Zadanie 1. Na odcinku ( ) ten sposób odcinek zostaje podzielony na

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1. Na odcinku (0, 1) ORVXMHP\ SXQNW ]JRGQLH ] UR]NáDGHP MHGQRVWDMQ\P :
ten sposób odcinek zostaje podzielony na dwa SRGRGFLQNL SUDZLH QD SHZQR GáX*V]\ L
NUyWV]\ :DUWRü RF]HNLZDQD VWRVXQNX GáXJRFL RGFLQND NUyWV]HJR GR GáXJRFL
RGFLQND GáX*V]HJR Z\QRVL
(A)
ln 2
2
(B)
ln 2
3
(C)
ln2
(D)
(ln 4) − 0.5
(E)
(ln 4) − 1
1
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. : SHZQHM JU]H ] WDOLL NDUW ORVXMHP\ NDUW\ :\JUDQD QDVW
SXMH MHOL
DVDPL 5R]SDWUXMHP\ QDVW
SXMFH SUDZGRSRGRELHVWZD ZDUXQNRZH
RELH NDUW\ V
X = Pr (wygrana co najmniej jedna z kart jest kierem )
Y = Pr (wygrana co najmniej jedna z kart jest asem )
Z = Pr (wygrana jedna z kart jest asem kier ).
3RPL G]\ SUDZGRSRGRELH VWZDPL
(A)
X >Y > Z
(B)
X >Y = Z
(C)
X <Y =Z
(D)
X <Y <Z
(E)
X < Z <Y
X, Y i Z
2
]DFKRG]
]DOH*QRFL
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. Zmienna losowa X PD UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ R ZDUWRFL RF]HNLZDQHM UyZQHM
5.
Zmienna losowa Y PD UR]NáDG MHGQRVWDMQ\ QD SHZQ\P RGFLQNX SU]\ F]\P MHM ZDUWRü
oczekiwana wynosi 5, a wariancja wynosi 25 3 .
Zmienne losowe X i Y V QLH]DOH*QH
Pr(X + Y < 6) wynosi:
(A)
0.1 ⋅ e −1.2
(B)
0.5 ⋅ e −1
(C)
0.1 + 0.5 ⋅ e −1.2
(D)
0.1 + 0.1 ⋅ e −1.2
(E)
0.1 + 0.5 ⋅ e −1
3
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
: F]WHUHFK XUQDFK ]QDMGXM
Zadanie 4.
VL
NXOH F]DUQH L ELDáH
• Z XUQLH SLHUZV]HM V NXOH F]DUQH L NXO ELDá\FK
• Z XUQLH GUXJLHM V NXOH F]DUQH L NXOH ELDáH
• Z XUQLH WU]HFLHM MHVW NXO F]DUQ\FK L NXOH ELDáH
• w urnie czwartej jest 8 kul czarnych.
= Z\ORVRZDQHM ] UyZQ\PL SUDZGRSRGRELHVWZDPL Z\ERUX XUQ\ FLJQLHP\ NROHMQR
EH] ]ZUDFDQLD NXOH -DNLH MHVW SUDZGRSRGRELHVWZR Z\FLJQL
FLD NXOL F]DUQHM Z
WU]HFLP FLJQLHQLX MHOL Z Z\QLNX GZyFK SLHUZV]\FK FLJQLH X]\VNDOLP\ GZLH NXOH
czarne?
(A)
0.8
(B)
0.7
(C)
0.6
(D)
0.5
(E)
5
14
4
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5. àDFXFK 0DUNRZD PD SU]HVWU]H VWDQyZ {E1 , E 2 , E3 } L VWDá PDFLHU]
SUDZGRSRGRELH VWZ SU]HM ü
0 1 0
P = 1 0 0
 29 49 93 
: FKZLOL SRF] WNRZHM MHVWH P\ Z VWDQLH
E3 3UDZGRSRGRELHVWZR SU]HE\ZDQLD Z
stanie E1 SR GZXVWX NURNDFK ] GREU\P SU]\EOL*HQLHP Z\QRVL
8
(A)
12
(B)
7
12
(C)
6
12
(D)
5
12
(E)
4
12
5
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. 6WXGHQFL QD HJ]DPLQLH XVWQ\P RWU]\PXM S\WDQLD QD NWyUH PRJ XG]LHOLü
RGSRZLHG]L SRSUDZQHM EG( IDáV]\ZHM QLH PD RFHQ SRUHGQLFK =ELyU PR*OLZ\FK
S\WD MHVW QLHVNRF]RQ\ (J]DPLQ SU]HELHJD Z VSRVyE VHNZHQF\MQ\ QDMSLHUZ VWXGHQW
otrzymuje dwa losowo wybrane pytania, po czym:
1. Z SU]\SDGNX REX SRSUDZQ\FK RGSRZLHG]L HJ]DPLQ NRF]\ VL
] Z\QLNLHP
pozytywnym,
2. Z SU]\SDGNX REX IDáV]\Z\FK RGSRZLHG]L HJ]DPLQ NRF]\ VL
] Z\QLNLHP
negatywnym,
3. Z SR]RVWDá\FK SU]\SDGNDFK VWXGHQW RWU]\PXMH QDVW
SQH GZD ORVRZR Z\EUDQH
pytania, po czym wracamy do punktu 1.
-HGQ\P VáRZHP HJ]DPLQ NRF]\ VL
Z PRPHQFLH NLHG\ SR UD] SLHUZV]\ Uy*QLFD LORFL
SRSUDZQ\FK L IDáV]\Z\FK RGSRZLHG]L RVLJQLH ]GDá OXE ± REODá
6WXGHQW XF]F VL
GR HJ]DPLQX RVLJD VWRSQLRZR FRUD] Z\*V]\ SR]LRP
SUDZGRSRGRELHVWZD
p udzielenia poprawnej odpowiedzi na losowo wybrane pytanie.
Przy jakim poziomie parametru p VWXGHQW SRZLQLHQ SU]HUZDü QDXN
MHOL MHJR FHOHP
MHVW ]DSHZQLHQLH MDN QDMQL*V]\P QDNáDGHP Z\VLáNX SUDZGRSRGRELHVWZD ]GDQLD
egzaminu równego 0.8?
(A)
10
12
(B)
9
12
(C)
8
12
(D)
7
12
(E)
6
12
6
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. Niech X 1 , X 2 ,
, X
n E
G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R
RF]HNLZDQ ]HUR L ZDULDQFM MHGHQ L
LGHQW\F]Q\P UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P ] ZDUWR FL
niech:
2
S = (X 1 + + X n ) .
Wariancja zmiennej S wynosi:
(A)
3n ⋅ (n − 1)
(B)
2n
(C)
2n 2
(D)
2n 4
(E)
3n 2
7
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. 2EVHUZXMHP\ ]PLHQQ y t oraz zmienne [xt ,1 ,
macierzowej zapisujemy:
 x1,1
x1, K 
 y1 




oraz
X =
y= 
.
 xT ,1
 y T 
xT , K 
, x
t ,K
], co w postaci
=DNáDGDP\ L* U]G PDFLHU]\
X wynosi K D U]G PDFLHU]\ UR]V]HU]RQHM [y X ] wynosi
K + 1 RUD] L* LORü REVHUZDFML T > K + 1 .
 β1 
Niech β =   R]QDF]D KLSRWHW\F]Q\ ZHNWRU ZVSyáF]\QQLNyZ UHJUHVML OLQLRZHM RUD]
 β K 
niech:
b = (X ' X )X ' y
R]QDF]D MHJR HVW\PDWRU X]\VNDQ\ ]Z\Ná PHWRG QDMPQLHMV]\FK NZDGUDWyZ
Niech teraz:
e = y − Xb
E
G]LH ZHNWRUHP UHV]W
:DUXQNLHP NRQLHF]Q\P L Z\VWDUF]DMF\P NWyU\ WU]HED GRáF]\ü GR ZF]HQLHM
SU]\M
W\FK ]DáR*H QD WR DE\ VXPD UHV]W E\áD ]HUR MHVW
(A)
macierz X ]DZLHUD NROXPQ
MHG\QHN
(B)
istnieje taka kombinacja liniowa kolumn macierzy X, która równa jest
wektorowi jedynek;
(C)
wszystkie elementy wektora y V równe (nawzajem);
(D)
VXPD UHV]W E
G]LH ]HURwa
(E)
SU]\ SU]\M
W\FK ]DáR*HQLDFK VXPD UHV]W QLJG\ QLH E
G]LH ]HURZD
bez dodatkowych warunków;
8
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Niech N 1 , N 2 ,
, N
n E
G]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX 3RLVVRQD R
n
ZDUWR FL RF]HNLZDQHM
λ , i niech N = ∑ N i
E G]LH
UHGQL ] WHM SUyE\
i =1
'OD MDNLHM ZDUWR FL
C estymator parametru e − λ postaci:
CN
*RQ\P"
E G]LH HVW\PDWRUHP QLHREFL
n +1
(A)
 n 


 n + 1
 n + 1


 n 
n
(B)
 n −1


 n 
n −1
(C)
n
(D)
 n −1 


 n 
n
(E)
 n 


 n + 1
9
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. 3URFHV SRMDZLDQLD VL
V]NyG MHVW SURFHVHP Poissonowskim z parametrem
LQWHQV\ZQRFL λ W]Q SUDZGRSRGRELHVWZR SRMDZLHQLD VL
n szkód na odcinku czasu
(0, T ] jest równe:
(λ ⋅ T )n
⋅ e −λ ⋅T .
n!
Obserwujemy proces od momentu 0. Niech T1 , T2 , T3 ,
R]QDF]DM
PRPHQW\
NROHMQ\FK V]NyG 8VWDODP\ ] JyU\ OLF]E
n WDN *H REVHUZDFM
SURFHVX
przerwiemy w momencie Tn SRMDZLHQLD VL
n-tej szkody.
SRMDZLDQLD VL
'OD MDNLHM ZDUWR FL
C estymator parametru λ postaci:
C
Tn
*RQ\P"
E G]LH HVW\PDWRUHP QLHREFL
(A)
n + 12
(B)
n
(C)
n − 12
(D)
n −1
(E)
n − 32 *
n >1
*
n >1
SU]\ F]\P QDOH \ XVWDOLü
SU]\ F]\P QDOH \ XVWDOLü
10
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
30.05.1998 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 30 maja 1998 r.
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
Arkusz odpowiedzi*
,PL
L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=, Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
(
2GSRZLHG
Punktacja♦
E
D
C
A
B
C
C
B
D
D
Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
2FHQLDQH V
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD
11