2 - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Teoria sterowania
Jakość dynamiczna liniowych układów sterowania
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych 3 - Część 3
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Gdańsk
1. Wprowadzenie
Aby zapewnić podstawowe własności dynamiczne układu regulacji nie wystarcza
jedynie wymaganie jego stabilności. Stabilność informuje nas tylko o tym, że
przebiegi przejściowe w tym układzie zanikają. Nie mamy jednak innych ważnych
informacji, np. jaki jest rodzaj przebiegu, jakie są jego odchylenia maksymalne, kiedy
zanikają procesy przejściowe. W związku z tym potrzebna jest dodatkowa analiza
układu regulacji polegająca na zbadaniu jego stanu przejściowego czyli ocena
jakości dynamicznej tego układu.
Podstawowymi kryteriami oceny jakości dynamicznej układu są oceny związane z:
 charakterystykami skokowymi i całkowymi kryteriami jakości,
 charakterystykami częstotliwościowymi,
 położeniem pierwiastków.
2. Ocena jakości dynamicznej w oparciu o charakterystyki skokowe i całkowe
kryteria jakości
Czas regulacji t r , czas narastania (czas wzrostu), czas szczytowy
i przeregulowanie (oscylacyjność)  to podstawowe wskaźniki jakości
dynamicznej związane z charakterystyką skokową układu regulacji h t  lub z
uchybową charakterystyką odpowiedzi skokowej e t  .
W przebiegu uchybu regulacji można wyróżnić dwie składowe:
 uchyb ustalony e s ,
 uchyb przejściowy e p t  .
stąd:
et   e s  e p t 
(1)
x(t)
h(t)
h(t)
Rys. 1. Przebieg wielkości regulowanej h t  i uchybu regulacji e t  przy pobudzeniu
skokowym sygnałem zadanym x t 
Czas regulacji t r – czas od chwili pobudzenia do chwili, gdy uchyb przejściowy
e p t  zmaleje trwale poniżej założonej wartości  e . Najczęściej przyjmuje się, że
 e  5 % lub e  2 % wartości początkowej (maksymalnej) e p0 . Tak więc czas
regulacji określa czas trwania stanu przejściowego.
2
Czas narastania (czas wzrostu) – czas potrzebny do tego, aby charakterystyka
skokowa osiągnęła od 10 % do 90 % wartości ustalonej. Przyjmuje się również
przedziały od 5 % do 95 % lub od 0 % do 100 % wartości ustalonej. Dla układów
aperiodycznych powszechnie stosuje się przedział od 10 % do 90 % .
Czas szczytowy – czas potrzebny do tego, aby charakterystyka skokowa osiągnęła
pierwszy szczyt przeregulowania.
Przeregulowanie  (oscylacyjność) – określa się z następującej zależności:

e p1
e p0
 100 %
(2)
gdzie:
e p0 – początkowa maksymalna wartość uchybu przejściowego,
e p1 – największa wartość uchybu przejściowego o znaku przeciwnym niż e p0 .
Przeregulowanie można uważać za miarę zapasu stabilności układu regulacji.
Dla układów regulacji znajdujących się na granicy stabilności   100 % .
Najczęściej przyjmuje się za najkorzystniejsze przeregulowania od 0 % do 40 % .
Do oceny jakości dynamicznej konkretnego układu regulacji w oparciu o
charakterystyki skokowe można używać tylko niektórych wskaźników jakości.
Jednocześnie układ ten powinien być modyfikowany tak długo, aż jego odpowiedź
skokowa będzie spełniała te wskaźniki jakości. Warto również zauważyć, że niektóre
wskaźniki, np. przeregulowanie i czas narastania są przeciwstawne, tzn. że nie mogą
być jednocześnie zmniejszane lub zwiększane.
Przykład 1.
Dany jest następujący układ regulacji:
X (s)
E (s)
–
 02
s(s+2 0)
Y (s)
Rys. 2. Schemat układu do przykładu 1
Założeniem jest że układ ten jest układem oscylacyjnym.
Dla powyższego układu należy wyznaczyć jako funkcję parametrów  i  0 :
a). czas narastania,
b). czas szczytowy,
c). przeregulowanie  ,
d). czas regulacji t r .
Transmitancja operatorowa zamkniętego układu regulacji jest postaci:
G 0 s 
0
Y s 
G z s  

 2
X s  1  G 0 s  s  2   0 s   0 2
2
3
Adn a).
Czas narastania t 1 wyznaczamy obliczając odpowiedź skokową z transmitancji
operatorowej zamkniętego układu regulacji i przyjmując y t 1   1 .
Mamy zatem:
 
y t 1  1 e
  0 t 1


 cos  t 
w 1

1 


cos  w t 1 
1 
tg  w t 1  
t1 
gdzie:
w  0 1 
2
1 
sin  w t 1  0
2
2


w
tg  1
 
1
w
2

sin  w t 1   1


w
w

 0


 


w

– pulsacja drgań własnych tłumionych,
 – kąt zdefiniowany zgodnie z rysunkiem:
j
j w
 0 1 
0
2

-
 0
0

Rys. 3. Rysunek pomocniczy do przykładu 1
Adn b).
Czas szczytowy t 2 wyznaczamy korzystając z obliczeń wykonanych w punkcie a),
różniczkując y t  ze względu na czas i przyrównując pochodną do zera. Mamy
zatem:
dy
  0 t 2
 0 e
dt2


 cos  t 
w
2

1 

2

  0 t 2
sin  w t 2   e




 sin  t    w cos  t   0
w 2
w 2
 w
1  2


Elementy z cosinusem się znoszą, więc pozostaje:
  2 0
   t
0 2

  0 1   2 e
sin w t 2  0


2
 1

0
1
2
e
  0 t 2
sin w t 2  0
sin  w t 2  0
4
zatem:
 w t 2  0,  , 2 , 
Ponieważ czas szczytowy związany jest tylko z pierwszym przeregulowaniem, zatem:

w t2    t2 
w
Tak więc czas szczytowy t 2 odpowiada połowie okresu drgań własnych tłumionych.
Adn c).
Maksymalne przeregulowanie występuje dla czasu szczytowego t 2 

. Mamy
w
zatem:
  y t m   1  e
  0 t 2


 cos t 
w 2

1 

2

  0

w
sin w t 2   e




 cos 

1 

2






sin   e w  e


Przechodząc na zapis procentowy mamy:
 %  e



w
 100 %
Adn d).
Czas regulacji t r wyznaczamy korzystając z przedstawionej w punkcie a) zależności
na odpowiedź.
Mamy zatem:



 cos  t 
sin  w t 
w


1  2


  0 t

1   2 
e
y t   1 
sin   w t  tg  1



1  2


y t   1  e
Tak
więc
krzywe
1
e
  0 t
  0 t
1 
2
są
obwiedniami
jednostkowego skokowego sygnału wejściowego:
5
odpowiedzi
skokowej
dla

1  2

y(t)
1 1
2
1
e
1
e
  0 t
1
2
1
1 1
  0 t
1 
2
0
2
T
Π/2T 2T
3T
4T
t
Rys. 4. Obwiednie odpowiedzi skokowej
Czas regulacji t r
obliczamy zgodnie z przyjętym kryterium: 2 % lub 5 % z
wykorzystaniem stałej czasowej T 
1
 o
.
W praktyce dla kryterium 2 % obowiązuje następująca zależność:
t r  4T 
4


4
 0
natomiast dla kryterium 5 % mamy:
t r  3T 
3


3
 0
Całkowe kryteria jakości pozwalają na pełną ocenę własności przebiegu procesu
regulacji. Niedokładna realizacja zadań regulacji powoduje występowanie uchybów,
a tym samym strat w jakości regulacji.
Straty chwilowe są funkcją chwilowej wartości uchybu regulacji e t  , pochodnych
uchybu regulacji e t , e t ,  i czasu t :
 t  ,  , t
S  f  e t  , e t  , e
6

(3)
Straty całkowite są natomiast równe:
tr
I   f  e t , e t , e t ,  , t  dt
(4)
0
gdzie:
t r – czas obserwacji.
Miarą jakości układu regulacji jest wartość całki I . Im wartość I jest mniejsza, tym
wyższa jakość układu regulacji.
W stabilnych układach regulacji uchyb przejściowy e p t   0 dla t   , stąd za czas
obserwacji t r przyjmuje się przedział 0 ,   .
Zakładając, że straty chwilowe S zależą tylko od uchybu regulacji i czasu otrzymuje
podstawowe całkowe wskaźniki jakości:

I 1   e p t  dt
(5)
0

I 1 m   e p t  dt
0

I2   ep
2
t  dt
(6)
(7)
0
Rys. 5. Całkowe kryteria jakości – interpretacja graficzna
Całka I 1 jest polem między krzywą uchybu regulacji a asymptotą do której ona
zmierza. Oblicza się ją w następujący sposób:


0
0
I 1   e p t  dt  lim  e p t  e st dt  lim E p s 
s 0
s 0
(8)
Całka I 1 może być stosowana tylko dla przebiegów aperiodycznych.
W sytuacji, gdy w układzie regulacji występują przeregulowania nie należy stosować
kryterium I 1 , ponieważ całka może mieć wartość 0 (w wyniku odejmowania się pól
ujemnych od dodatnich), a układ nie będzie pracował prawidłowo.
7
Całki I 1 m i I 2 mogą być stosowane dla przebiegów oscylacyjnych, ponieważ nie
zależą od znaku funkcji uchybu przejściowego e p t  , a tylko od jej wartości
bezwzględnej.
Analityczne obliczenie całki I 1 m jest trudne z powodu nieliniowej funkcji podcałkowej.
Całkę I 2 oblicza się w następujący sposób (wzór Rayleigha):
I2 
1
 E p s 

2
d
(9)
0
lub całkując w dziedzinie zmiennej zespolonej:
I2 
c j 
 E p s  E p  s  ds
2  j c j 
1
(10)
Ponadto, jeżeli transmitancja uchybu regulacji jest postaci:
E p s  
b m s m  b m 1 s m 1    b1 s  b 0
a n s n  a n 1 s n 1    a 1 s  a 0
mn
;
to całkę I 2 oblicza się według wzorów podanych w tabeli 1.
Tabela 1. Wzory służące do obliczania całki I 2
I2
n
b0
I2 
1
2 a1 a 0
b1 
2
2
I2 

a2 2
b0
a0
2 a 2 a1

a 1 b 2  a 3 b1  2 b 0 b 2 
2
3
2
I2 
2

2 a 3 a1 a 2  a 0 a 3
8
a3 a2 2
b0
a0

(11)
Przykład 2.
Dany jest następujący układ regulacji:
X (s)
E (s)
Y (s)
k
s(T1s+1)(T2s+1)
–
Rys. 6. Schemat układu do przykładu 2
Wymuszenie zmienia się w sposób skokowy.
Parametry: T 1  1 s , T 2  0,1 s .
Dla jakich wartości współczynnika wzmocnienia k uzyska się min I 2 , jeżeli:

I2   ep
2
t  dt
0
Transmitancja operatorowa uchybu regulacji:
G E s  



s T1 s  1 T 2 s  1



k  s T1 s  1 T 2 s  1
Wymuszenie zmienia się w sposób skokowy:
x t   1t 
Transformata uchybu regulacji:
E s   G E s   £  x t   


T1 T 2 s 2  T1  T 2 s  1
1
 G E s  
s
T1 T 2 s 3  T1  T 2 s 2  s  k


Mamy zatem:
a 0  k ; a 1  1 ; a 2  T1  T 2 ;
b0  1 ;
b1  T 1  T 2 ;
b 2  T1 T 2
Zgodnie z tabelą 1 całka I 2 wynosi:


a 1 b 2  a 3 b1  2 b 0 b 2 
2
I2 
2
2a3
I2 
T
1
a
 T2


1
2
a2  a0 a3
a3 a2 2
b0
a0


 T 1T 2  T 1  T 2

2 T1  T 2  2 k T1 T 2
1k


T T 
1
2
2

 T 1T 2 T 1  T 2
2 T1 T 2
T
1

2

 2 T1 T 2 
 T 2  k T1 T 2

T1 T 2 T1  T 2

k
1
1,1
1,11 
k 
k  1,11 k  1,1
2 ,2  0 ,2 k
2 ,2  0 ,2 k 2 ,2 k  0 ,2 k 2
1,1 2  0 ,1  1,1
Wartość współczynnika wzmocnienia k , dla której całka I 2 osiąga minimum
znajdziemy z zależności:
9

dI2
dk
0



1,1 2 ,2 k  0 ,2 k 2  1,11 k  1,12 ,2  0 ,4 k 
2,2 k  0,2 k 
2 2

0 ,22 k 2  0 ,42 k  2 ,42
2,2 k  0,2 k 
2 2
0
Mianownik jest zawsze dodatni, zatem mamy:
0,22 k 2  0,42 k  2,42  0
  0,42 2  4  2,42  0,22  2,306
k1 
 0 ,42 
2 ,306
0 ,44
 8 ,81 ;
k2 
 0 ,42 
2 ,306
0 ,44
 2 ,5
Odrzucamy pierwsze rozwiązanie.
Korzystając z kryterium Hurwitza sprawdzamy stabilność układu regulacji dla k 2 .
Równanie charakterystyczne jest postaci:



s T1 s  1 T 2 s  1  k  0


T1 T 2 s 3  T1  T 2 s 2  s  k  0
Z warunku koniecznego kryterium stabilności Hurwitza wynika, że wszystkie
współczynniki równania charakterystycznego muszą istnieć i muszą być większe od
zera, zatem:
a 0  k  0 , a1  1  0 , a 2  T1  T 2  1,1  0 , a 3  T1 T 2  0,1  0
Należy teraz sprawdzić warunek wystarczający: czy wszystkie podwyznaczniki
główne (minory) wyznacznika  n , tzw. wyznacznika Hurwitza, są większe od zera:
1  a 2  0  1,1  0
2 
a2
a3
a0
a1
0

2 
1,1 0 ,1
k
1
 1,1  0 ,1 k  0

k  11
Z warunku koniecznego i wystarczającego mamy zatem, że układ będzie stabilny dla
k  0 , 11 .
Zatem można przyjąć:
k min  2 ,5
3. Ocena jakości dynamicznej w oparciu o charakterystyki częstotliwościowe
a).
Podstawowym wymaganiem, jakie stawia się układowi regulacji jest odpowiedni
zapas stabilności tego układu, to znaczy odpowiedni zapas modułu i zapas fazy.
10
Rys. 7. Charakterystyki logarytmiczne układu regulacji z zaznaczonym zapasem
stabilności zamkniętego układu regulacji
Dla przypomnienia:
Zapas modułu  Lm 0 – odchylenie logarytmicznej charakterystyki modułu otwartego
układu regulacji od wartości 0 dB dla pulsacji    a :
 Lm 0   Lm 0  a 
(12)
Pulsacja graniczna fazy  a – pulsacja, dla której argument transmitancji widmowej
otwartego układu regulacji osiąga wartość 180  :
 0  a   arg G 0  j  a   180 
(13)
Zapas fazy   0 – odchylenie logarytmicznej charakterystyki fazy otwartego układu
regulacji od wartości 180  dla pulsacji    m :
  0  180    0  m 
Pulsacja graniczna modułu  m
(14)
– pulsacja, dla której moduł transmitancji
widmowej otwartego układu regulacji równa się jedności:
 
Lm 0  m  0 

G0 j  m

1
(15)
Najczęściej wymagane jest spełnienie następujących warunków:
6 dB   Lm 0  12 dB
30     0  60 
11
(16)
(17)
b).
Kolejnym wymaganiem, jakie stawia się układowi regulacji jest odpowiednia
szerokość pasma przenoszenia.
Rys. 8. Charakterystyka logarytmiczna modułu zamkniętego układu regulacji z
zaznaczonymi parametrami
Pasmo przenoszenia – zakres częstotliwości, w których zamknięty układ regulacji
przenosi sygnały zadane. Miarą pasma częstotliwości przenoszonych przez układ
regulacji jest graniczna pulsacja trzydecybelowa  d , dla której moduł transmitancji
widmowej zamkniętego układu regulacji zmniejsza się do wartości  3 dB :
 

Lm zm  d  3 dB  G zm j  d

 0 ,707
(18)
4. Ocena jakości dynamicznej w oparciu o położenie pierwiastków
Istnieje związek między wartościami własnymi (biegunami układu zamkniętego), czyli
pierwiastkami równania charakterystycznego, a jakością regulacji:
 Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej
półpłaszczyźnie płaszczyzny pierwiastków, to układ regulacji jest stabilny.
 Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą na osi
rzeczywistej, to układ regulacji jest przetłumiony lub tłumiony krytycznie.
 Im dalej na osi rzeczywistej leżą pierwiastki równania charakterystycznego,
tym szybsza dynamika układu regulacji (mniejsze wartości stałych
czasowych).
 Pierwiastki leżące najbliżej osi urojonej mają największy wpływ na odpowiedź
dynamiczną układu regulacji. Im dalej od tej osi położony jest pierwiastek, tym
szybciej zanika w czasie reprezentująca go składowa odpowiedzi.
 Im większa jest odległość sprzężonych pierwiastków zespolonych od osi
rzeczywistej, tym bardziej niedotłumiony jest układ regulacji.
Pierwiastki dominujące – pierwiastki, które w znaczący sposób wpływają na
szybkość działania układu regulacji. Pierwiastkami dominującymi są pierwiastki
położone najbliżej osi urojonej. Znajdują się one najbliżej granicy stabilności układu
regulacji.
W projektowaniu układu regulacji można wyróżnić dwa rodzaje pierwiastków
dominujących:
a). pierwiastki zespolone,
b). podwójny pierwiastek rzeczywisty.
12
Adn. a).
Niech będą dane pierwiastki równania charakterystycznego jak na rys. 9.
Im
s1
sn-2
rz

sn
0
s3
sn-1
Re
rz

s2
Rys. 9. Pierwiastki równania charakterystycznego z dominującymi pierwiastkami
zespolonymi
Dominującymi pierwiastkami zespolonymi są s 1 i s 2 , które powodują, że w
transmitancji zamkniętego układu regulacji wystąpi dominujący czynnik drugiego
stopnia.
Zakładając, że transmitancja otwartego układu regulacji nie ma zer oraz pomijając
działanie innych pierwiastków, transmitancję zamkniętego układu regulacji można
przedstawić w następującej postaci:
Gs  
K
(19)
T z1 s  2  z1 T z1 s  1
2
2
gdzie:
T z1 – dominująca stała czasowa,
 z1 – dominujący współczynnik tłumienia.
Parametry T z1 i  z1 obliczamy w następujący sposób:
1
1

rz 0
(20)
 z1  cos 
(21)
T z1 
gdzie:
 0 – pulsacja drgań własnych nietłumionych.
Adn. b).
Niech będą dane pierwiastki równania charakterystycznego jak na rys. 10.
Im G(s)
sn-2
s1 = s2
sn

s3
0
Re G(s)
sn-1
Rys. 10. Pierwiastki równania charakterystycznego z dominującym podwójnym
pierwiastkiem rzeczywistym
13
Dominującym podwójnym pierwiastkiem rzeczywistym jest s 1  s 2 . Powoduje on, że
w transmitancji zamkniętego układu regulacji wystąpi dominujący podwójny czynnik
pierwszego stopnia.
Zakładając, że transmitancja otwartego układu regulacji nie ma zer oraz pomijając
działanie innych pierwiastków, transmitancję zamkniętego układu regulacji można
przedstawić w następującej postaci:
Gs  
T
K
z1 s

1
2
(22)
Parametr T z1 obliczamy w następujący sposób:
T z1 
1
1
1


s1
s2 
(23)
Na rys. 11 pokazane zostały przebiegi przejściowe w zależności od położenia
pierwiastka na płaszczyźnie s .
Rys. 11. Przebiegi przejściowe w zależności od położenia pierwiastka na
płaszczyźnie s
14
Bibliografia
Findeisen W. (1978). Technika regulacji automatycznej. Państwowe Wydawnictwo
Naukowe.
Holejko D., Kościelny W., Niewczas W. (1985). Zbiór zadań z podstaw automatyki.
Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej.
Jędrzykiewicz Z. (2002). Teoria sterowania układów jednowymiarowych. Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne.
Kowal J. (2004). Podstawy automatyki. Tom I. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo
Techniczne.
Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W. (2002). Podstawy automatyki. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.
15