7.3Metody doboru nastaw

METODY DOBORU NASTAW
7.3.1. Metody analityczne
7.3.1.1
Metoda linii pierwiastkowych
7.3.2 Metody doświadczalne
7.3.2.1.
Metoda Zieglera- Nicholsa
7.3.2.2.
Wzmocnienie krytyczne
7.3.1.1 Metoda linii pierwiastkowych
Metoda linii pierwiastkowych (metoda miejsc
geometrycznych
pierwiastków) - umoŜliwia wyznaczenie połoŜenia pierwiastków równania
charakterystycznego układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer i
biegunów transmitancji układu otwartego.
Ze zmianą wzmocnienia układu otwartego pierwiastki te poruszają się po
liniach pierwiastkowych, będących miejscem geometrycznym pierwiastków.
Rozpatrzymy układ ze sprzęŜeniem zwrotnym
W(s
–
E(s) Regulator U(s)
Kp
Obiekt
Y(s)
KoGo(s)
Transmitancja układu zamkniętego wynosi
GZ ( s ) =
K p K 0G0 ( s )
Y (s)
=
W ( s ) 1 + K p K 0G0 ( s )
_________________________________________________________________________________________________
1
®
Powered by xtoff
[email protected]
Równanie charakterystyczne,
transmitancji ma postać
którego
pierwiastki
są
biegunami
1 + K p K 0G0 ( s ) = 0
Pierwiastki układu zamkniętego zaleŜą od współczynnika wzmocnienia
Kp, tym samym moŜemy mieć wpływ na odpowiedź dynamiczną układu
zamkniętego przez dobór odpowiedniej wartości Kp.
RozwaŜmy mechanizm konstruowania wykresu pierwiastków przy
wykorzystaniu wzmocnienia jako zmiennego parametru. ZałoŜymy, Ŝe
transmitancja układu otwartego KpK0G0(s) jest funkcją wymierną, licznik ma
postać KpK0b(s), gdzie b(s) jest wielomianem stopnia m
m
b ( s ) = s m + b1s m −1 + ... + bm = ( s − z1 )( s − z2 )...( s − z m ) = ∏ ( s − zi )
i =1
Mianownik jest wielomianem a(s) n-tego stopnia, a n≥m
a ( s ) = s + a1s
n
n −1
n
+ ... + an = ∏ ( s − pi )
i =1
Dla potrzeb analizy załoŜono, Ŝe wzmocnienie obiektu K0 jest dodatnie,
oraz zdefiniujmy parametr miejsca geometrycznego jako
K = K p K0
Miejsca zerowe (pierwiastki) b(s) = 0 są zerami transmitancji GZ(s) i
oznaczamy je jako zi, podobnie miejsca zerowe (pierwiastki) a(s) = 0 są
biegunami transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako pi.
MoŜna teraz przedstawić połoŜenie pierwiastków równania na kilka
moŜliwych sposobów. KaŜde z poniŜszych równań ma te same pierwiastki
1 + KG0 ( s ) = 0
b( s )
=0
1+ K
a(s)
a ( s ) + Kb( s ) = 0
1
G0 ( s ) = −
K
Równania te określa się często jako formuły pierwiastków równania
charakterystycznego.
_________________________________________________________________________________________________
2
®
Powered by xtoff
[email protected]
Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których w powyŜszych
równaniach zachowana jest dodatnia wartość K (oraz Kp).
Rozwiązaniami równań są pierwiastki układu zamkniętego, więc moŜna
powiedzieć, Ŝe metoda linii pierwiastkowych jest sposobem wnioskowania o
własnościach układu zamkniętego na podstawie transmitancji układu otwartego
KG0(s).
7.3.2.1.
Metoda Zieglera- Nicholsa
Ziegler i Nichols zauwaŜyli, Ŝe odpowiedź skokowa większości układów
sterowania ma kształt podobny do tego z rysunku 1a. Krzywa ta moŜe być
otrzymana z danych eksperymentalnych lub symulacji dynamicznej obiektu.
Krzywa o kształcie S jest charakterystyczna dla układów wyŜszych
rzędów.
Transmitancja
Ke − sTO
G(s) =
(*)
Ts + 1
aproksymuje układy wyŜszych rzędów prostym układem I rzędu z dodatkowym
opóźnieniem To wyraŜonym w sekundach. Stałe w równaniu (*) mogą być
określone z odpowiedzi skokowej procesu. Jeśli styczna narysowana jest w
punkcie przegięcia krzywej odpowiedzi, wówczas nachylenie linii jest
wyznaczane ze wzoru R=K/T, a przecięcie stycznej z osią czasu określa czas
opóźnienia To.
W tej metodzie wybór parametrów regulatora opiera się na współczynniku
zanikania równym w przybliŜeniu 0.25. Oznacza to, Ŝe dominująca składowa
przejściowa zanika do jednej czwartej swojej wartości maksymalnej po jednym
okresie oscylacji (rys. 2). Takie zanikanie odpowiada współczynnikowi ζ = 0.21
w układzie II rzędu i wartość ta ustalona została na zasadzie kompromisu
pomiędzy szybką odpowiedzią i wystarczającym zapasem stabilności.
Autorzy symulowali równania dla róŜnych układów na komputerze
analogowym i stroili parametry regulatorów, aŜ uzyskali odpowiedzi
przejściowe zanikające do 25% poprzedniej wartości w jednym okresie. Metoda
Zieglera-Nicholsa bazująca na odpowiedzi skokowej daje dobre rezultaty, gdy
spełniony jest następujący warunek :
0.15 <
TO
< 0.6
T
_________________________________________________________________________________________________
3
®
Powered by xtoff
[email protected]
(rys. 1)
(rys. 2)
7.3.2.2.
Wzmocnienie krytyczne
Wzmocnienie krytyczne to wzmocnienie regulatora proporcjonalnego,
który połączony szeregowo z obiektem spowoduje znalezienie się układu
zamkniętego na granicy stabilności (pojawiają się niegasnące drgania okresowe).
W tej metodzie kryterium strojenia parametrów opiera się na ocenie
układu znajdującego się na granicy stabilności. Ten algorytm strojenia moŜe być
stosowany dla układów typu 0 posiadających rząd > 2. MoŜe być równieŜ
zastosowana do samostrojenia regulatorów PID. Metoda ta moŜliwa jest do
zastosowania jeśli moŜliwe jest znalezienie wzmocnienia przy którym wykres
Nyquista przecina punkt krytyczny lub kiedy linia pierwiastkowa przecina oś
liczb urojonych. Wzmocnienie to moŜe być znalezione eksperymentalnie,
wymaga się wówczas zwiększania wzmocnienia w układzie zamkniętym aŜ na
wyjściu pojawią się oscylacje o stałej amplitudzie. Jest to w niektórych
zastosowaniach praktycznych bardzo niebezpieczna operacja. Zwiększa się
wzmocnienie proporcjonalne aŜ zauwaŜy się oscylacje o stałej amplitudzie,
odpowiada to wzmocnieniu krytycznemu Kkr i oscylacjom o okresie Tosc . Okres
oscylacji powinien być mierzony kiedy amplituda oscylacji jest dość mała.
_________________________________________________________________________________________________
4
®
Powered by xtoff
[email protected]
Nastawy regulatorów według Zieglera i Nicholsa
Regulator
K/Kkr
Ti/Tos
TdTos
P
0,5
-
-
PI
0,45
0,83
-
PID
0,6
0,5
0,125
Przyjęcie nastaw regulatorów z powyŜszej tabeli, pozwala uzyskać
przebiegi przejściowe o charakterze zbliŜonym do przedstawionego na
następnym rysunku. Przeregulowanie jest rzędu 15 - 20%, a liczba oscylacji nie
przekracza dwóch.
_________________________________________________________________________________________________
5
®
Powered by xtoff
[email protected]