3-4 Fizyka kwantowa

2015-02-22
Fizyka kwantowa
dotyczy świata mikroskopowego
wiele wielkości jest skwantowanych,
tzn. występuje w całkowitych
wielokrotnościach pewnych minimalnych
porcji zwanych kwantami
Foton, kwant światła
Zjawiska świadczące o kwantowej naturze
światła:
 zjawisko fotoelektryczne – energia
kwantów - równanie Einsteina
 efekt Comptona - pęd fotonów
 widma emisyjne atomów
 prawidłowy opis promieniowania
termicznego z postulatem kwantyzacji
energii świetlnej - prawo Plancka
1
2015-02-22
Zjawisko fotoelektryczne


Wiązka światła wybija elektrony z powierzchni metalu
z falowej teorii wynika:




elektron nie opuści metalu dopóki amplituda fali Eo nie
przekroczy określonej wartości krytycznej
energia emitowanych elektronów wzrasta proporcjonalnie
do Eo2
liczba emitowanych elektronów powinna zmniejszyć się ze
wzrostem częstotliwość światła
wyniki eksperymentalne:



progowego natężenia nie zaobserwowano
energia elektronów okazała się niezależna od wielkości E o
zauważono zależność energii elektronów od częstotliwości
Teoria Einsteina




światło o częstości  stanowi zbiór pakietów
energii zwanych fotonami lub kwantami z
których każdy posiada energię h
h to uniwersalna stała Plancka = 6.62610–34 Js
kwanty światła (fotony) zachowują się podobnie
do cząstek materialnych (przy zderzeniu foton
może być pochłonięty, a cała jego energia
przekazana jest elektronowi).
maksymalna energia kinetyczna elektronu
opuszczającego metal o pracy wyjścia W o wynosi
Kmax  h  Wo
2
2015-02-22
Doświadczenia
fotoelektryczne
Kmax  h  Wo
h o  Wo
Kmax
T
materiał
tarczy:
K
j
U
A
o
j

liczba emitowanych elektronów
(prąd j) rośnie ze wzrostem
natężenia światła Io
2Io
Io
U
Uh
częstość progowa
0
maksymalna energia elektronów
Kmax=Uh nie zależy od natężenia
światła Io, rośnie ze wzrostem
częstotliwości 
Pęd fotonu
Foton, oprócz energii E=h, posiada również pęd p
Zgodnie z teorią relatywistyczną wszystkie cząstki
które posiadają energię muszą posiadać pęd,
nawet jeśli nie mają masy spoczynkowej

E 2  pc 2  moc 2
p
E h h


c
c

2
mo  0
E  pc
Kierunek pędu fotonu jest zgodny z kierunkiem
rozchodzenia się fali elektromagnetycznej
Foton nie ma ładunku elektrycznego ani momentu
magnetycznego, ale może oddziaływać z innymi cząstkami
3
2015-02-22
p
Efekt Comptona

szczeliny
kolimujące
detektor
'

E  pc
przed zderzeniem
Rozpraszanie fotonów na swobodnych elektronach:
wiązka promieniowania rentgenowskiego o długości
fali  rozpraszana przez grafitową tarczę zmieniała
swą długość w zależności od kąta rozpraszania  .
W klasycznym podejściu długość fali wiązki
rozproszonej powinna być taka sama jak padającej.
promieniowanie
rentgenowskie
h h

c

h

p
e

p'
po

z prawa zachowania energii
i pędu przed i po zderzeniu
e

p'e
h  h 'E 'e
wiązka
rozproszona
  
p  p' p'e
tarcza
grafitowa
' 
h
1  cos 
mc
Wyniki doświadczenia
h
1  cos 
' 
Comptona
mc




przesunięcie comptonowskie
=’- zwiększa się wraz ze
wzrostem kąta rozpraszania
obecność wiązki o nie
zmienionej długości fali
wynika z rozproszenia na
elektronach związanych
im większa masa cząstki tym
mniejsze przesunięcie 
=90°
Io

’
długość fali
Io
=135°
efekt Comptona potwierdza
korpuskularny charakter
światła – fotony obdarzone
energią i pędem

’
długość fali
4
2015-02-22
Widma emisyjne atomów

pochodzenie dyskretnych linii
spektralnych można wyjaśnić w
oparciu o dwa założenia:
pojęcie fotonu
 istnienie poziomów energetycznych
atomu

Model Bohra
1913r. – 13 lat przed sformułowaniem
równania Schrodingera

elektrony poruszają się w atomach nie
promieniując energii, po takich orbitach
kołowych, że moment pędu elektronu jest równy
całkowitej wielokrotności stałej 
n = 1, 2, 3..
mvr  n

przejścia elektronu z orbity o energii E n na
orbitę, gdzie energia wynosi E m, towarzyszy
emisja lub absorpcja fotonu o częstości
określonej wzorem
En  Em  h
5
2015-02-22
Widmo atomu wodoru


wzbudzenie atomu – przejście elektronu na
wyższy poziom energetyczny
po czasie 10-8 s samorzutny powrót do stanu o
niższej energii i emisja fotonu o długości 
R – stała Rydberga

1  En  Em
1 
 1
 
 R


2
 c
hc
m
n2 
jonizacja atomu – przejście elektronu na
najwyższy poziom energetyczny o zerowej
energii (elektron swobodny)
(energia jonizacji = E0)
jonizacja
R
me 4
64 3 o2 3c
E
E3
E2
wzbudzenie
E1
Serie widmowe





seria
seria
seria
seria
seria
Lymana
Balmera
Paschena
Bracketta
Pfunda
6
2015-02-22
Promieniowanie termiczne


model ciała doskonale czarnego
prawa promieniowania termicznego





prawo Kirchhoffa
prawo Stefana-Boltzmanna
prawo przesunięć Wiena
prawo Rayleigha-Jeansa - klasyczne
prawo Plancka - kwantowe
Jak teoria fotonów wyjaśnia ciągłe widmo
promieniowania emitowanego przez gorące,
nieprzezroczyste ciała?
Podstawowe definicje
Promieniowaniem termicznym (zwanym też cieplnym lub
temperaturowym) nazywamy promieniowanie wysyłane przez
ciała ogrzane do pewnej temperatury - jest wynikiem drgań
ładunków elektrycznych
Zdolność emisyjna ciała e(,T)d definiujemy jako energią
promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki
powierzchni o temperaturze T, w postaci fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych w przedziale od  do  + d.
Zdolność absorpcyjna, a, określa jaki
ułamek energii padającej na
powierzchnię zostanie pochłonięty.
a, T   r , T   1
Zdolność odbicia, r, określa jaki ułamek
energii padającej zostanie odbity.
7
2015-02-22
Ciało doskonale czarne
Ciało doskonale czarne (c.d.cz.) całkowicie
absorbuje promieniowanie termiczne.
a =1 i r =0
Prawo Kirchhoffa:
Stosunek zdolności emisyjnej do
zdolności absorpcyjnej jest dla
wszystkich powierzchni jednakowy i
równy zdolności emisyjnej c.d.cz.
Promień
świetlny
Powierzchnia
o dużej zdolności
absorpcyjnej
e, T 
 , T 
a, T 
Ponieważ zawsze a1, więc i e(,T)  (,T), tzn.
zdolność emisyjna każdej powierzchni nie jest większa
od zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.
Prawa promieniowania
c.d.cz.
Prawo Stefana-Boltzmanna
katastrofa
nadfioletowa
E  T 4
Stała Stefana-Boltzmanna
 = 5.6710–8 Wm–2K–4
Prawo przesunięć Wiena
max  b  T
Stała Wiena
b = 5.8771010 s–1K–1
Prawo Rayleigha-Jeansa
, T  
2 2
c2
kT
max1 max2
8
2015-02-22
Prawo Plancka
Hipoteza Plancka: elektryczny oscylator harmoniczny
stanowiący model elementarnego źródła promieniowania, w
procesie emisji promieniowania może tracić energię tylko
porcjami, czyli kwantami E, o wartości proporcjonalnej do
częstości  jego drgań własnych.
E  h
gdzie stała Plancka h = 6.62610–34 Js
zdolność emisyjna c.d.cz. jest funkcją częstości i temperatury
, T  
2h 3
c
2
1
exph / kT   1
i pozostaje w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem

Wnioski




E     , T  d
0
  , T 
0

Postulat Plancka (energia nie może być
wypromieniowana w sposób ciągły), doprowadził
do teoretycznego wyjaśnienia promieniowania
ciała doskonale czarnego.
Z prawa Plancka wynika prawo StefanaBoltzmanna i prawo przesunięć Wiena.
Porcje energii promienistej emitowanej przez
ciało wynoszące h zostały nazwane kwantami
lub fotonami.
Hipoteza
Plancka
dała
początek
fizyce
kwantowej, a stała h występuje obecnie w wielu
równaniach fizyki atomowej, jądrowej i ciała
stałego.
9
2015-02-22
Jak światło może być
jednocześnie falą i cząstką



opisy światła: falowy i korpuskularny
są uzupełniające się
potrzeba obu tych opisów do
pełnego modelu świata, ale do
określenia konkretnego zjawiska
wystarczy tylko jeden z tych modeli
dlatego mówimy o dualizmie
korpuskularno-falowym światła
Falowa natura cząstek
Promień świetlny jest falą,
ale energię i pęd przekazuje
materii w postaci fotonów.
Dlaczego innych cząstek np.
elektronów nie traktować jako
fal materii ?
10
2015-02-22
Hipoteza de Broglie’a
W 1924 r. Louis de Broglie przypisał elektronom o pędzie p
długość fali 

h
p
– długość fali de Broglie’a
dla pyłku unoszonego
przez wiatr

h
6,63  1034 J  s

 6,6  10 27 m
p 0,1  10 6 kg  1 m s
Słuszność hipotezy de Broglie’a została potwierdzona w 1927 r.
przez Davissona i Germera, którzy wykazali, że wiązka
elektronów ulega dyfrakcji tworząc typowy obraz interferencyjny
Promieniowanie i materia wykazują dwoistą falowo-korpuskularną
naturę – nazywamy to dualizmem korpuskularno-falowym

h

p
h
2mK
Dla elektronów o K=1000eV =410–11 m
Dyfrakcja elektronów
Doświadczenie Davissona - Germera
(dyfrakcja elektronów)
Znając kąt  przy którym
obserwuje się pierwsze
maksimum można określić
stałą Plancka
D = d sin
D =
h
 d sin 
p
h  pd sin 
11
2015-02-22
Jak elektron przechodzi
przez szczelinę?
A
A
B
B
wiązka
elektronów
wiązka
elektronów
• Pojedyncze elektrony padające na dwie szczeliny
dają obraz dyfrakcyjny w postaci szeregu prążków
• zasłonięcie jednej szczeliny (B) powoduje zmianę
obrazu dyfrakcyjnego
• skąd elektron wie, że szczelina B jest zasłonięta?
• fakt, że obraz dyfrakcyjny może zostać utworzony
przez różne nieoddziałujące ze sobą elektrony
świadczy o tym, że każdy elektron przechodzi
przez obie szczeliny i interferuje sam ze sobą
Fale prawdopodobieństwa
Rozkład elektronów na ekranie powinien być
sumą rozkładów dla każdej szczeliny oddzielnie
- obserwujemy obraz interferencyjny dla
dwóch szczelin
Do wyjaśnienia tego paradoksu musimy
stworzyć nowy formalizm matematyczny:
fale materii traktować jako fale
prawdopodobieństwa wytwarzającą na ekranie
obraz „prążków prawdopodobieństwa”
Rozkład
obserwowany
B
r2
A
klasycznie
r1
P1
P2
Rozkład
klasyczny
12
2015-02-22
Mechanika kwantowa
dział mechaniki zajmujący się
ruchem mikrocząstek, których
stan opisany jest funkcją falową
będącą rozwiązaniem równania
Schrodingera
Funkcja falowa




Dotychczas przypisywaliśmy cząstkom własności falowe
podając długość fali materii de Broglie'a stowarzyszonej z
daną cząstką. Jednak do pełniejszego opisu własności
falowych posługujemy się funkcją reprezentującą falę de
Broglie'a, tak zwaną funkcją falową .
Każdej cząstce materialnej przypisuje się funkcję falową
 (x,y,z,t) będącą funkcją współrzędnych i czasu.
Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym
można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w
określonym miejscu ekranu
Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do
gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
danym elemencie obszaru
13
2015-02-22
Właściwości funkcji falowej

Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
w objętości dV=dxdydz wynosi
2
2
gdzie
    
PdV   dxdydz

warunek unormowania
funkcji falowej
2
  dV  1
V

zasada superpozycji  = 1 + 2

funkcja falowa powinna być ograniczona ||<

funkcja falowa  nie stanowi bezpośrednio obserwowanej
wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom
podlegają równaniom matematycznym tego samego typu.
Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest
bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej – nie.
Postać funkcji falowej
Z hipotezy de Broglie’a:
po  h o
po 
h 2
h

ko
2 o
2
o 
ho
2
po  ko
Funkcja falowa cząstki o pędzie po poruszającej się wzdłuż osi x,
odpowiada równaniu fali o długości  o i wektorze falowym ko
  A cosko x  t 

2
 A2 cos 2 ko x  t 
Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby
punkty, gdzie nie można cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona
  Aei ko x  t 



     Aei ko x t  Aei ko x t   A2
2
Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to
cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w
dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli pęd cząstki
jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia.
14
2015-02-22
Równanie Schrodingera
W sytuacjach stacjonarnych, gdy potencjał nie zmienia się w czasie,
zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję
falową w postaci:
x, y, z, t   x, y, z e it
Postać przestrzennej funkcji falowej, dla przypadku jednowymiarowego, wyznaczamy z równania Schrödingera:
d 2
2m
  2 E  U x 
2
dx

stacjonarne, jednowymiarowe
równanie Schrödingera
gdzie: m – masa cząstki, E – całkowita energia mechaniczna cząstki,
U(x) – energia potencjalna w danym obszarze
równania Newtona – fale dźwiękowe i fale w strunach
równania Maxwella – fale świetlne
równanie Schrödingera – fale materii (funkcja falowa)
Równanie Schrodingera dla2
d 
2m
  2 E  U x 
cząstki swobodnej
2
dx

d 
2
U x   0
d 2
dx
2
dx
 k 2 
2

2m

2
E
oznaczając
którego rozwiązaniem jest
k 
2m
2
E
tylko
kinetyczna
2
E 
p
2m
x   Aeikx  Be  ikx
przyjmując B=0 (cząstka porusza się w kierunku dodatnich x)
x, t   x eit  Aei kx t 
k 
2m
2
E 
2m p2
p

2 2m



2 2
h


k
p
p
funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości 
określonej zależnością de Broglie’a
15
2015-02-22
Paczki falowe materii
Dla cząstki znajdującej się w t=0 w
określonym obszarze przestrzeni
kwadrat modułu funkcji falowej
przyjmuje postać funkcji Gaussa
 x2 
 x,0  A exp  2  expik o x 
 4 x 
 x2 
2

  A 2 exp 
2 
 2 x 

2
Tak zlokalizowana funkcja
nazywana jest paczką falową
Elektron jako paczka falowa
przechodzi przez obie szczeliny
Superpozycja fal
monochromatycznych
Paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji fal o różnych
długościach, którym odpowiadają różne wartości pędu
 x2 
 expik o x  
  exp 
2 
 4 x 
Amplitudy tych fal B(k), zwane
współczynnikami Fouriera,
posiadają również postać funkcji
Gaussa wokół wartości k o
Pomiędzy funkcją falową (x),
a współczynnikami Fouriera B(k)
istnieje ścisły związek

 Bk  expikx dk

współczynniki Fouriera
B(k)
ko
k
16
2015-02-22
Zasada nieoznaczoności
k
B(k)
k
B(k)
k
ko
k
ko
Re ()
Re ()
x
x
x
x
czym szerszy zakres k odpowiadający większemu rozrzutowi px , tym
paczka falowa jest przestrzennie węższa (mniejsze x)

px  k
1
gdy  px=0,
x 
x 
to  x = 
px
k
cząstka
niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie wartości
swobodna
współrzędnej i pędu cząstki xpx  
Zasada nieoznaczoności w pociągu

chcemy zmierzyć prędkość pociągu wiedząc, że każdy wagon ma długość 
minęło nas n wagonów w ciągu czasu t
pokonana przez pociąg droga wynosi
średnia prędkość
pociągu wynosi
v 
l  n
l n

t
t
v 
l   2
l

v


t
2t 2n
im większy przedział czasu tym pomiar prędkości dokładniejszy, ale maleje
dokładność położenia pociągu w chwili pomiaru
x  l 2  n 2
x  v 
v
4
x  p 
p
4
w mechanice kwantowej pociąg to paczka falowa o długości fali 
rozciągająca się na obszar l = n

h
p
x  p 
h

4
17
2015-02-22
Znaczenie zasady
nieoznaczoności Heisenberga
p  k
szerokość
paczki
falowej
x  p  
x=1/k
E  
t=1/
S  
E  t  
Działanie S można określić z dokładnością stałej Plancka 
Zasada nieoznaczoności określa granice możliwości naszych
pomiarów.
Jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki kwantowej:
• wyjaśnia dyfrakcję na szczelinie
• energie cząstek są zawsze większe od zera
• elektron nie spada na jądro atomowe
Prędkość grupowa paczki
klasycznie
vg 
d
dk
d k

dk
m
k  p
  E
vg 
E 
p2
2m
d k
p


v
dk
m m
 
k 2
2m
vg  v
Paczka falowa przemieszcza się z prędkością równą
prędkości cząstki
relatywistycznie
E 2  Eo2  p2c 2
2E dE  2 pc 2dp
vg 
d dE
p
mv

 c2  c2
v
dk dp
E
mc 2
18
2015-02-22
U=
U=
Równanie Schrodingera dla
nieskończonej studni potencjału
0 U=0
Rozpatrzmy cząstkę znajdującą się w jednowymiarowej
nieskończenie wysokiej studni potencjału. Cząstka może
znajdować się tylko w obszarze 0 < x < L, stąd warunki
brzegowe dla funkcji falowej
L
0  L  0
Równanie Schrodingera przy uwzględnieniu U x   0 wewnątrz studni
d 2
dx
2

2m

2
E  U x 
k 
oznaczając
2m
2
E
jest postaci:
d 2
dx 2
 k 2 
x   Aeikx  Be  ikx
i jego rozwiązanie
E3
U=
Równanie Schrodingera dla
nieskończonej studni potencjału
x   Aeikx  Be  ikx
k 
2m
2
U=
E2
E1
0 U=0
L
E
warunki brzegowe
0  L  0
AB  0
Ae
ikL
 Be
sinkL  0
En  n2


2 2
2
2mL
ikL
0


A e ikL  e ikL  0
kL  n
n=1,2,3...
 nx 
n x   C sin

 L 
C  2 Ai
wartości energii En nazywamy wartościami własnymi
odpowiadające im funkcje falowe n – funkcjami
własnymi
19
2015-02-22
Wnioski
energia jest skwantowana, występują dyskretne wartości
(poziomy) energii (n – liczba kwantowa)
cząstka nie może posiadać energii zerowej – wynika z
zasady nieoznaczoności
p2
E 
0
 x p  
x  L
p   L
2m
stałą C wyznaczamy z warunku unormowania



L
L
L
L
2
 n 
sin
x
L
 L 
dla obiektów klasycznych poszczególne poziomy są tak
bliskie, że nierozróżnialne
C2

L
1
2
n

2
 sin  L x  dx  2


0
2
*
2  n 
    dx  C  sin  L x  dx  1


0
0
C 
n x  
2L
Elektron w skończonej
studni potencjału
studnia potencjału o głębokości Uo
d 2
dx 2

2m
2
E  U x 
równanie
Schrodingera
rozwiązujemy dla
trzech obszarów
wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz:
•fale materii wnikają w ściany studni
•energie dla każdego stanu są mniejsze niż w 
•elektron o energii większej od U0 nie jest
zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana
20
2015-02-22
Efekt tunelowy - przenikanie
cząstki przez barierę potencjału
T e


2L
2mUo  E 

(x)

B1


A1
E
A3
Uo>E
0
prawdopodobieństwo
przejścia przez barierę
potencjału zależy od L i U o
szybko maleje ze
wzrostem jej szerokości i
wysokości
wg. mechaniki klasycznej
przenikanie przez barierę
jest niemożliwe
energia cząstki, w
odróżnieniu od jamy
potencjału nie jest
skwantowana
l
x
Przykłady efektu
tunelowego

Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu
p-n) Nagroda Nobla 1973r




Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach
np. diody tunelowe
Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach
Josephson – złącze Josephsona, szybki
przełącznik kwantowy
Skaningowy Mikroskop Tunelowy

Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r
21
2015-02-22
Diody
tunelowe
Skaningowy Mikroskop
Tunelowy (STM)
22