1 Elementy RLC w obwodach prądu przemiennego

1
1
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
Elementy RLC w obwodach prądu przemiennego
Obecnie w większości krajów świata stosuje się prąd przemienny (sinusoidalnie zmienny) do zaopatrywania odbiorców przemysłowych oraz indywidualnych w energię elektryczną. Cechą charakterystyczną prądu przemiennego jest jego dynamika zmian. Prąd zmienny wykazuje cechę zmienności parametrów w czasie (np. napięcie
i skojarzona z nim wartość prądu okresowo zmieniają swoje wartości). Prąd o charakterze przemiennym rozszerza tą właściwość o okresową zmianę kierunku przepływu. Przebiegi przemienne można wytwarzać z dobrą
powtarzalnością przy zastosowaniu generatorów mechano-elektrycznych. Dla zastosowań w gospodarce układy
generatorów mają postać potężnych bloków prądotwórczych napędzanych mechanicznie przez przepływ pary
(elektrociepłownie konwencjonalne oraz elektrownie atomowe) wiatru (elektrownie wiatrowe) bądź spiętrzonej
wody (elektrownie wodne). Moc sygnału sieci energetycznej jest rozprowadzana i transformowana w złożonych
układach topologicznych. Obecnie omówimy zachowanie się elementów indukcyjnych, pojemnościowych oraz
rezystancyjnych przy pobudzeniu prądem przemiennym. Dla zachowania wymogów bezpieczeństwa, jako źródło
pobudzenia stosować będziemy generator przebiegów sinusoidalnych wytwarzający bezpieczne wartości napięć
sygnału wyjściowego. Niemniej jednak własności elementów omawianych w bieżących ćwiczeniach mają swoje
odzwierciedlenie także przy pobudzaniu prądem przemiennym pochodzącym z gniazdka sieci energetycznej.
1.1
Krzywa ładowania/rozładowania pojemności
Pojemność elektryczna wyraża zdolność elementu do czasowego gromadzenia ładunku elektrycznego. Cecha
gromadzenia ładunków w materii jest powszechna i w wielu przypadkach niepożądana (mówimy wówczas o tzw.
pojemnościach pasożytniczych). Elementy elektryczne, w których zdolność magazynowania ładunku została
zwielokrotniona na potrzeby zastosowań technicznych nazywamy kondensatorami lub pojemnościami.
Rys. 1.1. Geometria kondensatora płaskiego (rysunek ze strony http://pclab.pl/art28768-6.html)
W ogólności model kondensatora stanowią dwie płytki (tzw. okładki) wykonane z elementów przewodzących
(zwykle metaliczne), pomiędzy które wtrącona jest substancja nie przewodząca (tzw. dielektryk). Pojemność
elektryczną takiego modelu kondensatora (rys. 1.1) wyraża wówczas wzór:
S
(1.1)
d
gdzie ε wyraża bezwzględną przenikalność elektryczną materiału dielektrycznego. W ujęciu zastosowań obwodowych pojemność elektryczna może być wyrażona jako stosunek ilości ładunku elektrycznego zgromadzonego
w elemencie do napięcia pomiędzy jego wyprowadzeniami
C=ε
C=
Q
U
c
Piotr Katarzyński 2011r.
(1.2)
1
1
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
w tym ujęciu jednostką pojemności elektrycznej jest Farrad 1F = 1C/1V . Jednostką krotności ładunku jest
Kulomb 1C o wymiarze 1C ≈ 6.24 · 1018 e przy czym e jest ładunkiem elementarnym pojedynczego elektronu.
Równanie 1.2 można przekształcić do postaci:
Q = CU
(1.3)
przy założeniu, że napięcie oraz ładunek mogę się zmieniać w czasie dokonujemy obustronnego zróżniczkowania
po czasie powyższej zależności.
dU
dQ
=C
(1.4)
dt
dt
zmiana ładunku w czasie ma wymiar natężenia prądu elektrycznego, stąd prąd płynący przez pojemność wyraża
się wzorem
duC (t)
(1.5)
iC (t) = C
dt
Obecnie rozważymy proces ładowania pojemności rozumiany jako akt gromadzenia ładunków elektrycznych
pochodzących ze źródła napięcia stałego E. Dla obwodu 1.2 można ułożyć bilans napięć zgodny z II Prawem
Kirchhoffa, który dla każdej wartości chwilowej napięć na rezystancji i pojemności będzie miał postać:
E = uR (t) + uc (t)
(1.6)
Wartość napięcia na rezystancji można wyrazić z prawa Ohma:
E = Ric (t) + uc (t)
(1.7)
podstawiając powyższą zależność różniczkową otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe z niewiadomą
funkcją napięcia na pojemności względem czasu:
E = RC
duC (t)
+ uc (t)
dt
(1.8)
rozwiązaniem (całką) tego równania jest:
−t
uc (t) = E 1 − e RC
(1.9)
Pytanie kontrolne: Ile na podstawie (1.9) wyniesie wartość napięcia na pojemności na początku ładowania,
a ile na końcu?
Rys. 1.2. Pojemność ładowana przez rezystancję.
c
Piotr Katarzyński 2011r.
2
1
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
Rys. 1.3. Obwód do wyznaczania czasu ładowania pojemności.
1.1.1
Przebieg ćwiczenia
Celem bieżącego ćwiczenia jest empiryczne wyznaczenie krzywej ładowania pojemności. W tym celu wykorzystany zostanie układ do pomiaru czasu (stoper) oraz woltomierz.
1. Zmierz i zanotuj wartości rezystancji, które wykorzystasz w obwodzie według schematu z rys. 1.3
2. Krótkotrwale zewrzyj wyprowadzenia pojemności. Następnie umieść ją w zaciskach mostka pomiarowego
RLC dostępnego na stanowisku. Odczytaj i zanotuj wartość pojemności używanego kondensatora.
3. Zbuduj obwód z rys.1.3. Skorzystaj z płyty prototypowej. Przed zamontowaniem przełącznika rozpoznaj
konfigurację jego wyprowadzeń. Skorzystaj z omomierza podłączanego do poszczególnych par wyprowadzeń. Sprawdź przy jakim ustawieniu dźwigni przełącznika zachodzi połączenie badanej pary wyprowadzeń.
4. Dokonaj analizy funkcji obwodu w zależności od ustawienia przełącznika: 1. w położeniu załączenia ciągłego on, wyłączenia of f oraz załączenia chwilowego (on)
5. Przedstaw obwód do weryfikacji przez prowadzącego.
6. Uruchom źródła zasilania w obwodzie. Podłącz źródło zasilania do pojemności przez przestawienie dźwigni
przełącznika. Jednocześnie rozpocznij pomiar czasu. Zanotuj w odstępach np. co 10 sekund wartości napięć
na pojemności rejestrowane przez woltomierz. Eksperyment przeprowadź przez co najmniej 2 minuty.
7. Z uzyskanych pomiarów wykreśl krzywą ładowania pojemności rozumianą jako
uc (t) = f (t)
(1.10)
8. Na wykres nanieś krzywą teoretyczną, na podstawie zależności 1.9. Skomentuj uzyskane wyniki.
9. Zanotuj dokładną wartość napięcia zasilania. Na podstawie bilansu napięć w oczku oraz wartości rezystancji R1 wyznacz przebieg prądu ładowania pojemności w czasie
ic (t) = f (t)
(1.11)
zamieść uzyskany przebieg na oddzielnym wykresie. Dołącz przebieg teoretyczny powstały ze zróżniczkowania zależności (1.9).
c
Piotr Katarzyński 2011r.
3
1
1.2
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
Obwód RC zasilony prądem przemiennym
Równanie (1.4) wiąże zależność napięcia i prądu na elemencie pojemnościowym. Jeśli taki element zasilimy
pobudzeniem przemiennym opisanym jako:
uc (t) = Asin(ωt)
(1.12)
wówczas prąd przepływający przez zaciski pojemności będzie miał postać:
ic (t) = ωCAcos(ωt)
(1.13)
w związku z tym gdyby rozpatrywać np. zależność czasową pomiędzy maksimami napięć i prądów związanych z pojemnością, można zauważyć, że prąd wyprzedza napięcie w fazie o π2 rad/s Dla uproszczenia analizy
obwodów zawierających napięcia i skojarzone z nimi prądy o charakterze sinusoidalnym wprowadza się tzw.
symboliczną analizę obwodów w oparciu o wykorzystanie liczb zespolonych. Na mocy tej metody wprowadzone
powyżej napięcia i prądy sinusoidalne można wykorzystać do uogólnienia prawa Ohma wprowadzając zależność
impedancyjną:
XC =
1 sin(ωt)
uc (t)
=
·
ic (t)
ωC cos(ωt)
(1.14)
możemy ujednolicić funkcję trygonometryczną stosowaną w opisie
XC =
1 cos(ωt − π/2)
·
ωC
cos(ωt)
(1.15)
powyższą zależność możemy dalej wyrazić stosując postać trygonometryczną liczby zespolonej. Z porównania
postaci algebraicznej i trygonometrycznej dostajemy:
XC =
a + jb = M cos(φ) + jM sin(φ)
(1.16)
1 ej(ωt−π/2)
1
·
=
· ej(ωt−ωt−π/2)
j(ωt)
ωC
ωC
e
(1.17)
zatem ostatecznie dostaniemy:
1
(1.18)
ωC
wielkość XC nazywamy reaktancją pojemnościową. Obecnie zbadamy empirycznie zachowanie się obwodu
RC. Następnie skonfrontujemy uzyskane wyniki z metodą analityczną opartą o liczby zespolone.
XC = −j
1.2.1
Przebieg ćwiczenia
1. Przygotuj obwód według schematu z rysunku 1.4. Skorzystaj z płyty prototypowej oraz generatora pobudzeń wraz z oscyloskopem
2. Przedstaw obwód do weryfikacji przez prowadzącego
3. Uruchom generator oraz oscyloskop. Zapewnij odpowiednie wyskalowanie oscylogramów. Dodaj do ekranu
z przebiegiem oscyloskopowym wyniki pomiarów automatycznych(narzędzie Measure) częstotliwości w
kanale X, wartości skutecznej VRM S w kanale X oraz wartości skutecznej VRM S w kanale Y.
c
Piotr Katarzyński 2011r.
4
1
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
Rys. 1.4. Schemat obwodu do badania układu RC
4. Zanotuj wartości skuteczne napięć na rezystancji i źródle pobudzenia dla częstotliwości pobudzenia z przedziału 1..20kHz. Pomiarów dokonaj z krokiem np. co 2kHz. Korzystając z napięciowego prawa Kirchhoffa
dla obwodów przemiennych wyznacz wartości skuteczne napięć na pojemności dla każdego z odnotowanych
pomiarów. Sporządź wykres zależności:
Uc = f (ω) = f (2πf )
(1.19)
5. Wykonaj wykres obrazujący zmiany skutecznej wartości prądu w obwodzie w funkcji częstotliwości pobudzenia. Wykorzystaj w tym celu prawo Ohma na obwodów prądu przemiennego:
Ic =
UR
R
(1.20)
Jaką relację dostrzegasz pomiędzy reaktancją pojemnościową, częstotliwością pobudzenia oraz wartością
prądu w obwodzie?
6. Ustaw wybraną częstotliwość pobudzenia. Następnie, przy pomocy oscyloskopu wyznacz przesunięcie fazowe pomiędzy napięciowym przebiegiem wejściowym (kanał X) oraz przebiegiem prądowym (kanał Y napięcie na rezystorze jest zgodne w fazie z prądem, który przez niego przepływa). Zanotuj dodatkowo wartości skuteczne napięć na źródle oraz rezystorze. Wykorzystaj metodę liczb zespolonych do analitycznego
wyznaczenia wartości napięć i prądów w obwodzie dla tej wybranej częstotliwości.
1.3
Układ RL
Indukcyjność L wyraża zdolność elementu do wzbudzania pola magnetycznego na skutek przepływającego przez
niego prądu. Podobnie jak w przypadku pojemności, wartość indukcyjności jest cechą konstrukcyjną rozpatrywanego elementu elektrycznego. Elementy, w których uwydatniono cechy indukcyjne nazywa się indukcyjnościami
lub cewkami (dławikami). Istnieje wiele analogii w metodzie opisu zachowania się indukcyjności oraz pojemności. Stąd te dwa elementy określa się zwykle elementami o charakterze dualnym. Dla elementu obdarzonego
indukcyjnością L zachodzi:
ψ = Li
c
Piotr Katarzyński 2011r.
(1.21)
5
1
ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU PRZEMIENNEGO
gdzie ψ wyraża strumień indukcji pola magnetycznego przepływającego przez cewkę. Jeśli przyjąć że prąd i jest
funkcją czasu, powyższe równanie można zróżniczkować obustronnie.
dψ
di
=L
(1.22)
dt
dt
W odróżnieniu od układów pojemnościowych założenie stałej indukcyjności w elemencie jest bardzo dużym
uproszczeniem.
Na bazie prawa indukcji elektromagnetycznej Farraday’a wspartego regułą Lenza można napisać, że napięcie
na zaciskach indukcyjności będzie miało postać:
uL (t) =
di
dψ
= −L
dt
dt
(1.23)
Indukcyjność L pobudzona prądem sinusoidalnym
iL (t) = Asin(ωt)
(1.24)
uL (t) = −LωAcos(ωt)
(1.25)
będzie wytwarzała napięcie
Stąd wyrażając stosunek napięcia i prądu otrzymamy miarę oporności cewki
XL =
uL (t)
cos(ωt)
= −ωL ·
iL (t)
sin(ωt)
(1.26)
podobnie jak w przypadku pojemności możemy ujednolicić funkcję trygonometryczną stosowaną w opisie.
XL = −ωL ·
cos(ωt)
cos(ωt + π/2)
(1.27)
korzystając z algebry liczb zespolonych otrzymamy
XL = −ωL · ej(ωt−ωt−π/2) = jωL
1.3.1
(1.28)
Przebieg ćwiczenia
1. Przygotuj obwód według schematu z rysunku 1.5. Skorzystaj z płyty prototypowej. Przed montażem
zmierz i zanotuj rzeczywiste wartości rezystancji rezystora oraz cewki użytej w doświadczeniu (rezystancja
uzwojenia cewki). Przy pomocy mostka pomiarowego RLC wyznacz wartość indukcyjności cewki użytej
do badań.
2. Przedstaw obwód do weryfikacji przez prowadzącego
3. Uruchom generator oraz oscyloskop. Zapewnij odpowiednie wyskalowanie oscylogramów. Dodaj do ekranu
z przebiegiem oscyloskopowym wyniki pomiarów automatycznych(narzędzie Measure) częstotliwości w
kanale X, wartości skutecznej VRM S w kanale X oraz wartości skutecznej VRM S w kanale Y.
4. Zanotuj wartości skuteczne napięć na rezystancji i źródle pobudzenia dla częstotliwości pobudzenia z przedziału 1..20kHz. Pomiarów dokonaj z krokiem np. co 2kHz. Korzystając z napięciowego prawa Kirchhoffa
dla obwodów przemiennych wyznacz wartości skuteczne napięć na pojemności dla każdego z odnotowanych
pomiarów. Sporządź wykres zależności:
UL = f (ω) = f (2πf )
c
Piotr Katarzyński 2011r.
(1.29)
6
LITERATURA
Rys. 1.5. Schemat obwodu do badania układu RL
5. Wykonaj wykres obrazujący zmiany skutecznej wartości prądu w obwodzie w funkcji częstotliwości pobudzenia. Wykorzystaj w tym celu prawo Ohma na obwodów prądu przemiennego:
UR
(1.30)
R
Jaką relację dostrzegasz pomiędzy reaktancją indukcyjną, częstotliwością pobudzenia oraz wartością prądu
w obwodzie?
IL =
6. Ustaw wybraną częstotliwość pobudzenia. Następnie, przy pomocy oscyloskopu wyznacz przesunięcie fazowe pomiędzy napięciowym przebiegiem wejściowym (kanał X) oraz przebiegiem prądowym (kanał Y napięcie na rezystorze jest zgodne w fazie z prądem, który przez niego przepływa). Zanotuj dodatkowo wartości skuteczne napięć na źródle oraz rezystorze. Wykorzystaj metodę liczb zespolonych do analitycznego
wyznaczenia wartości napięć i prądów w obwodzie dla tej wybranej częstotliwości.
1.4
Sprawozdanie
W sprawozdaniu należy zamieścić:
• Wyznaczone przebiegi czasowe procesu ładowania pojemności
• Odpowiedzi na postawione pytania
• Charakterystyki częstotliwościowe wyznaczone przy badaniu obwodów RL oraz RC
• Obliczenia analityczne, które weryfikują dane pomiarowe w obwodach RL oraz RC
Literatura
[1] Horowitz P. Hill W., Sztuka elektroniki, tomy 1. i 2., WKiŁ, Warszawa 2003r.
[2] Resnick R., Halliday D., Walker J., Podstawy fizyki, tom 3., PWN, Warszawa 2003r.
[3] Watson J. Elektronika, WKiŁ, Warszawa 1999r.
[4] Nosal Z., Baranowski J. Układy elektroniczne, WNT, Warszawa 2003r.
c
Piotr Katarzyński 2011r.
7