Ćwiczenia z podstaw optymalizacji

1
=DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWRFLIXQNFMLZLHOX
]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLORFLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ
–UyZQDOXE
QLHUyZQRFLQRVLQD]Z
]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD
matematycznego.
=DGDQLHWRPR*QDVIRUPXáRZDüQDVW
SXMFR
=QDOH(üHNVWUHPXPIXQNFMLZLHOX]PLHQQ\FKQD]\ZDQHMIXQNFMFHOX
)
Z = F ( x1 , x 2 ,... xn )
VSHáQLDMFMHGQRF]HQLHRJUDQLF]HQLD
UyZQRFL
f i ( x1 , x2 ,... x n ) = bi ,
i=1.2...m,
LQLHUyZQRFL
f j ( x1 , x2 ,... x n ) ≤ b j ,
j=1.2...k.
Zmienne xiQD]\ZDQHVzmiennymi decyzyjnymi ( lub projektowymi).
-H*HOLIXQNFMDFHOXLRJUDQLF]HQLDVIXQNFMDPLOLQLRZ\PLWRPyZLP\RSURJUDPRZDQLX
liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.
ZQDQ\FKMHVWZLHOHPHWRGUR]ZL]\ZDQLDW\FK]DJDGQLH6]F]HJyOQH]QDF]HQLHPDMPHWRG\
QXPHU\F]QHSR]ZDODMFHQD]QDOH]LHQLHSRV]XNLZDQHJRHNVWUHPXP]ZL
NV]OXEPQLHMV]
GRNáDGQRFL
6]XNDQLHHNVWUHPXPIXQNFMLPR*QD]DZV]HSU]HGVWDZLüMDNRSUREOHPPL
nimalizacji.
3RV]XNLZDQLHPDNVLPXPPR*HP\]DVWSLüSRV]XNLZDQLHPPLQLPXPIXQNFMLSRPQR*RQHM
przez –1.
0LQLPDOL]DFMDIXQNFMLSU]\EUDNXRJUDQLF]H
:L
NV]RüDOJRU\WPyZUR]ZL]XMF\FKSUREOHPPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLWRDOJRU\WP\
iteracyjne.
xoDQDVW
SQLHZNROHMQ\FKNURNDFK
k+1
LWHUDF\MQ\FKWZRU]\VL
FLJUR]ZL]Dx WDNLFK*HSXQNWx
MHVWOHSV]\PSU]\EOL*HQLHP
k
UR]ZL]DQLDRSW\PDOQHJRZSRUyZQDQLX]UR]ZL]DQLHPx
:\PDJDMRQHRNUHOHQLDSXQNWXVWDUWRZHJR
k
2]QDF]DWR*H]DFKRG]L
F ( x k +1) ) < F ( x ( k ) ).
1DMF]
FLHMVWRVRZDQHPHWRG\PLQLPDOL]DFMLSROHJDMQDSU]HV]XNLZDQLXSU]HVWU]HQL
]PLHQQ\FKSURMHNWRZDQLDZ]GáX*SHZQ\FKSURVW\FK]ZDQ\FKNLHUXQNDPLSRV]XNLZD
1RZHSU]\EOL*HQLHSRV]XNLZDQHJRSXQNWXUR]ZL]DQLDRWU]\P\ZDQHMHVW]JRGQLH]
]DOH*QRFL
x ( k +1) = x ( k ) + α ( k ) s ( k ) ( x ( k ) ),
gdzie: wektor sR]QDF]DNLHUXQHNSRV]XNLZD]DαZLHONRüNURNXZW\PNLHUXQNX
2F]\ZLFLHNLHUXQHNsPXVLZ\]QDF]DüNLHUXQHN]PQLHMV]DQLDVL
IXQNFMLFHOXZSU]HVWU]HQL
projektowania.
-H*HOLIXQNFMDFHOXMHVWUy*QLF]NRZDOQDZDUXQHNWHQPR*QD]DSLVDüZSRVWDFL
s ( k ) ∇F ( x ( k ) ) < 0,
2
.D*G\]LWHUDF\MQ\FKNURNyZ]DZLHUDGZDHWDS\:SLHUZV]\P]RVWDMHZ\]QDF]RQ\NLHUXQHN
s (k ) w punkcie x (k ) ]DZHWDSLHGUXJLPRNUHODVL
ZLHONRüNURNX α (k ) na
( k +1)
SRGVWDZLHNWyUHJRZ\]QDF]DVL
QRZ\SXQNW x
:LHONRüNURNXPR*HE\üSU]\M
WD
SRV]XNLZD
DUELWUDOQLHOXEWH*MHVWZ\]QDF]RQDQDGURG]HPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLZ]GáX*NLHUXQNX
s (k ) :SURZDG(P\IXQNFM
SDUDPHWUXα
Φ (α ) = F ( x ( k ) + αs ( k ) ) 2SW\PDOQDGáXJRüNURNXWRWDNDGODNWyUHMVSHáQLRQ\MHVWZDUXQHN
F ( x k +1) ) = m i nF ( x ( k ) + αs ( k ) ) = m i nΦ (α )
SRV]XNLZD
α
α
dΦ
=0.
dα
àDWZRPR*QDZ\ND]Dü*HSU]\UyZQDQLHGR]HUDSRFKRGQHMIXQNFMLΦ po parametrze α jest
(k )
UyZQRZD*QHUyZQDQLX s
∇F ( x ( k +1) ) = 0, FRR]QDF]D*HZSXQNFLHx k+1 wektor wzrostu
∇F (x ( k +1) ) MHVWSURVWRSDGá\GRNLHUXQNXSRV]XNLZD
Oznaczmy gradient funkcji celu przez wektor q3RQL*HMSU]HGVWDZLRQDMHVWLOXVWUDFMD
=DWHPZND*G\PNURNXLWHUDF\MQ\PPHWRGDZ\PDJDUR]ZL]DQLDUyZQDQLD
]EOL*DQLDVL
GRPLQLPXPIXQNFMLFHOXPHWRGQDMV]\EV]HJRVSDGNX.U]\ZHSU]HGVWDZLDM
warstwice funkcji celu .
xk
-qk+1
-qk
xk+1
sk
3RGVWDZRZPHWRGSRV]XNLZDQLDPLQLPXPIXQNFMLEH]RJUDQLF]HMHVWPHWRGD
QDMV]\EV]HJRVSDGNXZNWyUHM]DNLHUXQHNSRV]XNLZDSU]\MPXMHVL
XMHPQ\ZHNWRU
gradientu minimalizowanej funkcji.
s ( k ) = −∇F ( x ( k ) ),
-HVWRF]\ZLVWH*HNROHMQHNLHUXQNLSRV]XNLZDZPHWRG]LHQDMZL
NV]HJRVSDGNXVGRVLHELH
proVWRSDGáH*HQHURZDQHZF]DVLHSU]HELHJXDOJRU\WPXNLHUXQNLSRV]XNLZDPDMFKDUDNWHU
Ä]\J]DNRZDW\´FRVWDQRZLSRGVWDZRZZDG
WHMPHWRG\,QQH]QDQHPHWRG\1HZWRQD
JUDGLHQWXVSU]
*RQHJRLWSZUy*Q\VSRVyEOLNZLGRZDá\W
ZDG
]PQLHMV]DMFV]\ENRü
zbLH*QRFL
3
Minimalizacja funkcji z ograniczeniami
:Z\SDGNXZ\VW
SRZDQLDRJUDQLF]HZSRVWDFLQLHUyZQRFLLUyZQDNWyUHPDMDVSHáQLDü
zmienne projektowe ( zmienne decyzyjne) mamy odczynienia z zadaniem optymalizacji z
ograniczeniami.
Obszar wSU]HVWU]HQL]PLHQQ\FKSURMHNWRZ\FKMHVWRJUDQLF]RQ\SU]H]SáDV]F]\]Q\Z
Z\SDGNXRJUDQLF]HOLQLRZ\FKOXESRZLHU]FKQLHZZ\SDGNXRJUDQLF]HQLHOLQLRZ\FK
:\]QDF]HQLHPLQLPXP]]DJDGQLHQLXZRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPLPR*QD
SU]HSURZDG]LüQDZLHOHVSRVREyZ2JUDQLF]P\VL
GRRSLVDQLDWU]HFK
1. Pierwszym sposobem jest sprowadzenie problemu z ograniczeniami do problemu bez
RJUDQLF]HSU]H]WUDQVIRUPDFMH]PLHQQ\FKQLH]DOH*Q\FKGHF\]\MQ\FKSURMHNWRZ\FK
Metoda ta jest zwykle stosowana tylko do przypadkóZJG\]PLHQQHQLH]DOH*QHV
RJUDQLF]RQH]JyU\L]GRáXSU]H]VWDáHZDUWRFLOLF]ERZH
3U]\NáDGRZRMH*HOLRJUDQLF]HQLHPDSRVWDü
li ≤ xi ≤ pi
_
to po wprowadzeniu nowych zmiennych x :
_
xi = li + ( pi − l i ) sin 2 x i .
_
otrzymamy zagadnienie optymalizacji funkcji celu dla zmiennych x EH]RJUDQLF]H
2.
'UXJLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDIXQNFMLFHOXSU]H]ZSURZDG]HQLHGRQLHMZ\UD*HQLD
UHSUH]HQWXMFHJRNDU
]SU]HNURF]HQLHRJUDQLF]H1DVW
SQLHGRWDN]PLHQLRQHMIXQ
kcji
VWRVXMHP\MHGQ]PHWRGSRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPEH]RJUDQLF]H0R*QDZ\ND]Dü*H
FLJUR]ZL]D]DJDGQLHQLDEH]RJUDQLF]HGODFLJXÄFRUD]PRFQLHMV]\FK´IXQNFMLNDU\
MHVW]ELH*Q\GRUR]ZL]DQLD]DJDGQLHQLDRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPL
b(x)
b2(x)
b1(x)
bo(x)
x
Xo- Obszar
rozwi]D
dopuszczalnych
IlustracMD]DVDG\WZRU]HQLDFLJX]HZQ
WU]Q\FKIXQNFMLNDU\
3.
7U]HFLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]HEG(
SU]H]JHQHURZDQLHNLHUXQNXGRSXV]F]DOQHJRDQDVW
SQLHSRV]XNLZDZREV]DU]H
GRSXV]F]DOQ\PZ]GáX*WHJRNLHUXQNXEG(WH*
przez rzutowanie kierunku gradientu na
SRZLHU]FKQL
VW\F]QGRRJUDQLF]H
,VWQLHMRF]\ZLFLHLQQHPHWRG\SRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPWXQLHZ\PLHQLRQH
4
3U]\NáDGSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJR
3U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM
]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sá
yt
SRGáRJRZ\FK
2E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLORFLGRVW
SQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFK
surowców jak woda piasek, cement.
7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLORüEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH
=DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLORüEDUZQLNDUyZQOGRVW
SQLORüF]DVXSUDF\
PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQLF]DVXSUDF\OXG]LRNUHORQQDJRG]LQ\
:LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,NRORURZ\FKZ\PDJD
2 godzin pracy maszyn , 3 godzin pracy ludzkiej i 2 litrów barwnika.
WypURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW
1 godzin pracy maszyn i 3 godzin pracy ludzkiej.
=\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á
,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
ZLHONRFLGRVW
SQH
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1
2
3
2
3
x2
1
3
0
2
10
24
8
6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM=QDOH(üPDNVLPXPIXQNFMLOLQLRZHM
Z = 3x1 + 2 x2
przy ograniczeniach :
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,
2 x1 + x 2 ≤ 10
3x1 + 3 x 2 ≤ 24
2 x1 ≤ 8
REV]DUUR]ZL]D
x2
dopuszczalnych
x1
5
x2
x1
/LQLHSU]HU\ZDQHWRZDUVWZLFHIXQNFML]\VNXRGSRZLHGQLRRSR]LRPLH]\VNXL]á
3URVWDQDMGDOHMRGOHJáDRGSRF]WNXXNáDGXZVSyáU]
GQ\FKSU]HGVWDZLDMFDZDUVWZLF
IXQNFML
]\VNX=
3URVWDWDVW\NDVL
W\ONRZMHGQ\PSXQNFLH]REV]DUHPUR]ZL]D
GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNWRZVSyáU]
GQ\FK[
L[
2]QDF]DWR*HRWU]\PDOLP\
JUDILF]QHUR]ZL]DQLH]DGDQLDRSW\PDOL]DFML
5R]ZL]DQLH
ZLHONRFL
ZLHONRFL
skáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
GRVW
SQH
wykorzystane
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1=2
2*2=4
3*2=6
2*2=4
3*2=6
x2=6
1*6=6
3*6=18
0
2*6=12
10
24
8
10
24
4
18
produkt
.RORUHPF]HUZRQ\PZ\Uy*QLRQRRJUDQLF]HQLDDNW\ZQH
:HNWRUSURVWRSDGá\GROLQLLZDUVWZLFMHVWZHNWRUHPQDMV]\EV]HJRZ]URVWXIXQNFMLFHOX
Jest on równy gradientowi funkcji celu.
∇F = [∂F / ∂x1 , ∂F / ∂x 2 ] = [3,2],
3U]HGVWDZP\SRQRZQLHUR]ZL]DQLHPHWRGWHJR]DGDQLDW\PUD]HPPHWRG
PRG\ILNDFMLNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]H
$OJRU\WPGRFKRG]HQLDGRUR]ZL]DQLDMHVWQDVW
SXMF\
.
6
1.
:\ELHUDP\GRZROQHZDUWRFL]PLHQQ\FKVSHáQLDMF\FKZDUXQNLRJUDQLF]DMF:
LQWHUSUHWDFMLJUDILF]QHMR]QDF]DWR*HZ\ELHUDP\SHZLHQVWDUWRZ\SXQNWOH*F\Z
REV]DU]HUR]ZL]D
2.
dopuszczalnych.
6]XNDP\QDVW
SQLHOHSV]HJRUR]ZL]DQLD/HSV]HUR]ZL]DQLHE
G]LHOH*DáRZNLHUXQNX
najszybszego wzrostu funkcji celu. Kierunek najszybszego wzrostu funkcji celu wyznacza
wektor gradientu. W przypadku liniowej funkcji celu ( wykres jej jeVWSáDV]F]\]Q
QDVW
SQ\SXQNWZSU]HVWU]HQL]PLHQQ\FKGDMF\QDMZL
NV]ZDUWRüIXQNFMLFHOXE
G]LH
VL
]QDMGRZDáPR*OLZLHQDMGDOHMRGVWDUWRZHJRDOHQLHGDOHMQL*SR]ZROQDWR
ograniczenia.
3.
.ROHMQ\SXQNWE
G]LHSRV]XNLZDQ\Z]GáX*JUDQLF\REV]DUXUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKZ
kierunku wzrostu funkcji celu.
2SLVPHWRG\UR]ZL]DQLD]DGDQLD
2 x1 + x 2 ≤ 10
3x1 + 3 x 2 ≤ 24
2 x1 ≤ 8
3U]\MPLMP\SXQNWVWDUWRZ\OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK
QS$RZVSyáU]
G
{x 0 }= {3,0}
nych 3, 0
wektor gradientu funkcji celu wynosi:
{gradF ( x )}= {3,2}
Szukamy nowego punktu w kierunku najszybszego wzrostu funkcji celu.
:VSyáU]
GQHQRZHJRSXQNWXZ\QRV]
{x 1 }= 
3
 3
+ λ 

0
2
7
gdzie: λ oznacza nieznany parametr .
1RZ\SXQNWPXVLOH*HüZ]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKFRR]QDF]D*HVSHáQLRQHPXV]
E\üZV]\VWNLHQLHUyZQRFLRJUDQLF]DMFH
3RGVWDZLDMFNROHMQRZVSyáU]
GQHQRZHJRSXQNW\GRQLHUyZQRFLRJUDQLF]DMF\FK
RWU]\PDP\Uy*QHZDUWRFLRJUDQLF]DMFHS
arametr λ.
 2 1
10 
 3 3{x , x } ≤ 24

 1 2  
2 0
 8 
λ ≤ 1,
λ≤1
2
λ≤1
3
'ODQDMPQLHMV]HMZDUWRFLSDUDPHWUX
λQRZ\SXQNWOH*\QDEU]HJX]ELRUXUR]ZL]D
GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNW%RZVSyáU]
GQ\FK3R]RVWDá\PGZyPRJUDQLF]HQLRP
SDUDPHWUXRGSRZLDGDMSXQNW\&L'OH*FHQDSRZLHU]FKQLDFKRJUDQLF]HDNWXDOQLHQLH
aktywnych.
1DVW
SQ\PNURNLHPMHVWZ\]QDF]HQLHQRZHJRNLHUXQNXSRV]XNLZD1RZ\NLHUXQHN
Z\ELHUDP\]HZV]\VWNLFKNLHUXQNyZOH*F\FKQDDNW\ZQ\PRJUD
SU]\NáDG]LHQDSURVWHMRUyZQDQLX[1
niczeniu ( w naszym
L]DSHZQLDMF\FKQDMV]\EV]\Z]URVW1DMV]\EV]\
Z]URVW]DSHZQLNLHUXQHNNWyUHJRZHNWRUDRQDMZL
NV]\PLORF]\QLHVNDODUQ\P]ZHNWRUHP
gradientu funkcji celu.
0R*HP\UR]SDWU]\üGZDZHNWRU\OH*FHQD
{r1 } = {0,1}
{r 2}= {0,−1}
prostej x1=8
LORF]\Q\VNDODUQHZ\QRV]RGSRZLHGQLR
{gradF ( x )}
0
0
= {3,2}  = 2

1 
1 
0
0
i {gradF ( x )}  = {3,2}  = −2
1 
 − 1
:áDFLZ\PNLHUXQNLHPMHVWZL
FZHNWRU
{r1 } = {0,1}
'DOHMZ\]QDF]DP\GáXJRüNURNXRNUHODMF
parametr λ podobnie jak poprzednio.
1RZHSRáR*HQLHSXQNWXRNUHODUyZQDQLH
4
0
 + λ 
1 
 3
{x 2 }=  2
:VSyáU]
GQHSXQNWXSRGVWDZLDP\GRRJUDQLF]HLZ\]QDF]DP\SDUDPHWU
Otrzymujemy λ= 10/3 dla ograniczenia 3x1+3x2=24
λ= 4/3 dla ograniczenia 2x1+x2=10.
i
λ.
0QLHMV]DZDUWRüSDUDPHWUXGDMHSXQNW&OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK
:NROHMQ\PNURNXSRV]XNXMHP\NLHUXQNXOH*FHJRQDQRZ\PRJUDQLF]HQLXDNW\ZQ\P
2x1+x2=10.
3RVW
SXMFDQDORJLF]QLHMDNSRSU]HGQLRGRFKRG]LP\GRSXQNWX*
.D*G\ZHNWRUMHGQRVWNRZ\Z\VWDZLRQ\ZSXQNFLH*QLHOH*F\QD]HZQWU]]ELRUX
UR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKSRPQR*RQ\VNDODUQLH]JUDGLHQWHPIXQNFMLFHOXGDMHZDUWRü
XMHPQ2]QDF]DWRND*GHSU]HVXQL
FLHZREV]DU]HGRSXV]F]DOQ\PZ\ZRáD]PQLHMV]HQLH
ZDUWRFLIXQNFMLFHOX3XQNW*MHVWZLHFUR]ZL]DQLHP]DGDQLDPDNV\PDOL]DFML]
ograniczeniami.
8
Zadanie 1
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM
([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
min f ( x ) = x12 − x1 + x22 −
x2
,
2
przy ograniczeniach:
g1 ( x ) = x1 + x2 − 1 ≤ 0,
g 2 ( x ) = − x1 ≤ 0,
g 3 ( x ) = − x2 ≤ 0.
6SRVyEUR]ZL]DQLD
ƒ
ƒ
Otwórz arkusz Excel
Zapisz w odpowiednich komórkach:
A
1
2
3
4
5
6
7
Z=
x1
x2
g1
g2
g3
B
=B2^2-B2+B3^2-0.5*B3
0
1
=B2+B3-1
=-B2
=-B3
C
D
0
0
0
:NRPyUNDFK%L%ZSLVDQRSXQNW\VWDUWRZH0RJE\üGRZROQHDOHPXV]QDOH*HüGR
]ELRUXUR]ZL]DGRSXV
zczalny
W komórce B1 jest zapisana funkcja celu.
:NRPyUNDFK%%%]DSLVDQHVOHZHVWURQ\QLHUyZQRFLRJUDQLF]DMF\FK
:NRPyUNDFK&&&]DSLVDQHVVWURQ\SUDZH
ƒ=PHQX1DU]
G]LDZ\ELHU]6ROYHU
Wybierz zadanie minimum
ƒZVND*NROHMQRX*\ZDMc lewego klawisza myszy :
ƒ
ƒNRPyUN
]IXQNFMFHOX
komórki ze zmiennymi ( pozwól niech program je sam odgadnie)
ƒ
ƒGRGDMNROHMQRRJUDQLF]HQLDZVND]XMFRGSRZLHGQLHNRPyUNL
ƒ1DFLQLM5R]ZL*
ƒ:\ELHU]5DSRUWZ\QLNyZLZFLQLM2.
ƒ
Przeanalizuj wyniki, obejrzyj Raport wyników
ƒ:\NRQDMV]NLFZXNáDG]LHZVSyáU]
GQ\FK[[QDU\VXMRJUDQLF]HQLDLSXQNW
UR]ZL]XMFH]DGDQLH
9
Zadanie 2
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM
([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
min f ( x ) = −3x1 − 2 x2 ,
przy ograniczeniach:
g1 (x ) = 2 x1 + x2 − 3 ≤ 0,
g 2 ( x ) = x1 + x 2 − 2 ≤ 0,
g 3 ( x ) = − x1 ≤ 0.
g 4 ( x ) = − x2 ≤ 0.
Zadanie 3
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM
([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
min f ( x ) = ( x1 − 2) 2 + ( x 2 − 1) 2 ,
przy ograniczeniach:
g 1 ( x ) = x 12 − x 2 ≤ 0 ,
g 2 ( x ) = x1 + x2 − 2 ≤ 0,
Zadanie 4
:\NRU]\VWXMFSU]\NáDGRZH]DGDQLHSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJRRSLVDQHQL*HMRNUHOIXQNFM
celu iZDUXQNLRJUDQLF]DMFHDQDVW
SQLHUR]ZL*X*\ZDMFDSOLNDFML([FHO]DGDQLDSRGREQH
GRSU]\NáDGRZHJRRGDQ\FK]DSLVDQ\FKZWU]HFKtabelach pod rysunkiem.
]DGDQLHSU]\NáDGRZH
3U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM
]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sá\WSRGáRJ
owych.
2E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLORFLGRVW
SQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFKVXURZFyZMDNZRGDSLDVHNFHPHQW
7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLORüEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH
=DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLORüEDUZQLNDUyZQOGRVW
SQLORüF]DVXSUDF\PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQL
F]DVXSUDF\OXG]LRNUHORQQDJRG]LQ\
:LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,NRORURZ\FKZ\PDJD
2 godzin pracy maszyn , 3 godzin pracy ludzkiej i 2 litrów barwnika.
WyprodukowanLHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW
1 godzin pracy maszyn i 3 godzin pracy ludzkiej.
=\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á
,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
ZLHONRFLGRVW
SQH
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1
2
3
2
3
x2
1
3
0
2
10
24
8
6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM=QDOH (üPDNVLPXPIXQNFMLOLQLRZHM
Z = 3x1 + 2 x2
10
przy ograniczeniach :
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,
2 x1 + x 2 ≤ 10
3x1 + 3 x 2 ≤ 24
2 x1 ≤ 8
REV]DUUR]ZL]D
x2
dopuszczalnych
x1
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
ZLHONRFLGRVW
SQH
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1
2
3
2
3
x2
1
3
0
2
10
24
8
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
ZLHONRFLGRVW
SQH
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1
2
3
2
3
x2
2
3
0
2
10
24
8
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
Sá\W\W\S,,
ZLHONRFLGRVW
SQH
maszyny
praca ludzka
barwnik
zysk
x1
2
4
2
3
x2
1
3
0
2
10
24
8
produkt
produkt