sformułowanie wariacyjne - Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki

SFORMUŁOWANIE WARIACYJNE
Katarzyna Miller1 , Karolina Pelcer2
grupa projektowa 6
Abstrakt
Zagadnienie Sformułowanie wariacyjne zajmuje się szukaniem ekstremalnych wartości funkcjonałów i ma zastosowanie w rozwiązywaniu równań
różniczkowych. W niniejszym artykule starałyśmy się przedstawić podstawowe informacje dotyczące tego tematu.
Pierwsza część teoretyczna przedstawia krótką notkę historyczną i trzy
podstawowe zadania rachunku wariacyjnego. Wyjaśnia pojęcia: funkcjonał,
funkcjonał liniowy, przyrost, wariacja, ekstremum funkcjonału i warunek
konieczny istnienia ekstremum. Oprócz tego podane są przykłady funkcjonału oraz podział funkcjonałów liniowych. Zostaje wyprowadzone równanie
Eulera i pokazane są jego szczególne przypadki.
W części praktycznej autorki przedstawiają odpowiednie przykłady wyjaśniające jak znaleźć ekstremum funkcjonału, rozwiązane zostaje zadanie o
brachistochronie i zadanie o najmniejszym polu obrotowym. W celu szybszego zrozumienia przez czytelników niektórych zagadnień sporządzono odpowiednie rysunki i dokładnie rozwiązano zadania.
Słowa kluczowe:
funkcjonał, funkcjonał liniowy, przyrost funkcjonału, wariacja,
ekstremum funkcjonału, równanie Eulera, podstawowe zadania rachunku wariacyjnego
1
Wstęp
Artykuł został napisany przez studentki trzeciego roku matematyki finansowej na Politechnice Gdańskiej: Katarzynę Miller i Karolinę Pelcer. Temat
Sformułowanie wariacyne został wcześniej przedstawiony w formie prezentacji na zajęciach projektowych z przedmiotu Metody elementów skończonych.
Katarzyna Miller opracowała materiał dotyczący trzech podstawowych
zadań rachunku wariacyjnego, podstawowe pojęcia i definicje oraz zadanie 1
znalezienie ekstremum funkcjonału.
1
Nr indeksu 114483, Politechnika Gdańska wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
Stosowanej
2
Nr indeksu 114495, Politechnika Gdańska wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
Stosowanej
1
Karolina Pelcer opracowała równanie Eulera i jego szczególne przypadki
oraz zadanie 2 o brachistochronie i zadanie 3 o najmniejszym polu obrotowym.
Wspólnie opracowano związek pomiędzy metodami elemantów skończonych a Sformułowaniem wariacyjnym.
2
Metody elementów skończonych, a Sformułownie wariacyjne
Rozwiązanie aproksymacyjne metody elementów skończonych może powodować wiele problemów, ze względu na postać opisujących je równań różniczkowych. Wynika to z faktu, że pojawiają się tam często pochodne stosunkowo
wysokich rzędów, co przy bezpośrednim rozwiązywaniu tych równań wymaga zastosowania wysokich rzędów funkcji aproksymujących. Aby pozbyć się
tych problemów możemy stosować Sformułowanie wariacyjne, ponieważ w
wielu przypadkach problem całkowania równania różniczkowego (zwyczajnego lub o pochodnych cząstkowych) można zastąpić równoważnym problemem znalezienia funkcji, która ekstremalizuje pewną całkę (funkcjonał).
3
Podstawowe zadania
W 1696 roku Jan Bernoulli opublikował list, w którym sformułował pytanie
o linii najszybszego spadku nazwanej brachistochroną. Dało to początek
trzem podstawowym zadaniom rachunku wariacyjnego.
3.1
Zadanie o brachistochronie
W zadaniu o brachistochronie szukamy linii łączącej dwa punkty A i B,
nieleżące na jednej prostej pionowej, po której punkt materialny stacza się
najszybciej. Krzywą taką nazywa się brachistochroną.
Zauważmy, że linia ta nie jest prostą łączącą punkty A i B. Taka prosta byłaby najkrótszą drogą po jakiej punkt materialny stacza się, jednak prędkość
rosłaby wolno. Krzywa zaś stromo zmierzająca z punktu A jest dłuższa, ale
prędkość jest większa. Taką krzywą nazywa się cykloidą.
3.2
Zadanie o liniach geodezyjnych
A i B to dwa ustalone punkty nieleżące w jednej płaszczyźnie pionowej.
Spośród wszystkich krzywych płaskich, znajdujemy tę która ma najmniejszą
długość. Linie takie nazywamy geodezyjnymi.
Na obrazku widzimy, że spośród trzech narysowanych krzywych, najkrótsza
2
Rysunek 1: Przedstawia spadek punktu materialnego z pkt.A do pkt.B [7]
Rysunek 2: Różne krzywe łączące pkt.A i pkt.B
jest czerwona krzywa. Jest więc ona linią geodezyjną.
Najkrótsze są funkcje liniowe czyli f = f (x).
3.3
Zadanie izoperymetryczne
Zadanie izoperymetryczne polega na znalezieniu lini zamkniętej o zadanej
długości S. Linia ta powinna ograniczać maksymalne pole.
Rysunek 3: Przedstawia maksymalne pole
Krzywą taką jest okrąg.
3
4
Pojęcia, definicje
4.1
Funkcjonał
Funkcjonałem nazywamy wielkości zmienne, których wartości zależne są od
jednej lub kilku funkcji. Funkcjonał każdej funkcji (pewnej klasy) przyporządkowuje jednoznacznie pewną liczbę.[1]
Przykłady funkcjonału:
1. Długość l łuku krzywej, łączącej dwa dane punkty;
2. Pole S pewnej powierzchni;
3. Jeśli drodze łączącej punkty A i B przyporządkujemy czas, w którym
rozpatrywane ciało przejdzie tę drogę;
4.2
Funkcjonał liniowy
Definicja 1 [2] Funkcjonał J[f ] nazywamy funkcjonałem liniowym, jeśli
spełnia następujące warunki:
J[k ∗ f ] = k ∗ J[f ] dla każdego k ∈ R
J[f1 + f2 ] = J[f1 ] + J[f2 ]
4.3
4.3.1
Podział funkcjonałów liniowych
Podział ze względu na rodzaj zmiennych
W funkcjonałach występują dwa rodzaje zmiennych:
• zmienne niezależne: x1 , x2 ,. . .
• zmienne zależne: f1 (x), f2 (x),. . .
4.3.2
Podział ze względu na ilość zmiennych
Funkcjonały możemy podzielić także ze względu na ilość zmiennych w funkcji:
• Funkcjonał zależy od jednej zmiennej niezależnej i kilku zmiennych
zależnych:
J[f ] =
Rb
a
F (x, f1 , f2 , . . . , fn , f10 , f20 , . . . , fn0 )dx
• Funkcjonał zależy od kilku zmiennych niezależnych i jednej zmiennej
zależnej:
4
J[f ] =
R x12 R x22 R x32
x11
x21
x31
F (x1 , x2 , x3 , f, fx0 1 , fx0 2 , fx0 3 )dx1 dx2 dx3
• Funkcjonał zależy od jednej zmiennej niezależnej i pochodnych wyższego rzędu:
J[f ] =
Rb
a
F (x, f, f 0 , f 00 , . . . , f (n) )dx
• Funkcjonał zależy od kilku zmiennych niezależnych i kilku zmiennych
zależnych:
R
R
R n2
∂f
J[f ] = xx1112 xx2122 . . . xxn1
F (x1 , x2 , . . . xn , f1 , f2 , . . . , fn , ∂xji | j=1,2,...n
i=1,2,...n )dx1 dx2 . . . dxn
4.4
Przyrost funkcjonału, wariacja
Niech J: X → R będzie funkcjonałem określonym na pewnej przestrzeni
funkcyjnej X. Wtedy
∆J = J[f + h] − J[f ]
będzie przyrostem wartości funkcjonału odpowiadającym przyrostowi argumentu o h. Zauważmy, że dla ustalonego f przyrost ∆J jest funkcjonałem
zależnym od h (na ogół nieliniowym).
Rysunek 4: Przyrost wartości funkcjonału [7]
Definicja 2 [5] Mówimy, że funkcjonał J jest różniczkowalny w punkcie f
wtedy i tylko wtedy gdy przyrost ∆J daje się przedstawić w postaci
∆J = γ(h) + α(f, h)khk,
gdzie:
• γ(h) jest funkcjonałem liniowym względem h
• limkhk→0 α(f, h) = 0
• khk = max|h| gdzie h to odlegołość między funkcjami (patrz Rysunek4)
Różniczką w sensie Frècheta lub wariacją funkcjonału J nazywamy główną
liniową część przyrostu ∆J funkcjonału J, czyli funkcjonał liniowy γ(h), różniący się od ∆J o wielkość nieskończenie małą rzędu wyższego od pierwszego
w stosunku do khk. Zapisujemy ją symbolicznie jako δJ(h).
5
4.5
Ekstremum funkcjonału
4.5.1
Eksteremum mocne funkcjonału
Wartość funkcjonału J[f0 ] nazywamy ekstremum mocnym, jeżeli jest ona
ekstremalą (krzywą całkową równania Eulera) ze względu na te wszystkie
funkcje f(x), które należą do obszaru określoności funkcjonału J[f] i spełniają
warunek kf −f0 k < gdzie > 0 (tj. są bliskie f0 w sensie normy przestrzeni
C 3 )[1]
4.5.2
Ekstremum słabe funkcjonału
Funkcjonał J[f] osiąga dla f = f0 ekstremum słabe, jeśli istnieje takie > 0,
że J[f ] − J[f0 ] zachowuje stały znak dla wszystkich tych f z przestrzeni
D1 4 , dla których funkcjonał J[f] jest określony i kf − f0 k < . [1]
Każde ekstremum mocne jest równocześnie ekstremum słabym. Rozpatrujemy funkcjonały określone w pewnym zbiorze funkcji różniczkowalnych.
Funkcje te uważamy za elementy przestrzeni C i D1 .
4.5.3
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Twierdzenie 1 [1] Warunkiem koniecznym na to, aby funkcjonał J[f ] osiągał dla f = f0 ekstremum jest, aby jego różniczka (jeśli istnieje) była dla
f = f0 równa zero,tj.
δJ ≡ 0 dla f = f0
Dowód tego twierdzenia w załączniku 8.1.1.
5
5.1
Równanie Eulera
Wyprowadzenie równania Eulera
Niech F(x,f,f’) będzie funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu ze względu na wszystkie zmienne. Pośród wszystkich funkcji f(x)
mających ciągłe pochodne i spełniających warunki: f(a)=A, f(b)=B, poszukujemy tej, dla której funkcjonał
3
Przestrzeń C, składająca się ze wszystkich funkcji ciągłych, określonych na pewnym
odcinku [a,b]. Dodawanie elementów i mnożenie ich przez liczby wprowadzamy tutaj jako
zwyczajne dodawanie funkcji i mnożenie ich przez liczby, a normę określamy jako maksimum modułu, czyli kyk = max|f (x)| dla a ¬ x ¬ b.
4
Przestrzeń D1 jest przestrzenią składającą się ze wszystkich funkcji określonych na
pewnym odcinku [a,b] i ciągłych na tym odcinku razem z ich pierwszymi pochodnymi.
Operacje dodawania i mnożenia przez liczby wprowadzamy tak samo jak w C, normę zaś
określamy za pomocą wzoru kyk1 = max|f (x)| + max|f 0 (x)| dla a ¬ x ¬ b.
6
J[f ] =
Rb
a
F (x, f, f 0 )dx
osiąga ekstremum.
Wyznaczmy wariację funkcjonału J[f] nadając funkcji f(x) przyrost h(x).
Aby funkcja f(x)+h(x) spełniała warunki brzegowe, h(x) musi się zerować
na końcach przedziału całkowania h(a)=0, h(b)=0.
Obliczmy przyrost funkcjonału:
Z b
∆J = δJ(h) + α(f, h)khk =
a
Z b
=
Z b
F (x, f + h, (f + h)0 )dx −
F (x, f + h, f 0 + h0 )dx −
Z
a
b
F (x, f, f 0 )dx =
F (x, f, f 0 )dx
a
a
W celu wyznaczenia pierwszej z całek skorzystamy ze wzoru na różniczkę:
∂F (x, f, f 0 + h0 )
h=
∂f
∂F (x, f, f 0 ) 0 ∂F (x, f, f 0 )
∂ 2 F (x, f, f 0 ) 0
= F (x, f, f 0 ) +
h
+
h
+
hh
∂f 0
∂f
∂f ∂f 0
F (x, f + h, f 0 + h0 ) = F (x, f, f 0 + h0 ) +
Podstawiając do wzoru na przyrost funkcjonału otrzymujemy:
∆J = δJ(h) + α(f, h)||h|| =
0
0
2 F (x,f,f 0 )
=
Rb
=
R b ∂F (x,f,f 0 ) 0
∂F (x,f,f 0 )
∂ 2 F (x,f,f 0 )
0 dx
h
+
h
+
hh
0
0
a
∂f
∂f
∂f ∂f
a
) 0 ∂F (x,f,f )
F (x, f, f 0 )+ ∂F (x,f,f
h + ∂f
h+ ∂
∂f 0
∂f ∂f 0
Rb
hh0 dx−
a
F (x, f, f 0 )dx =
Wariacja jest główną liniową częścią przyrostu funkcjonału J[f], zaś α(f, h)khk
są to wyrazy rzędu wyższego od pierwszego ze względu na h i h’. Zapiszmy
zatem wariację:
δJ(h) =
R b ∂F (x,f,f 0 )
a
∂f
h+
∂F (x,f,f 0 ) 0
h
∂f 0
dx
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału J[f] możemy przedstawić w postaci równania:
δJ(h) =
R b ∂F (x,f,f 0 )
a
∂f
h+
∂F (x,f,f 0 ) 0
h
∂f 0
dx = 0
Postać powyższego równania nie jest wygodna, ponieważ pojawia się funkcja h i jej pochodna h’. Wprowadza to pewną dowolność i nie wskazuje
jednoznacznie funkcji f będącej poszukiwanym rozwiązaniem. Wyeliminujmy pochodną h’ z drugiego członu całki stosując całkowanie przez części:
7
R b ∂F (x,f,f 0 ) 0
R
0)
d ∂F (x,f,f 0 )
h dx = h ∂F (x,f,f
− ab h dx
dx
a
∂f 0
∂f 0
∂f 0
Ponieważ h(a)=h(b)=0, możemy napisać:
R b ∂F (x,f,f 0 ) 0
R
d ∂F (x,f,f 0 )
h dx = − ab h dx
dx
a
∂f 0
∂f 0
Stąd otrzymujemy:
R b ∂F (x,f,f 0 )
δJ(h) =
h
a
∂f
−
d ∂F (x,f,f 0 )
dx
∂f 0
dx
Funkcja h może przyjmować dowolny znak, w szczególności możemy dobierać ją tak, aby iloczyn funkcji podcałkowych był zawsze nieujemny lub
niedodatni (nie zmieniał znaku w przedziale całkowania), a jedynie khk → 0,
to wariacja będzie równa zeru tylko wówczas gdy:
∂F (x,f,f 0 )
∂f
−
d ∂F (x,f,f 0 )
dx
∂f 0
=0
Powyższe równanie różniczkowe nazywamy równaniem Eulera. Możemy je
zapisać w prostszej postaci:
Ff −
d
0
dx Ff
=0
Krzywe całkowe równania Eulera nazywamy ekstremalami [1], [6], [8].
5.2
Szczególne przypadki równania Eulera
W zależności od postaci funkcji podcałkowej rozpatrujemy przypadki [1]:
1. Funkcja podcałkowa nie zależy od x:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (f, f 0 )dx
• postać wzoru Eulera:
d
dx (F
− f 0 Ff 0 ) = 0
• stąd otrzymujemy pierwszą całkę rozpatrywanego równania Eulera ma ona postać :
F − f 0 Ff 0 = C gdzie C ∈ R
2. Funkcja podcałkowa nie zależy od f:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (x, f 0 )dx
8
• postać wzoru Eulera:
d
0
dx Ff
=0
• stąd otrzymujemy pierwszą całkę rozpatrywanego równania Eulera ma ona postać :
Ff 0 = C gdzie C ∈ R
3. Funkcja podcałkowa nie zależy od f’:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (x, f )dx
• postać wzoru Eulera:
Ff = 0
nie jest to równanie różniczkowe, lecz zwyczajne równanie określające jedną lub kilka krzywych.
Wyprowadzenie wzorów równania Eulera dla szczególnych przypadków
w załączniku 8.2.1.
6
Przykłady
6.1
Zadanie 1 znalezienie ekstremum funkcjonału
Określić na jakich krzywych może osiągać ekstremum funkcjonał
Z 2
J[f ] =
(f 0 − 2xf )dx
1
z warunkami brzegowymi
f (1) = 0, f (2) = −1.
Rozwiązanie:
Wzór Eulera:
d
Ff − dx
Ff 0 = 0
F (x, f, f 0 ) = f 02 − 2xf
Ff = −2x
d
0
dx Ff
=
d
0
dx (2f (x))
= 2f 00 (x)
Podstawiamy wyliczone funkcje do wzoru Eulera:
9
−2x − 2f 00 (x) = 0
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, które potrafimy obliczyć:
−2x − 2f 00 (x) = 0/ : (−2)
f 00 (x) + x = 0
f 00 (x) = −x
R
f 00 (x)dx =
f 0 (x) =
R
−x2
2
f 0 (x)dx =
f (x) =
−x3
6
R
−xdx
+ C gdzie C ∈ R
R −x2
2 + Cdx
+ C1 x + C2 gdzie C1 , C2 ∈ R
Otrzymaliśmy wzór krzywej jednak jest ona zależna od dwóch stałych C1 , C2 .
Możemy obliczyć je korzystając z warunków brzegowych:
f (1) = − 61 + C1 + C2 = 0
f (2) = − 86 + 2C1 + C2 = −1
(
C1 + C2 = 61
2C1 + C2 = 13
Obliczając C1 , C2 z tego układu równań otrzymujemy:
(
C1 = 16
C2 = 0
Zatem ekstremum może być osiągnięte tylko na krzywej:
f (x) = x6 (1 − x2 ) [3].
6.2
Zadanie 2 o brachistochronie
Znaleźć krzywą łączącą na pionowej płaszczyźnie punkty A i B, nieleżące na
jednej linii pionowej, po której w najkrótszym czasie poruszający się, pod
działaniem siły ciężkości, punkt materialny przemieści się z punktu A do
punkty B. Tarcie i opór pomijamy.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy układ współrzędnych:
10
Rysunek 5: Układ współrzędnych xOy
Początek układu współrzędnych będzie w punkcie A, oś Ox skierujmy
poziomo, oś Oy- pionowo w dół. Krzywa AB jest określona równaniem jawnym y = y(x), 0 ¬ x ¬ x1 . Z zasady zachowania energii wiemy, że:
mv 2
= mgy
2
(1)
gdzie y-wysokość, na której znajdzie się punkt materialny, v-wartość prędkości w danej chwili czasu, g-przyśpieszenie ziemskie, m-masa ciała.
√
Z wzoru (1) możemy napisać: v = 2gy
Długość wektora prędkości wyraża się wzorem:
s
v(t) =
(
dx 2
dy
) + ( )2
dt
dt
po zamianie zmiennych otrzymujemy:
s
v(t)dt =
1+(
dy 2
) dx
dx
Po uwzględnieniu zasady zachowania energii mamy:
s
p
2gydt =
q
dt =
1+(
dy 2
) dx
dx
dy 2
1 + ( dx
)
√
dx
2gy
Całkowity czas ruchu ciała z położenia A(0,0) w położenie B(x1 , y1 ) będzie
wyrażony całką:
s
J[y] =
1
2g
Z x1 p
1 + y 02
√
0
y
dx
Funkcjonał nie zawiera argumentu x, jego wyrażenie podcałkowe jest zapisane w formie F = F (y, y 0 ). Równanie Eulera po pierwszym całkowaniu ma
11
postać F − y 0 Fy0 = C
W naszym przypadku równanie to zapisujemy jako:
p
1 + y 02
y 02
−p
=C
√
y
y(1 + y 02 )
Stąd po uproszczeniu będziemy mieć:
p
1
=C
y(1 + y 02 )
y(1 + y 02 ) = C1
Wprowadźmy parametr t, zakładając że y 0 = ctg t wówczas otrzymamy:
y=
C1
C1
= C1 sin t2 =
(1 − cos 2t)
2
1 + ctg t
2
Korzystając z powyższego wzoru znajdujemy:
dx =
2C1 sin t cos tdt
dy
=
= 2C1 sin t2 dt
y0
ctg t
Z
x=
C1 (1 − cos 2t)dt = C1 t −
C1 sin 2t
C1
+ C2 =
(2t − sin 2t) + C2
2
2
Tak więc w formie parametrycznej równanie szukanej krzywej ma postać:
x − C2 =
y=
C1
(2t − sin 2t)
2
C1
(1 − cos 2t)
2
Zastosujmy podstawienie 2t = t1 i biorąc pod uwagę, że dla t = 0 również
x = 0, otrzymamy, że C2 = 0. Ostatecznie dochodzimy do równania rodziny
cykloid, zapisanego w formie parametrycznej:
(
x=
y=
C1
2 (t1 − sin t1 )
C1
2 (1 − cos t1 )
gdzie C21 -promień toczącego się okręgu.
Wykazaliśmy, że brachistochroną jest cykloida [1], [3], [4], [6].
6.3
Zadanie 3 o najmniejszej powierzchni obrotowej
Określić krzywą y = y(x) z zadanymi punktami granicznymi, przy obrocie
której wokół osi odciętej tworzy się powierzchnia o najmniejszym polu.
12
Rysunek 6: Powierzchnia obrotowa [3]
Rozwiązanie:
Pole powierzchni obrotowej jest określone wzorem:
J[y] = 2π
Z b q
y 1 + y 02 dx
a
Funkcja podcałkowa zależy tylko od y i y 0 , zatem pierwsza całka równania
Eulera będzie miała postać:
F − y 0 Fy0 = C
W naszym przypadku równanie to zapisujemy w postaci:
q
y 1 + y 02 − p
yy 02
=C
1 + y 02
Stąd po uproszczeniu będziemy mieć:
y
p
=C
1 + y 02
Wprowadźmy parametr t zakładając, że y 0 = sinh t. Wtedy y = C cosh t, a
dx =
C sinh tdt
dy
=
= dt
0
y
sinh t
Z
x=
Cdt
Tak więc szukana powierzchnia powstaje przez obrót lini, której równanie
w formie parametrycznej ma postać:
x = Ct + C1
y = C cosh t
1
Wykluczając parametr t, otrzymamy: y = C cosh x−C
C . Jest to rodzina krzywych łańcuchowych, przy obrocie których powstaje szukana powierzchniakatenoida. Stałe C i C1 są określone na podstawie warunku przechodzenia
krzywej łańcuchowej przez wyznaczone punkty graniczne [3], [6].
13
7
Podsumowanie
W dzisiejszych czasach Sformułowanie wariacyjne, a konkretnie Rachunek
wariacyjny, zajmuje w matematyce szczególne miejsce. Jest jednym z ważniejszych, z punktu widzenia zastosowań, rozdziałów klasycznej analizy matematycznej. Zadania wariacyjne polegają na znalezieniu wartości maksymalnych i minimalnych funkcjonałów, które zastępują równania różniczkowe. Rozwiązujemy w ten sposób problem polegający na całkowaniu owych
równań różniczkowych. Zaprezentowane przyklady pokazały, że przy użyciu
porostych przekształceń i wzorów możemy obliczyć wiele zagadnień matematycznych jak, i fizycznych.
8
Załącznik
8.1
8.1.1
Ekstremum funkcjonału
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Twierdzenie 2 Warunkiem koniecznym na to, aby funkcjonał J[f ] osiągał
dla f = f0 ekstremum jest, aby jego różniczka (jeśli istnieje) była dla f = f0
równa zero,tj.
δJ ≡ 0 dla f = f0
Dowód 1 [1],[5] Dowód przez sprzeczność.
Rozpatrzmy dla określoności przypadek minimum. Jeżeli J[f ] osiąga dla f =
f0 minimum, to znaczy, że
J[f0 + h] − J[f0 ] ­ 0
dla wszystkich h, dla których norma khk jest dostatecznie mała. Ale zgodnie
z określeniem wariacji,
J[f0 + h] − J[f0 ] = δJ[h] + α(f, h)khk
i α(f, h) → 0 dla khk → 0. Jeżeli δJ[h] 6= 0, to dla dostatecznie małych h
znak wyrażenia
δJ[h] + α(f, h)khk
określa pierwszy składnik (główny). Ale δJ jest funkcjonałem liniowym, dlatego
δJ[−h] = −δJ[h]
a zatem, przy δJ 6= 0 wyrażenie δJ[h] + α(f, h)khk może być tak dodatnie,
jak i ujemne przy dowolnie małych h, czyli ekstremum w tym przypadku jest
niemożliwe.
14
8.2
8.2.1
Równanie Eulera
Szczególne przypadki równania Eulera
W zależności od postaci funkcji podcałkowej rozpatrujemy przypadki:
1. Funkcja podcałkowa nie zależy od x:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (f, f 0 )dx
• postać wzoru Eulera:
d
dx (F
− f 0 Ff 0 ) = 0
• stąd otrzymujemy pierwszą całkę rozpatrywanego równania Eulera ma ona postać :
F − f 0 Ff 0 = C gdzie C ∈ R
Dowód 2 [1]
Skorzystajmy ze wzoru Eulera:
Ff −
d
0
dx Ff
=0
Rospisując powyższy wzór dla naszej funkcji podcałkowej otrzymamy:
Ff −
d
0
dx Ff
= Ff − Ff 0 f f 0 − Ff 0 f 0 f 00
pomnożymy to równanie przez f ’:
Ff f 0 − Ff 0 f f 0 f 0 − Ff 0 f 0 f 00 f 0
korzystając z postaci wzoru Eulera dla tego przypadku funkcjonału
zapiszmy:
d
dx (F
− f 0 Ff 0 ) = Ff f 0 − Ff 0 f f 0 f 0 − Ff 0 f 0 f 00 f 0
Otrzymaliśmy to samo zatem pierwsza całka rozpatrywanego równania Eulera ma ona postać :
F − f 0 Ff 0 = C gdzie C ∈ R
2. Funkcja podcałkowa nie zależy od f:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (x, f 0 )dx
• postać wzoru Eulera:
15
d
0
dx Ff
=0
• stąd otrzymujemy pierwszą całkę rozpatrywanego równania Eulera ma ona postać :
Ff 0 = C gdzie C ∈ R
Dowód 3 [1] W tym przypadku dowód jest bardzo prosty, ponied
waż ze wzoru Eulera Ff − dx
Ff 0 = 0 wynika, że Ff = 0 zatem bied
0
rzemy tylko pod uwagę dx Ff = 0, stąd pierwsza całka to: Ff 0 = C
gdzie C ∈ R.
3. Funkcja podcałkowa nie zależy od f’:
• badany funkcjonał ma postać:
Rb
a
F (x, f )dx
• postać wzoru Eulera:
Ff = 0
nie jest to równanie różniczkowe, lecz zwyczajne równanie określające jedną lub kilka krzywych.
Literatura
[1] I.M. Gelfand, S.W. Fomin: Rachunek wariacyjny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979r., s. 7-30.
[2] L.E. Elsgolc: Rachunek wariacyjny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1960r., s. 7-10,14,33-34.
[3] J. Głazunow: Metody wariacyjne, Wydawnicto Elbląskiej Uczelni
Humanistyczno-Ekonomicznej, Elbląg 2005r., s. 11,45-49.
[4] strony www: http://www.ftj.agh.edu.pl/∼lenda/wariacje.pdf na dzień
06.03.2010r.
[5] strony www: http://www.mini.pw.edu.pl/∼mm/konw/wykl 13.pdf
na dzień 06.03.2010r.
[6] strony www: http://www.mini.pw.edu.pl/∼mm/konw/node65.html
na dzień 06.03.2010r.
[7] strony www: http://panoramix.ift.uni.wroc.pl/∼knft/materialy/wariacje.pdf
na dzień 06.03.2010r.
[8] Materiały podane przez Panią J. Pielaszkiewicz MES material1
16