Różne podejścia do rozwiązywania problemu

Różne
podejścia
do
rozwiązywa nia
informatycznego było na metodyce 2
problemu
matematycznego
i
Heureza
Metoda nauczania polegająca na naprowadzaniu ucznia na właściwy tok
rozumowania. Wykonywanie różnych czynności, wskazywanie, uczniowi jak pow inien
rozumować, jak pow inien ten problem rozwiązać. Najczęściej heureza wiąże się z metodą
pytań naprowadzających, ALE NIE ZAWSZE, HEUREZA NIE JEST ROŻSAMA Z METODĄ
PYTAŃ NAPROWADZAJĄCYCH. Heurezę może też stanowić odesłanie do podręcznika, czyli
wskazanie przykładu analogicznego. Pewną nam iastką heurezy, jej symbolem, może być
specjalny rodzaj zadań maturalnych – gdzie jest pokazany sposób rozwiązania jednego
zadania a potem prośba by rozwiązać analogicznie inne zadanie. Nie jest to t ypowa
heureza bo to nie jest naprowadzanie tylko narzucenie sposobu rozwiązania. Po prostu
chodzi o to by uczniow i wyjaśnić, naprowadzić go, a nie narzucać, to nie jest do końca to
samo, bo jak my go naprowadzimy, ale on rozwiąże to i tak po swojemu to jest dobrze,
podczas gdy na maturze ma narzucone i nie ma wyjścia, musi rozwiązać to analogicznie i
koniec. Heureza to też np. podejście ‘narysuj przy kład tej funkcji’, to przecież nie jest
pytanie naprowadzające, ale jednak jest to heureza. Pam iętajmy, ze trzeba uważać, by
nie w paść w pułapkę pytań w serii czyli by nie zadawać uczniowi kilkudziesięciu pytań na
minutę.
Pytania naprowadzające
Pytaniam i wskazujemy kierunek myślenia ucznia. Np. mamy napisać tekst w
Wordzie w dwóch kolum nach. Ta opcja jednak ma swoje zalety i wady. Powiedzmy, że
każemy uczniom zapisać w trzech kolum nach, ale nie równo rozmieszczone, tylko każda
ma żyć swoim życiem typu jedna dłuższa inna krótsza itp. Np. w kolum nach możemy
chcieć w kolumnach zapisać definicje funkcji rosnącej itp. I chcemy by w każdej kolum nie
była po jednej definicji. Uczeń zwykle nie wie jak to zrobić. Pytamy wiec ucznia, jaka
sytuacja zmusza Cię do pisania w kolum nach itp. I chodzi o to by uczeń zorientował się,
że chodzi o tabele, ale wtedy mamy krawędzie tabeli i znów pytamy co zrobić, by tych
krawędzi nie było widać. Wtedy ładnie możemy w konkretnej kolum nie dokonywać zmian
itp.
3 podstawowe rodzaje rozwiązań problemów matematy czny ch
- rozwiązania algorytmiczne
Zaletą ich jest fakt, że są to rozwiązania efektywne, jednoznaczne, a w adą jest
dość wąski zakres zastosowań, bo jednak jak mamy metodę Sar ussa obliczania
wyznacznika trzeciego stopnia, to ona się tyczy tylko tego, już nie rozwiążemy tą metodą
wyznacznika innego stopnia. Metody te podchodzenia do zadań są dość ważne, czasami
wręcz budujemy sam i algorytm dla konkretnej sytuacji. Czasami mamy zespół kilku
algorytmów, które służą nam do rozwiązania danego problem u i to nim i się
posługujemy,. Niekiedy jednak algorytm nie jest wcale najbardziej ekonom iczny w
stosunku do rozwiązania. Wiemy, że jeśli mamy wyznacznik pewnego stopnia, to
korzystając z rozwinięcia Laplace’a to doprowadzimy wreszcie do wyznaczników niższego
stopnia, ale zabieg ten może być bardzo długi i zrobimy w nim masę błędów, dlatego jak
pokazujemy uczniom rozw iązania algorytmiczne to musimy od razu im też pokazać jaki
zakres ma ta metoda, jaka jest jej celowość, że nie zawsze jest idealna.
W przeszłości uważano, że korzystanie z metod algorytmicznych jest niekorzystne
i powstały całe opracowania które opisywały jak należy od tych metod odchodzić, ale w
praktyce nauczyciele i tak cały czas je stosowali. Obecnie zaś za sprawą kom puterów
metody algorytmiczne nabrały zupełnie nowego kształtu, bo gdy posługujemy się
komputerem to Ablom opieramy się na istniejącym już algorytmie, labo m usimy go sam i
zbudować, dlatego też umiejętność budowania algorytmu dla danej sytuacji jest w
obecnych czasach tak istotna. Algorytmy jednak mają swoje ograniczenia i m usimy sobie
zdawać z nich sprawę, dlatego tak ważna jest metoda czynnościo wa wprowadzania
algorytmu, nie posługiwania się nim, tylko wprowadzania. Znaczy to tyle, że jak mamy
algorytm to bardzo celowe jest zrobienie chociaż kilku kroków tego algorytmu ręcznie,
wtedy ujawnia się istota tego algorytmu.
- sposób podejścia do zada nia kona kty wny (metoda prób i błędów)
Pow inno się mówić metoda prób i poprawek, tak jest korzystniej, choć z tym
hasełkiem warto zachować ostrożność. Pytamy, czy w matematyce jest miejsce na tą
metodę, oczywiście ono jest i nie pow inniśmy się tego wstydzić. Często mamy
akadem ickie naleciałości, że pewne rzeczy od razu ogólnie dowodzimy, a w szkole to nie
jest korzystne, uczeń powinien móc się całemu zjaw isku troszeczkę przyjrzeć. Np. mamy
pewną funkcję i pytanie brzmi, czy jest to funkcja monotoniczna, a jeśli tak, to czy jest
rosnąca czy malejąca czy jaka,. Od razu w tym momencie staramy się uczyć uczniów
myślenia algebraicznego tego podejścia by zbadali x<y itp. Podczas gdy lepsze efekty
przynosi gdy uczniowie sobie najpierw popostawiają pod x różne warto ści i czy na tych
przykładach ich funkcja maleje czy też może rośnie,. Do tego doskonale może służyć
komputer czy kalkulator, za ich pomocą możemy to sprawdzać.
Sposób ten jest wykorzystywany przy szukaniu pierw iastków wielom ianu, gdy
staramy się chociaż jeden z tych pierwiastków znaleźć, odgadną i potem móc nasz
wielom ian podzielić przez x-ten pierwiastek i zobaczyć, co nam z tego powstanie.
Czasami ta metoda może prowadzić do pełnego rozwiązania.
Np. mamy sześcian i pow iedzmy, że wiemy, że jego objętość wynosi 7cm sześciennych.
Uczeń jak sobie zmierzy na rysunku ów sześcian to otrzyma jakąś wartość, powinien
otrzymać pierwiastek trzeciego stopnia z 7, a wiadomo, że na linijce nie ma tej liczby
zaznaczonej. Co wówczas robimy? Po kolei podstawiamy liczymy ile nam da 1^3 ile
2^3=8>7 i stąd w idzimy, że leży m iędzy 1 a 2, potem bierzemy przybliżenia np. 1,5 i
podnosimy do potęgi trzeciej za pom ocą kalkulatora i patrzymy ile nam wy jdzie i tak
dalej. Pytanie też brzmi do którego miejsca po przecinku jest sens sprawdzać.
Metoda ta dotyczy też sytuacji, gdy mamy dw ie metody działania i nie wiemy,
którą z nich zastosować, najprostszy przykład to granica ciągu i zastanawiamy się czy
łatwiej to pójdzie z Cauchy’ego czy z Heinego i spraw dzamy trochę tej, trochę drugiej i
patrzymy która wydaje się lepsza, czasami już za drugą nie musimy się brać.
Ważne jest, by dla nauczycieli ta metoda prób i błędów by ła czymś naturalnym, bo
to jest naturalne tak naprawdę. Wiadomo, że rozumowanie algebra iczne jest ładniejsze,
ale zanim do niego dojdziemy, to trzeba się temu przyjrzeć. Czasami ta metoda jest
idealna do zilustrowania danego zagadnienia, by zobaczyć, co dana rzecz oznacza, jak
dane zadanie interpretować. Pośrodku zaś między rozwiązaniem algebraicznym i
konaktywnym jest:
- Metoda Heurystyczna
Podejście, które czasami korzysta z obu wcześniej omówionych metod. Gdy mamy
jakieś rozważanie teoretyczne, to na zasadzie intuicji matematycznej możemy np. wziąć
konkretną rzecz zamiast na ogólnych i patrzymy jak ta sprawa wygląda z punktu
widzenia mojego konkretnego przykładu. Np. mamy funkcję ciągłą R -> R i monotoniczną
i pytamy, czy prawdziwe jest zdanie: Dla każdego alfa f ^-1(alfa) jest spójny. Odpow iedź
jest, ze ten zbiór jest prawdziwy i pytamy, jak zabrać się za udowadnianie tego. Najlepiej
początek wziąć konkretną funkcję, narysować jej wykres i zastanowić się, z czego
wynika, że nasze przeciwobrazy zbiorów jednoelementowych (nasze poziomice, warstwy)
są zbioram i spójnym i, to będzie ta moja he ureza. Potem się zastanawiamy, co by było,
gdy funkcja była monotoniczna, ale nie była ciągła i co wtedy, jak zmienić nasze
rozważania. Wówczas znów lepiej narysować sobie jakąś konkretną funkcję monotoniczą
ale nie ciągłą. Wówczas zamiast jednoelementowyc h zbiorów bierzemy zbiory spójne,
wówczas przeciwobraz zbioru spójnego jest spójny. Ale nadal by na to odpowiedzieć,
musimy się temu przypatrzeć.
Pod heurystykę możemy tez podciągnąć moje w łasne metody sposoby
rozwiązywania problemów i wyróżniamy tu takie podpunkty jak:
Sposób re fle ksyjny zastanawiamy się, analizujemy dotychczasową wiedzę,
dotychczasowe nasze doświadczenia. Powinniśmy zachęcać uczniów heurezą refleksy jną
do analizowania pewnych rzeczy właśnie w ten sposób. Np. mówimy uczniom by rozłożyli
na czynniki (x-1)(x+1)(x+3)-3x-9 i pytamy najpierw co zrobić by rozłożyć na czynniki,
wówczas widzimy, że chodzi nam o to by z tego zapisu ostatniego uzyskać jakąś postać z
czynników które mamy wcześniej. Potem zastanawiamy się który z tych czynnikó w może
być dobry i dochodzimy do tego, ze należy myśleć o czynniku (x+3) . To jest ta
refleksyjna heureza. Inny jej przykład to problemy z kom binatoryką, jeśli w niej
przeprowadzimy refleksję w oparciu o algorytmikę to będzie łatwiej, to na początek. Czyli
najpierw zastanawiamy się ile elementów wybieramy, czy one się mogą powtarzać, czy
kolejność odgrywa rolę itp. To jest taka zalgorytmizowana refleksja to nie wystarczy, ale
to dobry początek, należy to z uczniami wprowadzać.
Sposób pragmaty czny czyli szukamy pew nych analogii postępowania, zajrzenie
do tego co w książce, do tego co robiliśmy na zajęciach, to spojrzenie na dany problem,
dane zadanie poprzez pryzmat zupełnie innego zadania, które już rozwiązaliśmy.
Trzeci sposób heurystyczny to sposób informaty czny. To sposób by wykorzystać
komputer by pewnym rzeczom się przyjrzeć, by zobaczyć jak dane twierdzenia
funkcjonują w różnych przypadkach, to nieco dotyka metody prób i błędów. To
zobrazowanie pew nych zagadnień matematycznych, geometrycznych, algebraicznych
metodą ustalenia, obejrzenia pewnych rzeczy czy zagadnień. Ta metoda heurezy jest na
tyle nowy, że nie ma jeszcze wyraźnych opracowań jak się nim posługiwać, nie ma
wyraźnych wskazówek jak najlepiej to działa. Jest za to w iele opracowań dotyczących
poszczególnych zagadnień, często one budzą w iele kontrowersji, czasami zastanawiamy
się, czy takie postępowanie na pewno jest słuszne. Szczególnie wiele można tutaj zrobić
w odniesieniu do geometrii, funkcji, lecz niesie to w sobie ogromne niebezpieczeństwo,
ponieważ do tej pory w zadaniach typu kom binatorycznego odpowiedzi można by ło
podawać liczbowo. Uczeń nie mógł przeliczyć wszystkich możliwych wariantów typu
permutacji, wariacji itp. By sprawdzić, czy taką liczbę otrzyma, podczas gdy obecnie w
dobie komputerów bardzo łatwo jest przećwiczyć wszystkie możliwości i zobaczyć, w
którym rozważaniu wyjdzie uczniowi wynik podany przez nauczyciela. Lecz heureza
informatyczna to jednak przyszłość naszych działań, miniaturyzacja komputerów
powoduje, że za parę lat każdy uczeń będzie miał kom puter przy sobie tak jak obecnie
każdy człowiek ma komórkę. To jest dla nas wyzwanie, jak to stosować, jak sobie z tym
wszystkim radzić. „Matematyka i Nauczyciele plus Technologia Informacyjna” – warto
sobie zajrzeć do tego pisemka, jest w nim wiele opisów casestudy – studium przypadków,
nie w iadomo wtedy jeszcze dlaczego coś takiego uzyskał, ale wiadomo, że dane zjawisko
zaistniało.