pobierz
Transkrypt
pobierz
Lista nr 2 AiR sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2016/17 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Własności funkcji 1. Sporządzić wykresy funkcji: a) f (x) = −2x + 1, b) f (x) = −3x−1 + 2, c) f (x) = 2x+|x| , d) f (x) = x+4 1 , 3 e) f (x) = |x| 1 . 2 2. Rozwiązać równania: a) 5x − 53−x = 20, b) 49x − 6 · 7x + 5 = 0, √ !−x 2 d) 0, 125 · 42x−3 = , 8 x √ x+12 1 3−x g) 3 = , 9 3 x √ e) = 1, 5, 3 2 · 3 x−1 x x−1 4 27 log 4 h) = , 9 8 log 8 √ 3 √ c) 4 x−2 √ + 16 = 10 · 2 x−2 , q √ 1 f) 16 (0, 25)5− 4 x = 2x−1 , 2 i) √ x 3− √ 2x 3 = 2. 3. Rozwiązać nierówności: a) 0, 5 x+1 x−1 x −1−x 1 1 b) − 1, 2 2 r x3 +4x2 −x− 92 4 3 , e) 4 3 1 > , 32 d) 32x > 3x + 2, g) (4, 5)15(x−7) − (0, 25 · 81)x−0,5 < 0, 1 1 1 c) 3x+ 2 + 3x− 2 > 4x+ 2 − 22x−1 , f) 9x 7 2 x , −2 3 −1 h) 3 · 5x − 2 · 5x−1 + 2, 4 > 5x+1 . 4. Sporządzić wykresy funkcji: a) f (x) = − log2 x + 1, e) f (x) = log 21 x . b) f (x) = log3 (x − 1), 5. Rozwiązać równania: c) f (x) = log 21 (2 − x), √ x − 5 + log √ d) f (x) = log2 |x|, 2x − 3 + 1 = log 30, a) log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x), b) log c) log(0, 5 + x) = log 0, 5 − log x, d) log16 x + log4 x + log2 x = 7, √ log5 x−1 f) x = 5, e) log3 x + log√3 x + log 13 x = 6, p √ g) xlog x = 10. 6. Rozwiązać nierówności: a) log2 (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0, b) log2 (x + 14) + log2 (x + 2) 6, c) xlog2 x+4 < 32, d) log2 (x + 1) + logx+1 2 ¬ e) logx 2 + logx2 2 > 6, f) x3x+1 > xx , 5 , 2 7. Sprawdzić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste: a) f (x) = x4 − 3x2 + 1, b) g(x) = 2x + 2−x , c) h(x) = | sin x|, f) g(x) = sin3 x, g) h(x) = 3x − 3−x , h) p(x) = x|x| 8. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, jeżeli: √ a) f (x) = |x|, g(x) = −3x + 2, b) f (x) = x, g(x) = x3 + 1, 1 d) f (x) = 2x , g(x) = cos x, e) f (x) = x3 , g(x) = √ , 3 x 2 g) f (x) = log x, g(x) = x + 1. 9. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = g ◦ f , jeżeli: 2 − |x| a) h(x) = , b) h(x) = sin2 x, 2 + |x| c) h(x) = log(x2 + 1), d) p(x) = sin x , x3 e) f (x) = √ c) f (x) = x2 , g(x) = x, x 1 f) f (x) = , g(x) = , 2 1+x x d) h(x) = √ x+2 10. Narysować wykresy funkcji f ◦ g oraz g ◦ f , jeżeli: a) f (x) = 2x + 1, g(x) = log2 x, π c) f (x) = x − , g(x) = sin x, 4 cos x dla x ¬ 0 e) f (x) = , g(x) = 3x − π, log3 x dla x > 0 b) f (x) = −x − 3, g(x) = log 21 (x + 1), π d) f (x) = 3x + , g(x) = cos x, 2 log 21 (−x) dla x < 0 f) f (x) = , g(x) = x + 1. sin x dla x 0 2 + x2 , x5 11. Znaleźć funkcję odwrotną do podanej. Naszkicować wykresy funkcji podanej i funkcji odwrotnej do niej. √ c) h(x) = x3 |x|, x ∈ R, a) f (x) = x2 − 2x, x ∈ h1; ∞), b) g(x) = 2 − 5 x + 1, x ∈ R, √ 3x dla x < 0 d) p(x) = , x ∈ R, e) f (x) = 1 − 3−x , f) g(x) = x5 + 3, 5x dla x 0 x −x2 dla x < 0 6 g) h(x) = x sgn x, h) q(x) = , x ∈ R, i) f (x) = . 2 + x dla x 0 1 + |x|