′ określają rezystancję indukcyjność i pojemność dołączone do
obwodu wtórnego sprowadzone do obwodu pierwotnego, "widziane przez obwód pierwotny".
Z zależności tych widać, że moc na tych elementach po przekształceniu nie ulega zmianie,
zatem sprowadzenie parametrów obwodu wtórnego do obwodu pierwotnego jest inwariantne
względem mocy.
Po wstawieniu 41 do 38 otrzymano ostateczną postać równania napięciowego obwodu
wtórnego
t
diμ
di2′
1
(42)
(L2′σ + Lo′ ) + Lμ (iμ ) + ( R2′ + Ro′ )i2′ + ∫ i2′ dt= 0
dt
dt
Co′ 0
Po uwzględnieniu (11) w (14) otrzymano rozwiniętą postać równania napięciowego
dla obwodu zwartego
d
φg (θ ) + RFeiFe = 0
(43)
dt
Po rozwinięciu pochodnej strumienia przy uwzględnieniu (10) otrzymano
⎛ ∂φg (θ ) ⎛ ∂θ1 di1 ∂θ 2 di2 ∂θ Fe diFe ⎞ ⎞
⎟
⎜
(44)
⎜ ∂θ ⎜⎜ ∂i dt + ∂i dt + ∂i dt ⎟⎟ ⎟ + RFeiFe = 0 z1
2
Fe
⎠⎠
⎝ 1
⎝
Po uwzględnieniu pomnożeniu (44) stronami przez z1, wyciagnięciu przed nawias z1 i
uwzględnieniu 18 otrzymano
⎛ di z di
1 diFe ⎞
1
2
⎟⎟ + z12 RFe iFe = 0
(45)
z1 Λ (θ )⎜⎜ 1 + 2 2 +
z1
⎝ dt z1 dt z1 dt ⎠
′ otrzymamy
′ , iμ oraz podstawiając za z1 RFe = RFe
Wykorzystując zależności na i2′ , iFe
2
diμ
′ iFe
′ =0
(46)
+ RFe
dt
′ , iFe
′ określają rezystancję zastępczą dla prądów indukowanych i prądy
Zależności na RFe
indukowane sprowadzone do obwodu pierwotnego
Po wstawieniu 27 do 46 otrzymano ostateczną postać równania napięciowego obwodu
zwartego
di
′ iFe
′ =0
(47)
Lμ (iμ ) μ + RFe
dt
Równanie 47 wraz z równaniami 28, 42 i 25 przytoczonymi poniżej opisują
transformator jednofazowy przy dowolnym napięciu zasilania
di
di
Lσ 1 1 + Lμ (iμ ) μ + R1i1 = u1 (t )
dt
dt
t
diμ
di2′
1
′
′
′
′
′
(L2σ + Lo ) + Lμ (iμ ) + ( R2 + Ro )i2 + ∫ i2′ dt= 0
dt
dt
Co′ 0
z1 Λ (θ )
2
′
iμ = i1 + i2′ + iFe
30
Są to równania prądowo-napięciowe, którym odpowiada następujący obwód
elektryczny – schemat zastępczy rys. 2
R1
L1σ
i1
i2’
i1
U1
R2’
L2σ'
Lμ(iμ)
Ro’
iFe’
Ui
RFe’
U2’
Lo’
Co’
Rys. 2. Schemat zastępczy transformatora jednofazowego
′ mają nienaturalne zwroty od
Z równań (47) i schematu rys. 2. wynika, że prądy i2′ i iFe
odbiornika do źródła. Oczywiście rozwiązanie takiego układu pozwoli na poprawne
wyznaczenie prądów z dokładnością do właściwych zwrotów. Przyjęcie bardziej naturalnych
′ , jak to pokazano na rys. 3. sprowadza się do zmiany znaków tych
zwrotów prądów i2′ i iFe
prądów w równaniach (47)
i1
i2’
Ro’
iFe’
U1
Lμ(iμ)
Ui
RFe’
U2’
Lo’
Co’
Rys. 3. Schemat zastępczy transformatora jednofazowego z naturalnymi zwrotami prądów
Po uwzględnieniu tych zmian równania 47 maja postać
′
iμ = i1 − i2′ − iFe
(48)
Lμ (iμ )
diμ
′ iFe
′
= RFe
dt
di
di
Lσ 1 1 + Lμ (iμ ) μ + R1i1 = u1 (t )
dt
dt
t
di
di′
1
Lμ (iμ ) μ = (L2′σ + Lo′ ) 2 + ( R2′ + Ro′ )i2′ +
i2′ dt
dt
dt
Co′ ∫0
Po sprowadzeniu równań (48) do postaci kanonicznej, wygodnej do modelowania
otrzymano
diμ RFe
′ iFe
′
=
(49)
dt Lμ (iμ )
′ iFe
′
di1 u1 (t ) − R1i1 − RFe
(50)
=
dt
Lσ 1
31
′ iFe
′ − ( R2′ + Ro′ )i2′ −
RFe
di2′
=
dt
′ = i1 − i2′ − iμ
iFe
L2′σ + Lo′
t
1
i2′ dt
Co′ ∫0
(52)
Parametry modelu:
Indukcyjności:
Lσ 1 =
ψ σ 1 (θ1 )
(51)
; Lσ′ 2 = ϑ 2 Lσ 2 = ϑ 2
ψ σ 2 (θ 2 )
i1
Rezystancje:
′ = z12 RFe
R1 ; R2′ = ϑ 2 R2 ; RFe
Elementy obciążenia
Ro′ = ϑ 2 Ro ; Lo′ = ϑ 2 Lo ; Co′ =
i2
; Lμ (iμ ) =
∂ψ g1 (iμ )
∂iμ
Co
ϑ2
Rzeczywiste prądy i napięcia:
u′
u′
z
U
′ ; u2 = 2 ; uFe = Fe ; ϑ = 1 = 1N
i2 = ϑi2′ ; iFe = z1iFe
ϑ
z1
z2 U 2 N
Jest to ogólny model transformatora jednofazowego do badania stanów dynamicznych
(załączanie napięcia, zwarcie) przy wymuszeniu napięciowym o dowolnej zależności od
czasu. W modelu tym jeden parametr jest nieliniowy. Jest nim indukcyjność magnesowania,
która jest funkcją prądu magnesującego.
Opracował
J. Szczypior
Warszawa
marzec 2006
32